?statistik dizisinin bir parcası
Olasılık teorisi
Olasılık Aksiyomlar Determinizm Sistem Belirlenimsizlik Rastgelelik
Olasılık uzayı Ornek uzayı Olay Birlikte kapsayıcı olaylar Temel olay Kar?ılıklı dı?arlayan Sonuc Tek nesne Deney Bernoulli deneyi Olasılık da?ılımı Bernoulli da?ılımı Binom da?ılımı Normal da?ılım Olasılık olcumu Rassal de?i?ken Bernoulli denemesi Surekli veya kesikli Beklenen de?er Markov zinciri Gozlemlenen de?er Rastgele yuruyu? Stokastik surec
Tumleyen olay Ortak olasılık Marjinal olasılık Ko?ullu olasılık
Ba?ımsızlık Ko?ullu ba?ımsızlık Toplam olasılık yasası Buyuk sayılar yasası Bayes teoremi Boole e?itsizli?i
Venn ?eması A?ac ?eması
g t d

Rassal de?i?ken kavramının geli?tirilmesi ile, sezgi yoluyla anla?ılan ?ans kavramı, soyutla?tırarak teorik matematik analiz alanına sokulmu? ve bu geli?tirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatisti?in temeli kurulmu?tur.

Son birkac yuzyılda olasılıkla ilgili matematiksel fikirler geli?tirilirken rassal de?i?kenlerlerle ili?kili teori ve kullanım matematik kuramı bicimlerine konulmu?tur. Rassal de?i?kenleri modern matematik goru?le tam olarak anlamak icin, daha yakın zamanlarda matematikciler tarafından geli?tirilmi? olan olcum kuramı hakkında geni? bilginin kazanılması gerekmektedir. Rassal de?i?ken kavramı, bu kuram icinde tum ozellikleri ile arka planda kalmakla beraber, kuramın iceri?inde onemli bir yeri bulunmaktadır. Bununla beraber, rassal de?i?kenler kavramının matematiksel teoride de?i?ik ileri seviyelerde fazla teori gerektirmeyen cok daha az ileri matematiksel bilgisi ile de anla?ılması mumkundur. Boylece rassal de?i?kenler hakkında temel bilgileri anlamak icin sadece kume kuramı ve de?i?kenler hesabının bilinmesi yeterli olmaktadır.

Geni? bir tanımlama ile, bir rassal de?i?ken, de?erleri rassal olan ve bu de?erler icin bir olasılık da?ılımı saptamak imkanı olan bir sayıdır. Daha matematiksel bicimde, bir rassal de?i?ken bir orneklem uzayından de?i?kenin mumkun de?erlerinden olu?an olculebilir uzaya de?i?imi gosterir. Rassal de?iskenlerin bu formel tanımlanması reel de?erli sonuclar veren deneyleri cok sıkı bir surette matematiksel olcum kuramı cercevesi icine sokmakta ve reel de?erli rassal de?i?kenler icin da?ılım fonksiyonu kurulmasına imkan sa?lamaktadır.

Sezgisel tanımlama [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Genellikle bir rassal de?i?ken sayı ?eklinde de?erler alır. Ama bu her zaman do?ru de?ildir; cunku vektor , karma?ık sayılar , sıralamalar veya fonksiyonlardan olu?an rassal de?i?kenler bulunmaktadır. E?er de?i?kenler reel-de?erli iseler o zaman bir rassal de?i?ken her ele alınıp incelendi?i zaman de?er de?i?tirebilen bir bilinmez sayı olarak du?unulebilir. Boylece bir rassal de?i?ken bir rastgele surecinin ornek uzayını bir sayı setine e?lemesini yapan bir fonksiyon olarak gorulebilir. Bunu daha goze carpar bir ?ekilde ?u orne?inlerle gosterebiliriz:

Ornekler [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Hileli olmayan bir metal parayı havaya atma ve hangi yuzu gelece?ini ele alma deneyini once ele alalım. Tek bir deney icin mumkun sonuc olaylar ya "yazı" ya da "tura" olur. Birkac defa para atılması ve bunlardan kac tane yazı gelece?i ?u rassal de?i?ken ile ifade edilebilir:

${\displaystyle X={\begin{cases}yazi,\\tura.\end{cases}}}$

ve e?er metal para icin bu iki sonuc e?it olabilirlikli ise o zaman bu rassal de?i?ken icin bir olasılık kutle fonksiyonu bulunur ve ?oyle ifade edilir:

${\displaystyle \rho _{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&{\text{if }}x=yazi,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}x=tura.\end{cases}}}$

Bazen daha kolaylık sa?lamak icin bu haldeki de?erler olarak ("yazı" veya "tura" kategorileri yerine) sayılar ?eklinde olan bir rassal de?i?ken tanımlanabilir. Bunu ${\displaystyle Y}$ reel rassal de?i?kenini kullanarak ve bunu ?u ?ekilde tanımlayarak yapabiliriz:

${\displaystyle Y={\begin{cases}1,&{\text{e?er yazı ise }},\\0,&{\text{e?er tura ise}}.\end{cases}}}$

ve e?er metal para icin bu iki sonuc icin her iki taraf e?it olabilirlikli ise o zaman olasılık kutle fonksiyonu ?oyle ifade edilir:

${\displaystyle \rho _{Y}(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&{\text{e?er }}y=0,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\0,&{\text{aksi halde}}.\end{cases}}}$

Bir rassal ayrık rassal de?i?ken kavramı kullanılması icin di?er bir orne?in, hileli olmayan bir zar atılması ve du?en zarda uste gelen nokta sayısını gorme ?eklindeki deneyidir. Bu halde en basit acıklama, olası sonuclar olan {1, 2, 3, 4, 5, 6} sayıları setinin "ornek uzayı" ve zar atınca gelen sayı X'in de rassal de?i?ken ?eklinde yapılabilir. Bu halde

${\displaystyle X={\begin{cases}1,&{\text{e?er 1 gelirse}},\\2,&{\text{e?er 2 gelirse}},\\3,&{\text{e?er 3 gelirse}},\\4,&{\text{e?er 4 gelirse}},\\5,&{\text{e?er 5 gelirse}},\\6,&{\text{e?er 6 gelirse}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle \rho _{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}},&{\text{e?er }}x=1,2,3,4,5,6,\\0,&{\text{aksi halde}}.\end{cases}}}$

Bir surekli rassal de?i?ken icin bir ornek sonunda belli bir yone yonelip kalan bir doner ibreli aletin ibresi ele alınabilir. Bu orne?inde rassal de?i?ken tarafından sonuc de?erler yonlerdir. Bu yonler ayrık olarak Kuzey batı, Do?u guneydo?u vb. ?ekilde ifade edilebilirler. Fakat genellikle ornek uzayını bir rassal de?i?kene e?lendirilmesi yapılırken reel sayılar kullanmak daha kullanı?lı olacaktır. Bunu ba?armak icin doner ibresini son durma yonunu Kuzey'den olan saat yonundeki acısının derece birimi ile ifade edebiliriz. Boylece rassal de?i?ken [O, 360] aralı?ında herhangi bir sayı ?ekilde ifade edilir ve her bir mumkun sayının acıklı?ı rasgelirli?i "e?it olasılıklı"dır. Bu halde rassal de?i?ken X = ibre duru? acısı olur. Herhangi bir belirli sayının olasılı?ı 0 olur ama bir sayısal aralık icin bir pozitif olasılık sayısı verilebilir. Orne?in, [0,180] arasında bir sayının gelme olasılı?ı ½ olur. Bu halde olasılık kutle yo?unluk fonksiyonu demeyiz ama X icin olasılık yo?unlu?u 1/360 olur. (0, 360) alt-seti icin olasılık bu setin olcusunu 1/360 ile carpma ile elde edilir. Genel olarak, bir belirlenmemi? surekli rassal de?i?ken seti icin olasılık yo?unlu?un verilmi? set uzerinde entegrasyonunu bulmak suretiyle elde edilir.

Karı?ık ayrık ve surekli rassal de?i?ken icin orne?in bir matal parayı atmak ile e?er para "yazı" gelmi?se bir doner ibreli aletin ibresini dondurmek ?eklinde verilebilir. Bu deneyin sonucunun matematiksel ifadesi ?oyle olur: E?er para atı? "tura" gelirse X = -1; aksi halde X doner ibreli aletin ibresinin durdu?unda gosterdi?i yonun Kuzeye gore saat yonundeki acı de?eridir. Bu ikili deney icin rassal de?i?ken de?erinin -1 olma olasılı?ı ½ olur; di?er aralıklar icin rassal de?i?ken de?erleri bir onceki deneyin sonuclarının yarısına e?ittir.

Reel de?erli rassal de?i?kenler [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bu halde, ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}}\!,\;P)}$ bir olasılık uzayı olsun. O zaman, bir rassal de?i?ken olan X formel bir tanınımla

${\displaystyle X:\ \Omega \to \Psi .}$

olculebilir fonksiyonu olur.

Rassal de?i?kenlerin da?ılım fonksiyonları [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bir yı?malı da?ılım fonksiyonunu belli bir rassal de?i?keni ile birlikte oldu?unu du?unmek bir de?i?kene bir de?er tahsis etmenin bir genelle?tirilmesidir. E?er yı?malı da?ılım fonksiyonu sa?dan surekli bir Heaviside basamak fonksiyonu ise, o halde rassal de?i?ken bu sıcrama icin 1 olasılık de?erini alır. Genel olarak, yı?malı da?ılım fonksiyonu de?i?kenin belirli de?erinde ne olasılık gosterece?ini tanımlar.

E?er

${\displaystyle (\Omega ,A,P)}$

olasılık uzayında tanımlanmı? bir rassal de?i?ken olan

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$

bilinmekte ise, ?u ?ekilde soru sorulabilir:

" ${\displaystyle X}$in de?erinin 2 den buyuk olması ne kadar olabilirliktedir?".

Bunu aynı anlamda

" ${\displaystyle \{s\in \Omega :X(s)>2\}}$ olayının olasılı?ı nedir?"

olarak sorabiliriz veya matematiksel ifade ile kısaca ${\displaystyle P(X>2)}$ olarak yazabiliriz.

Bir reel de?erli rassal de?i?ken olan X in cıktılarının butun de?erlerinin olasılıklarının hepsinin kaydı yapılırsa X icin olasılık da?ılımı ortaya cıkar. Olasılık da?ılımı X i tanımlamak icin kullanılan belirli bir olasılık uzayını unutur ve sadece X ce?itli de?erlerinin olasılı?ını kaydeder. Bu turlu olasılık da?ılımı her zaman ?u yı?malı da?ılım fonksiyonu tarafından ele gecirilebilir:

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

ve bazen de ele gecirme bir olasılık yo?unluk fonksiyonu kullanılarak gercekle?tirilebilir. Olcum kuramında rassal de?i?ken olan X i Ω uzerindeki P olcusunu R uzerinde bir F olcusune "ileri itmek" icin kullanırız.

Teorinin altında bulunan Ω olasılık uzayı rassal de?i?kenlerin varolu?larını garanti etmek icin, bazen de onları in?a etmek icin bir teknik gerectir. Pratikte cok defa Ω uzayı tumuyle bir tarafa bırakılır. Do?rudan do?ruya R uzerine reel do?runun tumune 1 olcu de?eri tahsis eden bir yeni olcu koyulur. Yani rassal de?i?kenler yerine olasılık da?ılımları do?rudan do?ruya kullanılır.

Momentler [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bir rassal de?i?kenin olasılık da?ılımı, cok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan kucuk sayıda parametreler ile nitelendirilir. Orne?in, sadece "ortalama de?er" olan λ de?erini bilmek Poisson da?ılımını bilmek icin yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rassal de?i?kenin beklenen de?eri olarak, yani E[ X ] olarak ifade edilir. Genellikle E[ f ( X )] ifadesi f (E[ X ]) ifadesine e?it de?ildir. "Ortalama de?er" bilinince, bu ortalama de?erin X tipik de?erlerinden ne kadar fazla uzaklıkta oldu?u sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rassal de?i?kenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.

Matematik kuramı icinde bu (genelle?tirilmi?) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rassal de?i?kenler olan X icin, E[ f _i ( X )] ifadesindeki beklenen de?erler ile rassal de?i?ken X in da?ılımını tam olarak nitelendiren bir { f _i } fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.

Rassal de?i?kenlerin fonksiyonları [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

E?er X rassal de?i?keni Ω uzerinde bulunursa ve f olculebilir fonksiyon R → R ise, bu halde de Y = f ( X ) de Ω, uzerinde bir rassal de?i?ken olacaktır. Buna neden olcuculebilir bir fonksiyonun kompozisyonu da olcuulebilir olmalıdır. Bizi bir olasılık uzayi olan (Ω, P) den ( R , dF _X )ye gitmemize izin veren yordam Y icin da?ılımı bulmak icin de kullanılabilir. Y icin yı?malı da?ılım fonksiyonu

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (f(X)\leq y).}$

olur.

Ornek 1 [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

X reel de?erli bir surekli rassal de?i?ken olsun ve Y = X ² olsun. O halde,

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

E?er y <0, o halde

P( X ² ≤ y ) = 0,

ve bu nedenle

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

E?er y ≥ 0 ise, o zaman

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

olur ve bundan dolayı

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{e?er}}\quad y\geq 0.}$

Ornek 2 [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

${\displaystyle \scriptstyle X}$ bir rassal de?i?ken olsun ve yı?malı da?ılımı ?oyle ifade edilsin

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

Burada ${\displaystyle \scriptstyle \theta >0}$ sabit bir parametredir. ?imdi ?u rassal de?i?kene, yani ${\displaystyle \scriptstyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$ bakılsın. O zaman

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X>-\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

Bu son ifade ${\displaystyle X,}$in yı?malı da?ılımı terimleri ile ?oyle hesaplanabilir:

${\displaystyle F_{Y}(y)=1-F_{X}(-\mathrm {log} (e^{y}-1))\,}$

${\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{\mathrm {log} (e^{y}-1)})^{\theta }}}}$

${\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}}$

${\displaystyle =1-e^{-y\theta }.\,}$

Rassal de?i?kenlerin birbirine e?itlili?i [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Rassal de?i?kenlerin birbirlerine e?itlili?i kavramı birbirlerinden de?i?ik anlamları olan ce?itli ?ekillerde acıklanabilir. Bu de?i?ik ?ekiller ?oyle sıralanabilir: iki rassal de?i?kenin e?itlili?i; nerede ise kesinlikle e?itli?i; ortalama olarak e?itlili?i; da?ılım icinde e?itlili?i. Bu sıralama de?i?ik e?itlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılı?ına gore (en cok ba?layıcı tanımdan en zayıf tanıma do?ru) yapılmı?tır. Bu de?i?ik e?itlilik kavramların ayrıntılı tanımları a?a?ıda verilmektedir.

Da?ılım icinde e?itlilik [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

?ki rassal de?i?ken X ve Y e?er aynı da?ılım fonksiyonuna sahip iseler; yani

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{for all}}\quad x.}$

ise, da?ılım icinde e?itlilik gosterirler

Birbirine e?it moment ureten fonksiyonu olan iki rassal de?i?ken de aynı da?ılımı gosterir. Orne?in, bu ce?it e?itlilik bazı fonksiyonların e?it olup olmadıklarını kontrol etmek icin kullanılır bir yontem olabilir.

Da?ılım icinde e?itlilik gostermeleri icin rassal de?i?kenlerin aynı olasılık uzayında tanımlanmalarına gerek yoktur. Da?ılım icinde e?itlilik kavramı, olasılık da?ılımları arasında bulunan uzaklık kavramı ile ?oyle ifade edilen yakın bir ili?kisi bulunmaktadır:

${\displaystyle d(X,Y)=\sup _{x}|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,}$

Bu tanımlama Kolmogorov-Smirnov sınaması icin temel teoriyi sa?lar.

Ortalamada e?itlilik [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

?ki rassal de?i?ken X ve Y icin, e?er | X - Y | nin p-inci momenti sıfır ise; yani

${\displaystyle \operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.}$

ise p-inci ortalama icin e?itlilik kavramı tanımı ortaya cıkar.

p -inci ortalama e?itlilik kavramı aynı zamanda her r < p icin r -inci ortalama icin e?itlilik anlamını icerir.

Daha onceki e?itlik tanımına benzer olarak, bu kavrama gore de iki rassal de?i?ken arasında bir uzaklık ili?kisi ?u ifade ile acıklanabilir:

${\displaystyle d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).}$

Nerede ise kesinlikle e?itlilik [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

?ki rassal de?i?ken X ve Y birbirine nerede ise kesinlikle e?itlili?i sadece ve sadece iki de?i?ken icin birbirinden farklı olma olasılı?ı sıfır olursa, yani

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

olursa ortaya cıkar:

Olasılık kuramının pratik kullanılması icin bu tanımlama ve bu kavrama gore iki olasılık de?i?keninin birbirine e?itlili?i hic olmazsa di?er e?itlilik kavramları kadar kesindir.

Bu tanımlama ?u uzaklık kavramı ile ili?kilidir:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

Burada 'sup' olculme kuramı icindeki zorunlu ustunluk kavramını ifade eder.

E?itlilik [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Sonuncu tanıma gore ise, e?er olasılık uzaylarında fonksiyonlar olarak birbirine e?itlerse, yani

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{butun}}\quad \omega }$

olursa, iki rassal de?i?ken olan X ve Y birbirine e?itt irler.

Yakınsalama [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Matematik istatistik analizinin buyuk bir kısmı bazı rassal de?i?kenler serilerinin yakınsalama sonuclarının geli?tirilmesinden olu?mu?tur. Orne?in, buyuk sayılar yasası ve merkezsel limit teoremi maddelerine bakın.

Bir rassal de?i?ken serisi olan X _n nin limitte bir rassal de?i?ken olan X' e yakınsalaması de?i?ik tanımlamalara gore de?i?mektedir; bunun icin olasılık de?i?kenlerinin yakınsalaması maddesine bakın.

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Kallenberg, O. , Random Measures , 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102 ISBN 0-12-394960-2
• Papoulis, Athanasios 1965 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes . McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo , 9th edition, ISBN 0-07-119981-0 .

Bu makale PlanetMath 'deki Random variable maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.