Area
Arean av de tre formerna tillsammans ar mellan 15 och 16 kvadrater .
Grundlaggande
Definition	Utstrackningen av en tvadimensionell yta i planet
Storhetssymbol(er)	${\displaystyle A}$ (fran latin eller engelska area ), ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle Q}$
Enheter
SI-enhet	Kvadratmeter (m 2 )
SI-dimension	L 2
CGS-enhet	Kvadratcentimeter  (cm 2 )
CGS-dimension	L 2
Planckenhet	Planckarea
Planckdimension	ħ · G · c -3
Astronomisk dimension	L 2
Angloamerikansk enhet	acre , sq.in. , sq.ft. , sq.yd. , sq.mi. , …
Angloamerikansk dimension	L 2

Area ar en storhet som beskriver utstrackningen av en tvadimensionell yta i planet . Arean hos en form kan matas genom att jamfora den med en kvadrat av bestamd storlek. SI-enheten for area ar kvadratmeter (m²). Inom matematiken ar enhetskvadraten definierad till att ha arean 1. Ibland anvands yta som synonym till area (men jamfor artikeln yta ). Nar man talar om arean hos landomraden anvands ibland areal . ^{[ 1 ]}

Det finns flera valkanda formler som beskriver arean hos enkla geometriska former , sasom trianglar , rektanglar och cirklar . Med dessa formler kan arean av en godtycklig polygon beraknas med polygontriangulering , det vill saga att dela upp polygonen i trianglar. ^{[ 2 ]} For geometriska former med krokta rander maste man vanligen anvanda matematisk analys for att berakna arean. Faktum ar att behovet att kunna bestamma arean hos plana geometriska former var en av anledningarna till att den matematiska analysen utvecklades. ^{[ 3 ]}

Ytarean hos enkla tredimensionella geometriska former sasom sfarer , koner och cylindrar kunde redan de gamla grekerna bestamma. Mer komplicerade kroppars ytarea kan beraknas med matematisk analys i flera variabler.

Area har stor betydelse inom modern matematik. Detta galler inte bara den uppenbara betydelsen inom geometri och matematisk analys; area ar beslaktat med definitionen av determinanter i linjar algebra , och ar en grundlaggande egenskap i differentialgeometri . ^{[ 4 ]}

Definition [ redigera | redigera wikitext ]

En ansats att definiera vad som menas med area ar genom ett antal axiom . Till exempel kan vi definiera area som en funktion a fran en samling speciella plana figurer (benamns matbara mangder) M till mangden reella tal som har foljande egenskaper:

• a ( S ) ≥ 0 for alla S i M .
• Om S och T tillhor M sa gor aven S  ∪  T , S  ∩  T det och a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S  ∩  T ) .
• Om S och T tillhor M med S  ⊆  T sa tillhor T  -  S ocksa M och a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ) .
• Om en mangd S tillhor M och S ar kongruent med T sa tillhor T ocksa M och a ( S ) =  a ( T ).
• Varje rektangel R tillhor M . Om rektangeln har langden h och bredden k sa ar a ( R ) =  hk .
• Lat Q vara en mangd innesluten mellan tva rektangelomraden S och T . Ett rektangelomrade utgors av en finit union av narliggande rektanglar pa en gemensam bas, det vill saga S ⊆ Q ⊆ T . Om det finns ett unikt tal c sadant att a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) for alla sadana rektangelomraden S och T , sa ar a ( Q ) =  c .

Enheter [ redigera | redigera wikitext ]

Varje langdenhet har en motsvarande ytenhet , dar langdenheten motsvarar alla sidor i en kvadrat. Alltsa kan area matas i till exempel kvadratmeter (m²), kvadratcentimeter (cm²), kvadratmillimeter (mm²), kvadratkilometer (km²).

Enhetsomvandlingar [ redigera | redigera wikitext ]

Omvandlingar mellan tva ytenheter ar kvadraten av deras langdforhallande. Till exempel ar

1 cm = 10 mm

och forhallandet mellan cm² och mm² ar 100, det vill saga 10 ² .

Vidare ar:

• 1 kvadratkilometer = 1 000 000 kvadratmeter
• 1 kvadratmeter = 10 000 kvadratcentimeter = 1 000 000 kvadratmillimeter

Andra enheter [ redigera | redigera wikitext ]

Det finns flera andra vanliga enheter for area. Aret var den forsta enheten i det metriska mattsystemet, dar

• 1 ar = 100 kvadratmeter

Aven om ar sallan anvands idag anvands hektar fortfarande vanligen som enhet for markarea.

• 1 hektar = 100 ar = 10 000 kvadratmeter = 0,01 kvadratkilometer.

Grundlaggande formler for area [ redigera | redigera wikitext ]

Rektanglar [ redigera | redigera wikitext ]

Den enklaste areaformeln ar rektangeln . Givet en rektangel med langden l och bredden b , ar arean

${\displaystyle A=l\cdot b}$   (rektangel)

Alltsa, arean hos en rektangel ar langden multiplicerat med bredden. Som ett specialfall av detta har en kvadrat med sidolangd s arean

${\displaystyle A=s^{2}}$   (kvadrat)

Formeln for arean hos en rektangel foljer direkt fran de grundlaggande egenskaperna hos area, och betraktas ibland som en definition eller ett axiom . A andra sidan, om geometri utvecklas fore aritmetik , kan denna formel anvandas for att definiera multiplikation av reella tal .

Dissektionsformeln [ redigera | redigera wikitext ]

De flesta andra enkla formlerna for area foljer av dissektion . Detta innebar att man skar en plan figur i bitar, som summerar till arean hos originalfiguren.

Till exempel kan alla parallellogram delas upp i en trapetsoid och en rat triangel (enligt figuren till vanster). Om triangeln flyttas till andra sidan av trapetsoiden resulterar detta i en rektangel. Darfor ar arena hos en parallellogram samma som for en rektangel:

${\displaystyle A=b\cdot h}$   (parallellogram)

Men samma parallellogram kan ocksa skaras langs sin ena diagonal till tva kongruenta trianglar, som i figuren till hoger. Fran detta far man att arean hos vardera triangel ar halften av arean hos parallellogrammet:

${\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}$   (triangel)

Liknande resonemang kan foras for att hitta formler for arean hos trapetsoider , romber och mer avancerade polygoner .

Cirklar [ redigera | redigera wikitext ]

Formeln for cirkelns area grundar sig i en liknande metod. Givet en cirkel med radien r kan den delas in i sektorer enligt figuren till hoger. Varje sektor ar approximativt en triangular, och kan fordelas om till en approximativ parallellogram. Hojden hos denna parallellogram ar r och bredden halften av omkretsen hos cirkeln, eller π r . Alltsa ar den totala arean hos cirkeln r ?π r eller π? r ² .

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$   (cirkel)

Trots att dissektionen av cirkeln till sektorer ar approximativ blir felet mindre och mindre, ju fler sektorer som cirkeln delas in i. Gransvardet som arean hos parallellogrammen gar mot ar exakt π? r ² , som ar cirkelns area. Detta resonemang ar en enkel tillampning av matematisk analys .

Mantelarea [ redigera | redigera wikitext ]

De flesta enkla formler for mantelarea kan fas genom att skara upp ytan och slata ut till ett plan. Till exempel, om sidan hos en cylinder eller ett prisma skars pa langden kan ytan slatas ut till en rektangel. Pa samma satt, om en kon skars fran basen till toppen kan ytan slatas ut till en cirkelsektor, och arean raknas ut.

Formeln for mantelarean hos en sfar ar svarare: eftersom ytan pa en sfar har Gausskrokning som ar skild fran noll kan den inte slatas ut till ett plan. Mantelarean hos en sfar beraknades forst av Arkimedes i hans verk 'Om matning av cirkeln'. Formeln ar

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$   (sfar)

dar r ar radien hos sfaren. Precis som for cirkeln anvander harledningar av denna formel metoder som paminner om matematisk analys.

Lista over areaformler [ redigera | redigera wikitext ]

Vanliga areaformler

Figur	Formel	Variabler
Regelbunden triangel ( liksidig triangel )	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}}$	s ar langden hos en sida i triangeln.
Triangel	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$	s ar halva perimetern, a , b och c ar langderna hos sidorna.
Triangel	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$	a och b ar tva av sidorna, och γ ar vinkeln mellan dem.
Triangel	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh}$	b och h ar basen och hojden (matt vinkelratt basen).
Kvadrat	${\displaystyle s^{2}}$	s ar langden hos en sida.
Rektangel	${\displaystyle lb}$	l och b ar langderna hos sidorna (langd och bredd).
Romb	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	a och b ar langderna hos de tva diagonalerna .
Parallellogram	${\displaystyle bh}$	b ar landgden hos basen och h har hojden vinkelratt mot basen.
Parallelltrapets	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h}$	a och b ar de parallella sidornas langder och h avstandet (hojden) mellan de parallella sidorna.
Regelbunden hexagon	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}}$	s ar langden pa en sida hos hexagonen.
Regelbunden oktagon	${\displaystyle 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}}$	s ar langden pa en sida hos oktagonen.
Regelbunden polygon	${\displaystyle {\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}}$	s ar langden pa sidan, och n antalet sidor.
	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap}$	a ar apotemat (radien hos en inskriven cirkel som tangerar polygonen) och p ar polygonens omkrets.
Cirkel	${\displaystyle \pi r^{2}}$ eller ${\displaystyle {\frac {\pi d^{2}}{4}}}$	r ar radien, och d diametern .
Cirkelsektor	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$	r och θ ar radien och vinkeln i radianer .
Ellips	${\displaystyle \pi ab}$	a och b ar halva langden av ellipsens storaxel respektive lillaxel.
Total omslutningsarea ( begransningsarea ) hos en Kub	${\displaystyle 6s^{2}\,\!}$	s ar langden av kubens kant.
Total omslutningsarea (begransningsarea) hos ett Ratblock	${\displaystyle 2(ab+ac+bc)\,\!}$	a, b och c ar langden av ratblockets kanter.
Total omslutningsarea (begransningsarea) hos en Cylinder	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$ och ${\displaystyle h}$ ar radien och hojden.
Mantelarea hos en cylinder	${\displaystyle 2\pi rh}$	r och h ar radien och hojden.
Total omslutningsarea (begransningsarea) hos en kon	${\displaystyle \pi r(r+l)}$	r och l ar radien och langden fran basperiferin till toppen.
Mantelarea hos en kon	${\displaystyle \pi rl}$	r och l ar radien och langden fran basperiferin till toppen.
Total ytarea hos en sfar	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}}$	r och d ar radien och diametern.
Total ytarea hos en regelbunden Pyramid	${\displaystyle B+{\frac {pl}{2}}}$	B ar basarean, p ar basens perimeter och l ar apotemat (det vinkelrata avstandet fran baspolygonens kanter till toppen).
Konvertering fran kvadratisk till cirkular area	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A}$	A ar arean hos kvadraten i kvadratisk enhet.
Konvertering fran Cirkular till kvadratisk area	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}C\pi }$	C ar arean hos cirkeln i cirkular enhet. [ forklaring behovs ]

Formlerna ovan visar hur arean kan beraknas for manga enkla och regelbundna figurer. Arean hos oregelbundna polygoner kan beraknas med koordinatareaformeln . ^{[ 5 ]}

Se aven [ redigera | redigera wikitext ]

• Integraler
• Perimeter
• Volym
• Omkrets
• Areal
• Area och volym for husbyggnader

Referenser [ redigera | redigera wikitext ]

Den har artikeln ar helt eller delvis baserad pa material fran Engelsksprakiga Wikipedia .

Noter [ redigera | redigera wikitext ]

Externa lankar [ redigera | redigera wikitext ]

• Wikimedia Commons har media som ror Area .
  Bilder & media
• Wiktionary har ett uppslag om area .
  Ordbok
• Areaformler

Auktoritetsdata ? LCCN : sh85006984 ? GND : 4193807-0 ? BNF : cb12172891w (data)