Aritmetik ; matemati?in sayılar arasındaki ili?kiler ile sayıların problem cozmede kullanımı ile ilgilenen dalı. ^[1] Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi , olcme ve hesaplama ( toplama , cıkarma , carpma , bolme , us alma , kok alma ) kastedilir. ^[1] Bununla birlikte bazı matematikciler daha karma?ık ce?itli i?lemleri de aritmetik ba?lı?ı altında de?erlendirirler. ^[1]

Aritmetik sistemler, i?lem yapılan sayıların turune gore ce?itlenir. Tam sayı aritmeti?i sadece pozitif ve negatif do?al sayılar ile yapılan hesaplamaları icerirken, rasyonel sayı aritmeti?i, tam sayılar arasındaki kesirlerle yapılan i?lemleri kapsar. Reel sayı aritmeti?i, rasyonel ve irrasyonel sayıların her ikisiyle yapılan hesaplamaları barındırır ve tam bir sayı do?rusunu kapsar.

Sistemlerin ayrımı, kullanılan sayı sistemine gore de yapılır. Ondalık aritmetik, en yaygın kullanılan sistemdir ve sayıları ifade etmek icin 0'dan 9'a kadar olan temel rakamları ve bu rakamların kombinasyonlarını kullanır. Ote yandan, co?unlukla bilgisayarlar tarafından kullanılan ikili aritmetik, sayıları 0 ve 1 rakamlarının kombinasyonları olarak temsil eder. Bazı aritmetik sistemler ise sayılardan farklı matematiksel nesneler uzerinde i?lem yapar, orne?in aralık aritmeti?i ve matris aritmeti?i gibi.

Aritmetik i?lemler, matemati?in bircok alt dalında, orne?in cebir , kalkulus ve istatistik gibi alanlarda temel olu?turur. Ayrıca, fizik ve ekonomi gibi bilimlerde de benzer bir i?lev gorur. Aritmetik, gunluk ya?amın bircok yonunde, alı?veri? yaparken para ustu hesaplamak veya ki?isel finans yonetimi gibi faaliyetlerde kullanılır. O?rencilerin ilk kar?ıla?tı?ı matematik e?itimi bicimlerinden biri olan aritmeti?in, bili?sel ve kavramsal temelleri psikoloji ve felsefe tarafından incelenmektedir.

Aritmeti?in prati?i, binlerce hatta belki de on binlerce yıl oncesine uzanmaktadır. Antik uygarlıklar arasında yer alan Mısırlılar ve Sumerliler , M.O. 3000 civarında pratik aritmetik sorunları cozmek amacıyla sayı sistemleri geli?tirdiler. M.O. 7. ve 6. yuzyıllarda, antik Yunanlılar sayılar uzerine daha soyut bir inceleme ba?latmı? ve katı matematiksel kanıt yontemlerini tanıtmı?lardır. Antik Hindular , sıfır kavramını ve ondalık sistemi ortaya cıkardılar; bu sistem, Orta Ca?'da Arap matematikciler tarafından geli?tirilmi? ve Batı dunyasına aktarılmı?tır. ?lk mekanik hesap makineleri 17. yuzyılda icat edilmi?tir. 18. ve 19. yuzyıllarda, modern sayı teorisinin geli?tirilmesi ve aritmeti?in aksiyomatik temellerinin olu?turulması ya?anmı?tır. 20. yuzyılda, elektronik hesap makinelerin ve bilgisayarların ortaya cıkı?ı, aritmetik hesaplamaların do?ruluk ve hızını koklu bir ?ekilde de?i?tirmi?tir. Bu teknolojik ilerlemeler, aritmetik i?lemlerin uygulama alanlarını geni?leterek, matematik e?itimi ve gunluk matematik uygulamalarında onemli donu?umler yaratmı?tır.

Tanım ve etimoloji [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Aritmetik, sayılar ve onların i?lemleri uzerine calı?an matematikin temel bir dalıdır. Bu disiplin, toplama , cıkarma , carpma ve bolme i?lemleri aracılı?ıyla sayısal hesaplamalar yapılmasını icerir. ^[2] Geni? bir perspektiften bakıldı?ında, us alma ve logaritma gibi i?lemleri de kapsar. ^[3] Turkceye Fransızcadan gecen ^[4] "aritmetik" terimi, Latince arithmetica kelimesinden turetilmi? olup, bu kelime Antik Yunanca ?ριθμ?? (arithmos), yani " sayı " ve ?ριθμητικ? τ?χνη (arithmetike tekhne), yani "sayma sanatı" anlamına gelmektedir. ^[5]

Tanımı konusunda farklı goru?ler bulunmaktadır. Dar bir tanımlamaya gore, aritmetik yalnızca do?al sayılar ile ilgilenir. ^[6] Ancak daha yaygın goru?, kapsamına tam sayılar , rasyonel sayılar , reel sayılar ve bazen de karma?ık sayılar uzerindeki i?lemleri dahil etmektir. ^[2] Bazı tanımlar, aritmeti?i yalnızca sayısal hesaplamalar alanına sınırlar. ^[7] Daha geni? anlamda ele alındı?ında, sayı kavramının nasıl geli?ti?ini, sayıların ozellikleri ve aralarındaki ili?kilerin analizini ve aritmetik i?lemlerin aksiyomatik yapısının incelenmesini de icerir. ^[8]

Aritmetik, sayı teorisi ile yakından ili?kilidir ve bu alanlar bazen e?anlamlı olarak kullanılsa da, ^[9] sayı teorisi daha cok tam sayıların ozellikleri ve ili?kileri, orne?in bolunebilirlik , faktorizasyon ve asallık gibi konular uzerinde yo?unla?ır ^[10] ve geleneksel olarak yuksek aritmetik olarak adlandırılır. ^[11]

Sayılar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Sayılar , miktar olcumu ve buyukluk de?erlendirmesi yapmak icin kullanılan temel matematiksel nesnelerdir . Aritmetikte merkezi bir yere sahip olan sayılar, aritmetik i?lemlerin tumunun uzerinde yurutuldu?u temel elemanlardır. Sayılar farklı kategorilere ayrılır ve bu sayıları temsil etmek icin ce?itli sayısal sistemler kullanılır. ^[12]

Ce?itleri [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Aritmetikte kullanılan temel sayı turleri do?al sayılar , tam sayılar, tamsayılar , rasyonel sayılar ve reel sayılardır . ^[13] Do?al sayılar, 1'den ba?layıp sonsuza kadar giden tam sayılardır. 0 ve negatif sayıları icermezler. Ayrıca sayma sayıları olarak da bilinir ve ${\displaystyle {1,2,3,4,...}}$ ?eklinde ifade edilebilir. Do?al sayıların sembolu ${\displaystyle \mathbb {N} }$'dir. ^[a]

Tam sayılar, do?al sayılarla aynıdır, tek farkı 0'ı da icermeleridir. ${\displaystyle {0,1,2,3,4,...}}$ ?eklinde temsil edilebilir ve sembolu ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$dir. ^{[15] [b]} Bazı matematikciler, do?al sayılar kumesine 0'ı dahil ederek do?al sayılar ve tam sayılar arasında bir ayrım yapmazlar. ^[17] Tam sayılar kumesi, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsar. Sembolu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'dir ve ${\displaystyle {...,-2,-1,0,1,2,...}}$ ?eklinde ifade edilebilir. ^[18]

Do?al ve tam sayıların kullanım bicimlerine gore, bu sayılar kardinal ve ordinal sayıları olarak iki farklı kategoriye ayrılabilir. Kardinal sayılar, bir, iki, uc gibi sayılar, nesnelerin sayısını ifade eder ve "Kac tane?" sorusuna yanıt verirler. Ote yandan, ordinal sayıları, birinci, ikinci, ucuncu gibi ifadeler, bir dizideki konum veya sıralamayı gosterir ve "Hangi pozisyon?" sorusunu yanıtlarlar. Bu iki sayı turu, matematikte farklı amaclar icin kullanılır ve her biri, belirli bir sorunun cevabını sa?lama kapasitesine sahiptir. Kardinal sayılar genellikle nicelikleri, ordinal sayıları ise nesnelerin veya olayların goreceli konumlarını belirtmek icin tercih edilir. ^[19]

Bir sayı, iki tam sayının oranı olarak ifade edilebiliyorsa, bu sayı rasyoneldir. Orne?in, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ rasyonel sayısı, pay olarak adlandırılan 1 tam sayısının, payda olarak adlandırılan 2 tam sayısına bolunmesiyle elde edilir. Di?er ornekler arasında ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ve ${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$ yer almaktadır. Rasyonel sayılar kumesi, paydası 1 olan tum kesirler olan tam sayıları da kapsamaktadır. Rasyonel sayıların sembolu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$'dur. ^[20] 0.3 ve 25.12 gibi ondalık kesirler, paydaları 10'un bir kuvveti oldu?u icin, ozel bir rasyonel sayı turudur. Orne?in, 0.3, ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$'a, 25.12 ise ${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$'e e?ittir. ^[21] Her rasyonel sayı, sonlu veya devirli ondalık bir kesirle ifade edilebilir. ^{[22] [c]}

?rrasyonel sayılar , iki tam sayının oranı ile ifade edilemeyen sayılardır. Genellikle geometrik buyuklukleri tanımlamak icin kullanılırlar. Orne?in, kenarlarının uzunlu?u 1 olan bir dik ucgenin hipotenus uzunlu?u irrasyonel bir sayı olan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ile ifade edilir. π , ba?ka bir irrasyonel sayı olup bir cemberin cevresi ile capı arasındaki oranı tanımlar. ^[23] ?rrasyonel sayıların ondalık gosterimi, tekrarlayan basamaklar olmaksızın sonsuzdur. ^[24] Rasyonel ve irrasyonel sayılar kumeleri birlikte, reel sayılar kumesini olu?turur. Reel sayıların sembolu ${\displaystyle \mathbb {R} }$'dir. ^[25] Daha geni? sayı kumeleri arasında karma?ık sayılar ve kuaterniyonlar bulunur. ^[26]

Sayısal sistemler [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bir rakam , bir sayıyı temsil eden bir semboldur ve sayı sistemleri, sayısal temsillerin olu?turulmasını sa?layan cercevelerdir. ^[27] Bu sistemler genellikle, belirli sayılara do?rudan atıfta bulunan sınırlı sayıda temel rakam icerir. Sayı sistemi, bu temel rakamların herhangi bir sayıyı ifade etmek icin nasıl birle?tirilebilece?ini belirler. ^[28] Sayı sistemleri, basamak de?eri esaslı veya basamak de?eri esaslı olmayan olarak sınıflandırılır. ?lk sayı sistemlerinin tamamı basamak de?eri esaslı de?ildi. ^[29] Basamak de?eri esaslı olmayan sayı sistemlerinde, bir rakamın de?eri, sistemdeki konumuna ba?lı de?ildir. ^[30]

Cetele cizgileri ve bazı cetele cubukları basamak de?eri esaslı olmayan tekli sayı sistemini kullanır.

En basit basamak de?eri esaslı olmayan sistem, tekli sayı sistemidir . Bu sistem, 1 sayısı icin tek bir sembol kullanır. Daha buyuk sayılar, bu sembolun tekrarıyla yazılır. Orne?in, 7 sayısı, 1 sembolunun yedi kez tekrarlanmasıyla ifade edilir. Bu sistem, buyuk sayıları yazmayı zorla?tırır; bu nedenle, bircok basamak de?eri esaslı olmayan sistem, buyuk sayıları do?rudan temsil etmek icin ek semboller icerir. ^[31] Birlikte sayma sisteminin varyasyonları, cetele cubukları ve cetele cizgilerinde kullanılır. ^[32]

Not listesi [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Carpım tablosu

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde iceri?ini geni?leterek Vikipedi'ye katkı sa?layabilirsiniz.