С Википеди?е, слободне енциклопеди?е
Трисекци?а угла
,
квадратура круга
и удва?а?е коцке спада?у у три чувена проблема грчке
математике
ко?а су од изузетног знача?а за разво? геометри?е.
Позна?у?и неки
угао
α
треба конструисати, само уз помо? шестара и ле?ира, тре?ину датог угла (
β = α / 3
). Претпоставимо да ?е угао β
конструктибилан
, а угао β ?е конструктибилан само ако су му конструктибилни
cosβ
и
sinβ
. За углове ?е важити ?еднакост:
cosα = cos3β = 4cos3β - 3cosβ
.
Узмимо да ?е
α = π / 3
и да ?е потребно конструисати угао
β = π / 9
. У том случа?у ?е важити: cos3β = 4cos3β - 3cosβ = cosπ/3 = 1/2; Уво?е?ем смене x = cosβ доби?а се ?едначина:
4x
3
- 3x - 1/2 = 0
.
Да би
β
конструктибилан бро?, мора посто?ати алгебарско реше?е ове ?едначине. Пошто ова? полином нема рационалне корене значи да ?е
p(x)
несвод?ив на
Q
.
Нека ?е
a ∈ R
реше?е ?едначине 4x
3
- 3x - 1/2 = 0; Тада ?е |
Q
[
a
]:
Q
| =
3 ≠ 2
r
, а то значи да
a
ни?е конструктибилан бро?, што да?е имплицира да
cosβ
ни?е
конструктибилан
а самим тим ни угао
β
.
Тиме смо доказали да
трисекци?а угла
ни?е могу?а.
[1]
- ^
Математички речник бро?ева, Де?ан Р. Цви?ети?, Микрок?ига, Београд, 2009.
