Karma?ık analiz ya da ba?ka bir deyi?le kompleks analiz , karma?ık de?i?kenli fonksiyonları ara?tıran bir matematik dalıdır. Geleneksel olarak karma?ık de?i?kenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir. Matemati?in sayılar teorisi , uygulamalı matematik gibi bircok alanında ve fizikte kullanılır. Kullanım alanı sadece bunlarla sınırlı de?ildir elbette.

Karma?ık analiz bilhassa, genel olarak holomorf fonksiyonlar ve meromorf fonksiyonlar diye iki ayrı sınıfa ayrılan karma?ık de?i?kenli analitik fonksiyonlarla ilgilidir. Herhangi bir analitik fonksiyonunun gercel ve sanal kısmının Laplace denklemini sa?lamak zorunda olması sayesinde karma?ık analiz iki-boyutlu fizik problemlerine geni? bir ?ekilde uygulanabilir.

Tarihi [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Karma?ık analiz kokleri 19. yuzyıla ve hatta karma?ık sayıların kullanımına ba?lı olarak biraz daha oncesine uzanan klasik bir matematik dalıdır. Karma?ık sayıları ilk kullanan 16. yuzyılda ikinci ve ucuncu mertebeden denklemleri cozerken Cardano olmu?tur. 18. yuzyılda karma?ık sayıları iceren fonksiyonları bulan ise Euler olmu?tur. Karma?ık sayıları iceren teknikler arttıkca, gercel de?erli fonksiyonlar kuramındaki co?u problemin karma?ık sayılar kullanılarak daha kolay bir ?ekilde cozuldu?u gozlemlenmi?tir. Ancak, yine de karma?ık sayılar 19. yuzyılın ortasına kadar istenen unu yakalayamamı? ve genel bir uzla?ım alanı olmamı?tır. Orne?in, Descartes denklemlerin karma?ık koklerini reddetmi? ve bunlara "sanal (imajiner)" terimini uygun gormu?tur. Euler de karma?ık sayıların "sadece hayalde var oldu?u" kanısındaydı ve denklemlerin karma?ık koklerinin denklemin aslında hicbir koku olmadı?ını gostermekte yararlı oldu?unu du?unmu?tu. ^[1]

Karma?ık sayıların genel kabulu ve bu kabul ile karma?ık analizin do?ması aslında buyuk olcekte Gauss 'un karma?ık sayıları geometrik bir ?ekilde temsil edip geli?tirmesiyle ba?lamı?tır. Gauss'un calı?malarının ardından karma?ık analiz matematikte yeni gozde bir alan olarak do?mu? ve zamanın uretken matematikcileri olan Cauchy , Weierstrass ve Riemann 'ın da katkılarıyla bircok alanla ba?lantılı bir matematik disiplini haline gelmi?tir. Ancak, her ne kadar Gauss'un calı?maları karma?ık analizi yeni bir alan haline getirmi? olsa da, karma?ık sayıların ilk tam ve matematiksel kesinlik icindeki ifadesi Gauss'un ca?da?ı Hamilton tarafından verilmi?tir. ^[2]

Geleneksel olarak karma?ık analizin, bilhassa acıkorur gonderimler kuramının, fizikte bircok uygulaması mevcuttur. Karma?ık analiz ayrıca analitik sayılar teorisinde de kullanılmaktadır. Modern matematikte, karma?ık dinamiklerin ortaya cıkmasıyla ve holomorf fonksiyonların yinelemesi yardımıyla uretilen fraktal resimleri (ki en unlulerinden birisi de Mandelbrot kumesidir) ile karma?ık analiz tekrar herkesin tanıdı?ı bir alan olmu?tur. Karma?ık analizin bugunku onemli uygulamalarından biri acıkorur de?i?mez kuantum alan teorisi olan sicim teorisidir . Ayrıca bircok muhendislikte, ozellikle de kuvvet muhendisli?inde, karma?ık analizin kullanımı ve uygulaması mevcuttur.

Onemi [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Karma?ık analiz iki temel onem ve faydaya sahip bulunmaktadır. ?lk olarak calculus olarak bilinen matemati?in karma?ık sayılar icin geni?letilmi? halidir. ?kinci onemli faydası ise reel analizde sayfalarca surebilecek bircok problem karma?ık analizin kendine ozgu teknikleri ile cok kısa ve sade bicimde cozulebilmektedir.

Karma?ık fonksiyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Karma?ık fonksiyon ba?ımsız de?i?kenin ve ba?ımlı de?i?kenin her ikisinin de karma?ık sayı oldu?u bir fonksiyondur. Tam olarak, karma?ık bir fonksiyon tanım kumesinin karma?ık duzlemin altkumesi oldu?u ve yine goruntu kumesinin karma?ık duzlemin altkumesi oldu?u fonksiyondur. Herhangi bir karma?ık fonksiyonda hem ba?ımsız de?i?ken hem de ba?ımlı de?i?ken gercel ve sanal kısımlara ayrılabilir:

${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \ }$ ve ${\displaystyle u(z),v(z)\,}$ gercel de?erli fonksiyonlar olmak uzere, ${\displaystyle z=x+iy\,}$ ve ${\displaystyle w=f(z)=u(z)+iv(z)\,}$ olarak yazılabilir. Ba?ka bir deyi?le, f ( z ) fonksiyonun bile?enleri olan ${\displaystyle u=u(x,y)\,}$ ve ${\displaystyle v=v(x,y),\,}$ iki gercel de?i?kenin, mesela x ve y' nin gercel de?erli fonksiyonları olarak yorumlanabilir.

Karma?ık analizin basit kavramları co?unlukla gercel analizin ustel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi elemanter fonksiyonlarının karma?ık bolgelere geni?letilmesiyle elde edilir.

Turevler ve Cauchy-Riemann denklemleri [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Gercel analizde oldu?u gibi, "puruzsuz" karma?ık bir fonksiyonun, orne?in w = f ( z ), kendi tanım kumesi Ω'nın belli bir noktasında turevi olabilir. Aslında, turevin tanımı olan

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,}$

ifadesi bir onemli fark dı?ında gercel durumdakiyle aynıdır. Gercel analizde, limite sadece bir boyutlu sayı do?rusu uzerinde hareket edilerek yakla?ılabilir. Karma?ık analizde ise limite iki boyutlu karma?ık duzlemdeki herhangi bir yonden yakla?ılabilir. ( "Gercel analizde, limite sadece bir boyutlu sayı do?rusu uzerinde hareket edilerek yakla?ılabilir" ifadesi, yonlu turevlerle karı?tırılmamalıdır. Yonlu turevlerde bir boyutlu x do?rusu uzerinde hareket edilir ancak bu "ayrık" birimlerde yapılabilir; yani y = x ² e?risi izlenirse, bu (bir boyutlu x do?rusu yerine) duzlemde hareket edildi?i anlamına gelmez ancak ayrık birimler halinde adımlarla yakla?ıldı?ı anlamına gelir.) E?er bu limit, yani turev, Ω'daki her z noktası icin varsa, o zaman f ( z ) Ω uzerinde turevlenebilir denilir. Her turevlenebilir fonksiyon f ( z ) aynı zamanda analitik oldu?u kanıtlanabilir. Bu sonuc gercel sayıların gercel de?erli fonksiyonları icin kanıtlanan teoremden daha gucludur. Gercel sayılar kalkulusunde, tanım kumesindeki her yerde birinci turevi olan ancak ancak aynı kumenin bir veya daha fazla noktasında ikinci turevi olmayan bir f ( x ) fonksiyonu olu?turabiliriz. Ancak, karma?ık duzlemde tanımlı bir karma?ık fonksiyon belli bir kom?ulukta turevlenebilir ise aynı kom?ulukta sonsuz kere turevlenebilir olmalıdır. (Kanıt icin Holomorf fonksiyonların analitikli?ine bakınız.)

f ( z )'yi olu?turan iki gercel fonksiyonun, mesala u ( x , y ) ve v ( x , y )'nin, kısmi turevlerini hesaplamak icin vektor analizinin metotlarının uygulanmasıyla ve Ω icindeki bir z noktasına do?ru giden iki yolun goz onune alınmasıyla, turevin varlı?ının

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.\,}$

ifadesinin do?rulu?unu getirdi?i gosterilebilir.

Bu iki ifadenin gercel ve sanal iki kısmı birbirine e?itlenerek, Cauchy-Riemann denklemlerinin geleneksel formulasyonu elde edilir:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$ veya ba?ka bir yaygın gosterimle, ${\displaystyle u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,}$

Bu iki kısmi turevsel denklemi sisteminin ilk once x 'e gore sonra da y 'ye gore turevi alınırsa a?a?ıdaki ifadeler kolaylıkla gosterilebilir:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,}$ veya ba?ka bir yaygın gosterimle, ${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,}$

Ba?ka bir deyi?le, karma?ık de?i?kenli turevlenebilir bir fonksiyonun gercel ve sanal kısımları harmonik fonksiyondur .

Ayrıca bakınız : Laplace denklemi

Holomorf fonksiyonlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Holomorf fonksiyonlar karma?ık duzlemin acık bir altkumesinde turevlenebilir olan karma?ık fonksiyonlardır. Karma?ık turevlenebilirlik alı?ılmı? gercel turevlenebilirlikten daha guclu sonuclara sahiptir. Orne?in, gercel turevlenebilir fonksiyonların hepsi sonsuz kere turevlenebilir de?ilken holomorf fonksiyonlar sonsuz kere turevlenebilirdir. Ustel fonksiyon , trigonometrik fonksiyonlar ve tum polinomları da icermek uzere co?u elemanter fonksiyon holomorftur.

Ayrıca bakınız : analitik fonksiyon , holomorf demet ve vektor demetleri .

Onemli sonuclar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Karma?ık analizdeki sonuclar birkac gruba ayrılabilir. Her grubun sonucu birikimli bir ?ekilde kendi grubundaki ili?kin sonuclardan faydalanan onemli sonuclar icerse de; yine de bu her grubun birbiriyle belli temel sonuclar vasıtasıyla ba?lantısı vardır ve bazı onemli sonuclar da bu ana grupları temel alan sonuclardan olu?maktadır.

?ntegral temsilleri ile ilgili sonuclar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Karma?ık analizdeki onemli merkezi araclardan biri de e?risel integraldir . Kapalı bir yolun sınırladı?ı alanın icindeki her yerde holomorf olan bir fonksiyonun bu kapalı yol uzerindeki integrali sıfırdır. Bu ifade Cauchy integral teoremi olarak da bilinir. Holomorf bir fonksiyonun bir daire alanı (disk) icinde aldı?ı de?erler bu disk uzerinde belli bir e?ri (yol) integrali vasıtasıyla hesaplanabilir. Bu ifade de Cauchy integral formulu olarak bilinir.

Ayrıca bakınız : Morera teoremi

Seri temsilleri ile ilgili sonuclar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

E?risel integraller karma?ık duzlemde co?u zaman karı?ık gercel integralleri cozmek ve belirlemek amacıyla kullanılır ve burada da kalıntı (rezidu) teorisi di?er teoriler arasında en kullanı?lı olanıdır ( Kontur integral metotları 'na bakınız). Bir fonksiyon belli bir noktada bir kutup veya tekillik sahibi ise, yani, bu noktada fonksiyonun de?erleri birden patlıyorsa veya sonlu bir de?er almıyorsa, o zaman bu fonksiyonun bu noktadaki rezidusu (kalıntısı) bu kutupta hesaplanabilir ve bu reziduler fonskiyonla alakalı e?risel integralleri hesaplamak icin kullanılabilir. Rezidu teoremi 'nin guclu olan yanı da budur. Holomorf fonksiyonların esas tekilliklerin civarındaki davranı?ları ise Weierstrass-Casorati teoremi vasıtasıyla tanımlanır. Sadece kutuplara sahip olup ancak esas tekilli?e sahip olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon denir. Laurent serileri , Taylor serileri 'ne benzer olup, fonksiyonların tekillik civarındaki davranı?larını o?renmek icin kullanılırlar.

Tum karma?ık duzlemde holomorf olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır. Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir. Bu teorem karma?ık sayılar cisminin cebirsel kapalı oldu?unu ifade eden Cebirin temel teoremi 'nin do?al ve kısa bir kanıtına ula?mak icin kullanılabilir.

Riemann yuzeyleri ile ilgili sonuclar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Holomorf fonksiyonların bir di?er onemli ozelli?i ise basit ba?lantılı bir bolgede holomorf olan bir fonksiyonun de?erlerinin tamamiyle daha kucuk alt bolgelerdeki de?erleriyle belirlenebilmesidir. Daha buyuk bolgedeki fonksiyon daha kucuk bolgedeki fonksiyonun de?erlerinin analitik devamı olarak adlandırılır. Bu, ilk ba?ta sadece sınırlı bir bolgede yakınsayan sonsuz toplamlar olarak tanımlanan Riemann zeta fonksiyonu gibi bazı fonksiyonların tanımlarının hemen hemen tum karma?ık duzleme geni?letilmesine izin verir. Bazen, do?al logaritma durumunda oldu?u gibi, holomorf bir fonksiyonu karma?ık duzlemdeki basit olmayan ba?lantılı bir bolgeye analitik olarak devam ettirmek imkansızdır; ancak yine de yakın bir ?ekilde ili?kin olan ve Riemann yuzeyi adı verilen bir yuzeye devam ettirmek imkanı da vardır.

Yuksek boyutlardaki sonuclar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bunların hepsi tek de?i?kenli karma?ık analizde gecerlidir. Ayrıca, kuvvet serileri gibi analitik ozelliklerin aynı kaldı?ı; ancak acıkorurluk gibi co?u geometri ozelli?inin gecerli olmadı?ı birden fazla karma?ık boyutta karma?ık analizin calı?ıldı?ı zengin bir cok de?i?kenli karma?ık analiz dalı da mevcuttur. Tek boyutlu karma?ık analizde belki de en onemli sonuc olan ve karma?ık duzlemdeki belli bolgelerde acıkorurluk ili?kisini ifade eden Riemann tasvir teoremi daha yuksek boyutlarda gecerli de?ildir.

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Cok de?i?kenli karma?ık analiz
• Runge teoremi
• Karma?ık analiz konuları listesi
• Gercel analiz

Notlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Needham T ., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997)--Gorsel Karma?ık Analiz.
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Uc cilt: 1974, 1977, 1986.]--Uygulamalı ve Hesaplamalı Karma?ık Analiz.
• Kreyszig, E. , Advanced Engineering Mathematics, 9 ed. , Ch.13-18 (Wiley, 2006)--Yuksek Muhendislik Matemati?i.
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)--Cok De?i?kenli Karma?ık Analize Giri?.
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006)--Mathematica ile Karma?ık Analiz.
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999)--Temel Karma?ık Analiz.

Dı? ba?lantılar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Karma?ık Analiz -- George Cain'in ders kitabı 14 Mart 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Douglas N. Arnold tarafından hazırlanan Karma?ık Analiz dersi internet sitesi 5 Kasım 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Karma?ık Analizle alakalı ?ngilizce Vikipedi'de ornek sorular
• Karma?ık fonskiyonları goruntulemek icin kullanılan ba?lantılar koleksiyonu (ve di?erleri)
• John H. Mathews'in Karma?ık Analiz Projesi 6 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Wolfram Research's MathWorld Karma?ık Analiz Sayfası 11 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi .
• Karma?ık Goruntuleyici- Herhangi bir karma?ık fonksiyonu goruntulemek icin kullanılan kucuk Java uygulaması