Metrisk tensor knyter ett avstandsbegrepp till en rymd definierad av tensorer .

Storhet [ redigera | redigera wikitext ]

Manga storheter kan anges med ett enda tal. Det galler till exempel temperaturen i ett rum, antalet agg i en kartong, mitt skonummer. En sadan storhet som anges fullstandigt med ett enda tal kallas endimensionell storhet, skalar, skalar storhet, tensor av nollte ordningen eller tensor av rank 0.

Det finns ocksa storheter som kraver en grupp av tal. Om man inte nojer sig med att veta hur manga agg det ar i kartongen utan aven vill veta kartongens vikt behover man ange tva tal. Om man vill beskriva ett batteri behover man ange polspanning, kapacitet, vikt, langd, bredd och hojd alltsa sex tal. Vill man ange hastighet for en bil och inte nojer sig med hastighetens belopp utan aven vill veta hastighetens riktning kan man ange hastighet in nord-sydlig riktning och hastighet i ost-vastlig riktning alltsa tva tal. Vill man ange lage for ett hus kan man ange latitud, longitud och hojd over havet alltsa tre tal. En storhet som anges med N tal kallas en N-dimensionell storhet, en vektor, en tensor av forsta ordningen eller en tensor av rank 1.

En storhet som anges med en grupp av talgrupper kallas en tensor av andra ordningen eller en tensor av rank 2.

For att en storhet skall kunna kallas tensor kravs att den kan transformeras enligt vissa regler.

Avstand [ redigera | redigera wikitext ]

De olika elementen i en N-dimensionell storhet kan vara av sa olika karaktar att det inte ar meningsfullt att forsoka sammanfatta dem pa nagot satt. Det ar till exempel inte meningsfullt att forsoka lagga ihop ett batteris polspanning med dess langd. Daremot kan man for tva hus anvanda deras latitud, longitud och hojd over havet till att rakna fram en skalar som anger hur svart det ar att ta sig fran det ena huset till det andra.

Vi har lart oss att om vi tar skillnad i latitud, skillnad i longitud och skillnad i hojd mellan de bada husen, kvadrerar dessa skillnader, adderar kvadraterna och drar roten ur summan far vi nagot som vi kallar avstandet mellan husen. Detta avstandsbegrepp ar sa grundlaggande for vart satt att se pa var omvarld att vi tar det for sjalvklart. Men om man i sin varldsbild anvander fler an tre dimensioner och/eller anvander icke-ortogonala koordinatsystem blir avstandsbegreppat inte langre lika sjalvklart. Da behover man regler som anger hur man skall sammanfora koordinatskillnader till en avstandsberakning.

Hur en sadan avstandsberakning skall ga till anger man med en metrisk tensor.

Avstandbegrepp i enklare rymder [ redigera | redigera wikitext ]

I ett ratlinjigt, ortogonalt koordinatsystem ( kartesiskt koordinatsystem ) i skala 1:1 med tva dimensioner (x,y) galler for avstandet ds mellan tva punkter

ds ² = dx ² + dy ²

For tensorer anvands index placerade upptill (superscript) och index placerade nedtill (subscript). Superscript ar placerade pa samma satt som exponenter. For att undvika forvaxling bor man darfor undvika exponenter i tensoruttryck. Ovanstaende samband kan da skrivas

ds ds = dx dx + dy dy

Generaliserat avstandsbegrepp och metrisk tensor [ redigera | redigera wikitext ]

Detta samband kan generaliseras till godtyckligt antal dimensioner och skrivas med tensoranalysens axelbenamningar och summakonvention

ds ds = g _pq dx ^p dx ^q

g _pq kallas for metrisk tensor .

Om g _pq = 1 for p=q och g _pq = 0 for p≠q kallas rymden for euklidisk i annat fall kallas den for riemannsk .

For tensorer brukar man kalla axlarna for x ¹ , x ² , ... x ^N i stallet for x, y, z... Antalet dimensioner, det vill saga antalet axlar, ar N.

Med summakonventionen menas att om ett index (subscript eller superscript) forekommer tva ganger i en term skall man summera over detta index fran 1 till N.

For ett tvadimensionellt system ger detta

ds ds = g ₁₁ dx ¹ dx ¹ + g ₁₂ dx ¹ dx ² +g ₂₁ dx ² dx ¹ + g ₂₂ dx ² dx ²

Om rymden ar euklidisk ar

g ₁₁ = g ₂₂ = 1 och g ₁₂ = g ₂₁ = 0

vilket ger

ds ds = dx ¹ dx ¹ + dx ² dx ²

och om man byter ut dx ¹ mot dx och dx ² mot dy blir detta

ds ds = dx dx + dy dy

For en karta i skala b = 1:a galler att ett avstand ds' pa kartan ar ds' ds' = b b dx dx + b b dy dy dar dx och dy ar koordinatskillnader i verkligheten.

Detta kan generaliseras till

g _pq = b b for p=q

g _pq = 0 for p≠ q

g _pq ar en kovariant tensor av andra ordningen. For en euklidisk fyrdimensionell rymd blir den i matrisform

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Om man valjer x ⁴ -axeln som koordinattidsaxel och enligt Minkowski ersatter avstandet till en handelse med avstandet till bilden av handelsen far man (med ljussekund som langdenhet)

g _pq =

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Minkowski-rummet ar ett fyrdimensionellt rum med axlar som ofta kallas x, y, z, t. De tre axlarna x, y, z kallas for rumsaxlar och t-axeln kan kallas for koordinattidsaxel. Avstandet ds i Minkowski-rummet definieras av

ds ds = dx dx + dy dy + dz dz - dt dt

ds blir alltsa noll nar ${\displaystyle dt={\sqrt {dxdx+dydy+dzdz{\quad }}}}$

Det vill saga att avstandet blir noll nar tidsavstandet ar lika med rumsavstandet.

Om en stjarna exploderar kan vi inte veta nagot om det nar handelsen intraffar. Men den ger upphov till en bild som fardas mot oss med ljushastighet. Nar tiden fran handelsen blir lika med rumsavstandet nar bilden fram sa att vi kan se den. I Minkowski-rummet ar da avstandet noll.

En vektor A kan transformeras kontravariant ( A ^p ) eller kovariant ( A _p ). Vilken av dessa mojligheter som galler beror pa vad vektorn representerar. Hastighet ar ett exempel pa en vektor som transformeras kontravariant, lufttryckgradient ar ett exempel pa en vektor som transformeras kovariant.

Om en vektor transformerats kontravariant till A ^p kan man med hjalp av g _pq finna den vektor A _q man skulle ha fatt genom en kovariant transformation

A _q = g _pq A ^p

Pa liknande satt galler att

A ^p = g ^pq A _q

dar g ^pq kallas for konjugerad eller reciprok tensor. For metrisk och konjugerad tensor galler

g ^pq g _rq = δ ^p _r

dar δ ^p _r = kroneckers delta .