Ett hilbertrum (efter David Hilbert ) ar inom matematiken ett inre produktrum som ar fullstandigt med avseende pa den norm som definieras av den inre produkten. Hilbertrum generaliserar och klargor begrepp sasom vissa linjara transformationer (till exempel fouriertransformer ) och ar absolut nodvandiga i formuleringen av kvantmekaniken . Hilbertrum studeras inom funktionalanalys .

Introduktion [ redigera | redigera wikitext ]

Varje inre produkt <.,.> pa ett reellt eller komplext vektorrum H ger upphov till en norm ||.|| enligt

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

H kallas ett hilbertrum om det ar fullstandigt med avseende pa denna norm. Med fullstandigt menas har att varje cauchyfoljd av element fran rummet H konvergerar mot ett element i samma rum, i meningen att normen av skillnader mellan elementen i foljden och gransvardet gar mot 0. Varje hilbertrum ar darmed aven ett banachrum , medan omvandningen inte galler allmant.

Alla andligdimensionella inre produktrum (som euklidiska rum ) med den vanliga skalarprodukten ar hilbertrum. I vissa tillampningar, som till exempel kvantmekanik , forekommer dock ofta oandligtdimensionella hilbertrum. Den inre produkten tillater oss att anvanda oss av "geometriska" konstruktioner som vi ar vana vid fran andligdimensionella rum. Av alla oandligdimensionella topologiska rum ar hilbertrummen de "trevligaste" da de ar mest lika de andligdimensionella rummen.

Elementen i hilbertrummen kallas ibland for "vektorer", i allmanhet ar de foljder eller funktioner . Inom kvantmekaniken sa beskrivs ett fysiskt system av ett komplext Hilbertrum, vilket innehaller vagfunktionerna som beskriver de mojliga tillstanden hos systemet.

Ett mal for fourieranalysen ar att uttrycka en given funktion som en (mojligen oandlig) summa av givna basfunktioner. Detta ar ett problem som kan studeras abstrakt i ett hilbertrum; varje hilbertrum har en ortonormal bas , och varje element i hilbertrummet kan uttryckas unikt som en linjarkombination av dessa baselement.

Hilbertrummen fick sitt namn efter David Hilbert som studerade dem i samband med integralekvationer. Definitionen gavs daremot av John von Neumann .

Exempel [ redigera | redigera wikitext ]

Exempel av hilbertrum ar R ⁿ och C ⁿ med den inre produkten

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{*}y_{k}}$

dar ^* indikerar komplexkonjugatet .

Mer typiska ar de oandligdimensionella hilbertrummen, i synnerhet rummen ${\displaystyle L_{w}^{2}(D)}$ som bestar av de funktioner vars kvadrat multiplicerat med en sa kallad viktfunktion , w , ar Lebesgue-integrerbara over domanen D , och vars vardemangd ligger i R eller C , modulo underrummet av de funktioner vars kvadratiska integral ar noll. Den inre produkten mellan tva funktioner f och g ges da av

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(t)^{*}g(t)w(t)\,dt}$

Anvandandet av Lebesgue-integralen forsakrar oss om att rummet ar fullstandigt.

(Man bor komma ihag att per definition sa ar en Lebesgue-integrerbar funktion en Lebesgue-matbar funktion f sadan att integralen av |f| ar andlig. Saledes, en funktion f ligger i hilbertrummet L ² endast om integralen av |f| ² ar andlig. Se L ^p rum for en vidare diskussion av detta exempel.)

Ett hilbertrum vars element ar foljder ges av l ² . Dar ar elementen foljder ( x _n ) av reella (eller komplexa) tal sadana att

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x|^{2}<\infty }$

Den inre produkten av x = ( x _n ) och y = ( y _n ) definieras av

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}^{*}y_{n}}$

Generellt: om B ar nagon mangd sa definieras l ² ( B ) som mangden av alla funktioner x  : B → R or C sadana att:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty }$

Detta rummet blir ett hilbertrum om vi definierar

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x\left(b\right)^{*}y\left(b\right)}$

for alla x och y i l ² ( B ). Pa ett satt (mer om detta nedan) sa ar varje hilbertrum pa formen l ² ( B ) for en lamplig mangd B .

Baser [ redigera | redigera wikitext ]

Ett viktigt begrepp ar begreppet ortonormal bas av ett hilbertrum H : en delmangd B av H med tre egenskaper:

1. Varje element i B har norm 1: < e , e > = 1 for alla e i B
2. Givet tva olika, godtyckliga element e och f i B , sa har vi att: < e , f > = 0. Vi sager att de ar ortogonala.
3. Elementen i B spanner upp en tat delmangd av H .

Exempel pa ortonormala baser:

• mangden {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} bildar en ortonormal bas i R ³
• mangden { f _n  : n ∈ Z } med f _n ( x ) = exp(2π inx ) ger en ortonormal bas for det komplexa rummet L ² ([0,1])
• mangden { e _b  : b ∈ B } med e _b ( c ) = 1 om b = c och 0 i ovrigt, ger en ortonormal bas av l ² ( B ).

Notera att i det oandligdimensionella fallet sa kommer en bas inte vara en bas i samma betydelse som i linjar algebra ; varje element i Hilbertrummet kan inte skrivas som en andlig linjarkombination av elementen i en ortogonal bas . En bas i linjaralgebraisk mening, som ar sadan att varje element i Hilbertrummet kan skrivas som en andlig linjarkombination av baselementen kallas en Hamelbas .

Genom att anvanda Zorns lemma sa kan man visa att varje hilbertrum kan ges en ortonormal bas, och att tva olika baser for samma rum har samma kardinalitet . Ett hilbertrum ar separabelt om och endast om det kan ges en uppraknelig bas.

Eftersom alla oandligdimensionella separabla hilbertrum ar isomorfa , och nastan alla hilbertrum som anvands i fysiken ar separabla sa avses ett godtyckligt hilbertrum nar en fysiker talar om hilbertrummet .

Om B ar en ortonormal bas av H sa kan varje element x i H skrivas som

${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle b,x\rangle b}$

Aven om B ar ouppraknelig sa kommer endast ett upprakneligt antal termer i denna summa vara skilda fran noll, och uttrycket ar darfor valdefinierat. Summan kallas aven fourierutvecklingen av x .

Om B ar en ortonormal bas av H sa ar H isomorf med l ² ( B ) pa foljande satt: det existerar en bijektiv linjar avbildning Φ : H → l ² ( B ) sadan att

${\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,y\rangle }$

for alla x och y i H .

Reflexivitet [ redigera | redigera wikitext ]

En viktig egenskap hos alla hilbertrum ar att de ar reflexiva . Det finns till och med mer att saga: man kan helt och hallet beskriva dess dualrum (rummet av alla kontinuerliga linjara funktioner fran H till R (eller C ). Riesz representationssats pastar att till varje element φ i dualrummet H sa finns ett och endast ett element u i H sadant att

${\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle }$ for alla x i H

och kopplingen φ ↔ u ger en antilinjar isomorfism mellan H and H' . Denna motsvarighet utnyttjas i bra-ket -notationen som fysiker uppskattar men som matematikerna skyr.

Begransade operatorer [ redigera | redigera wikitext ]

Givet ett hilbertrum H , sa finns ett speciellt intresse av att studera de kontinuerliga linjara operatorerna A  : H → H . Sadana kontinuerliga operatorer ar begransade i betydelsen att de avbildar begransade mangder pa begransade mangder. Detta tillater en att definiera dess norm som

${\displaystyle \lVert A\rVert =\mathrm {sup} _{\lVert x\rVert \leq 1}\lVert Ax\rVert }$

Summan och kompositionen av tva kontinuerliga linjara operatorer ar aterigen kontinuerlig och linjar. Lat y vara ett element i H . Avbildningen som tar x till < y , Ax > ar linjar och kontinuerlig, och enligt Riesz representationssats kan darmed representeras pa formen

${\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle }$

Detta definierar en ny kontinuerlig linjar operator A ^*  : H → H , den adjungerade operatorn av A .

Mangden L( H ) som besta av alla kontinuerliga linjara operatorer pa H , tillsammans med addition och kompositionsoperationerna, normen och den adjungerade operatorn, bildar en C ^* -algebra . Faktum ar att detta ar motivet till, och det viktigaste exemplet pa, en C ^* -algebra.

Ett element A av L( H ) kallas sjalvadjungerad eller hermitsk om A ^* = A . Dylika operatorer ha manga egenskaper gemensamt med de reella talen, och kan i vissa lagen ses som generaliseringar av dem.

Ett element U av L( H ) kallas unitar om U ar inverterbar och dess invers ges av U ^* . Detta kan aven formuleras genom att krava att < Ux , Uy > = < x , y > for alla x och y i H . De unitara operatorerna bildar en grupp under komposition.

Ortogonala komplement och projektioner [ redigera | redigera wikitext ]

Om S ar en delmangd av Hilbertrummet H sa definieras

${\displaystyle S^{+}=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}$

Mangden S ⁺ ar en sluten delmangd av H och bildar darmed sjalvt ett hilbertrum. Om S ar ett slutet underrum av H sa kallas S ⁺ for det ortogonala komplementet till S , eftersom varje x i H kan i detta fall pa ett unit satt skrivas som en summa

x = s + t

dar s i S och t i S ⁺ . Funktionen P  : H → H som avbildar x pa s kallas da den ortogonala projektionen pa S . P ar i sig en sjalvadjungerad kontinuerlig linjar operator pa H med egenskapen att P ² = P ; och varje operator med denna egenskap ar en ortogonal projektion pa nagot slutet underrum. For varje x i H , P ( x ) ar det element i S som ar narmast x .

Obegransade operatorer [ redigera | redigera wikitext ]

I kvantmekanik betraktar man aven linjara operatorer som inte behover vara kontinuerliga eller definierade pa hela rummet H . Man kraver endast att de ar definierade pa ett tatt delrum av H . Det ar mojligt att definiera sjalvadjungerade obegransade operatorer, och dessa spelar rollen av observerbara storheter i den matematiska formuleringen av kvantmekaniken.

Typiska exempel pa sjalvadjungerade obegransade operatorer pa hilbertrummet L ² ( R ) ges av derivatan Af = if  (dar i ar den imaginara enheten och f ar en funktion, vars kvadrat ar integrabel). Ett annat exempel ar multiplikation med x : Bf ( x ) = xf ( x ). Notera att varken A eller B ar definierade pa hela H , eftersom i forsta fallet behover derivatan A inte existera, och i fallet B behover produktfunktionen inte vara integrarbar pa det satt som behovs. Dock ar bade A och B definierade i ett tatt delrum av L ² ( R ).

Historia [ redigera | redigera wikitext ]

Innan hilbertrum introducerades fanns andra generaliseringar av det euklidiska rummet. Hilbertrummet visade sig dock vara ett exemplariskt rum for kvantmekaniska berakningar och von Neumann anvande sig av sin axiomatiskt kompletta behandling av hilbertrum i sitt betydande arbete for kvantmekaniken ^{[ 1 ]} .

Hilbertrum i popularkultur [ redigera | redigera wikitext ]

Ett av rummen i datorspelet Stugan heter Hilbertrummet.

Se aven [ redigera | redigera wikitext ]

• Spektrum for en operator
• Matematisk analys
• Funktionalanalys

Referenser [ redigera | redigera wikitext ]

Auktoritetsdata ? LCCN : sh85060803 ? GND : 4159850-7 ? BNF : cb11979628h (data) ? NDL : 00563198 ? NKC : ph117602 ? BNE : XX531621