한국   대만   중국   일본 
Аксиоматски систем ? Википеди?а Пре?и на садржа?

Аксиоматски систем

С Википеди?е, слободне енциклопеди?е

У математици , аксиоматски систем ?е било ко?и скуп аксиома из ко?их се неке или све аксиоме могу користити у вези са логичким изво?е?ем теорема . Математичка теори?а се састо?и од аксиоматског система и свих изведених теорема. Аксиоматски систем ко?и ?е у потпуности описан ?е посебан облик формалног система. Формална теори?а типично значи аксиоматски систем, на пример формулисан унутар теори?е модела. Формални доказ ?е комплетно изво?е?е математичког доказа унутар формалног система.


Особине [ уреди | уреди извор ]

Аксиоматски систем мора да буде:

  • Непротивуречан
  • Независан
  • Потпун
  • Каже се да ?е аксиоматски систем непротивуречан ако нема контрадикци?у, т?. могу?ност изво?е?а и из?аве и ?еговог порица?а од аксиоматског система.
  • У аксиоматском систему, аксиом се назива независним ако ни?е теорема ко?а се може извести из других аксиома у систему. Систем ?е се назвати независним ако ?е сваки од ?ених основних аксиома независан. Иако независност ни?е неопходан услов за систем, кнепротивуречност ?есте.
  • Аксиоматски систем ?е се назвати потпуним ако ?е за сваку из?аву или сама или ?егова негаци?а извод?ива.


Модели [ уреди | уреди извор ]

Модел за аксиоматски систем ?е добро дефинисан скуп , ко?и доде?у?е значе?е недефинисаним терминима представ?еним у систему, на начин ко?и ?е тачан са односима дефинисаним у систему. Посто?а?е конкретног модела доказу?е конзистентност система. Модел се назива конкретним ако су значе?а ко?а су доде?ена об?ектима и релаци?ама из стварног света, за разлику од апстрактног модела заснованог на другим аксиоматским системима. Модели се тако?е могу користити за приказ независности аксиома у систему. Израдом валидног модела за подсистем без специфичне аксиома, показу?емо да ?е изостав?ена аксиома независна ако ?ена исправност не мора нужно пратити из подсистема. За два модела се тврди да су изоморфна ако се ?една-на-?една кореспонденци?а може прона?и изме?у ?ихових елемената, на начин ко?и чува ?ихов однос. Аксиоматски систем за ко?и ?е сваки модел изоморфан другом се зове категори?ални (понекад категоричан), а сво?ство категоричности (категоричност) осигурава потпуност система.


Истори?а [ уреди | уреди извор ]

Математичке методе разви?ене су до одре?еног степена софистицираности у древном Египту, Вавилону, Инди?и и Кини , очигледно без употребе аксиоматске методе. Еуклид ?е аутор на?рани?е аксиоматске презентаци?е еуклидске геометри?е и теори?е бро?ева . Многи аксиоматски системи разви?ени су у деветнаестом веку, ук?учу?у?и не-еуклидску геометри?у, теме?е стварне анализе, Канторову теори?у сетова, Фрегеов рад на теме?у и Хилбертову "нову" употребу аксиоматске методе као истраживачког алата. На пример, група теори?а ?е прво став?ена на аксиоматску основу кра?ем тог века. ?едном када се аксиоми раз?асне (на пример, да се захтева?у инверзни елементи), суб?ект би могао да настави аутономно, без обзира на порекло група трансформаци?е тих студи?а.

У геометри?и [ уреди | уреди извор ]

Еуклид ?е први увео аксиоматски систем у геометри?у негде око 300. године пре нове ере, док ?е тек Хилберт , кра?ем 19. века потпуно аксиоматизовао. Хилбертов аксиоматски систем ?е пример добро уре?еног аксиоматског система. Састо?и се од пет група аксиома. Прве четири групе чине апсолутну геометри?у .

Прва група аксиома [ уреди | уреди извор ]

Прву групу аксиома чине аксиоме поретка и оне гласе:

  • I1: Свака права садржи на?ма?е две разне тачке.
  • I2: Посто?и на?ма?е ?една права ко?а садржи две тачке.
  • I3: Посто?и на?више ?една права ко?а садржи две разне тачке.
  • I4: Свака раван садржи на?ма?е три неколинеарне тачке.
  • I5: Посто?и на?ма?е ?една раван ко?а садржи три тачке.
  • I6: Посто?и на?више ?една раван ко?а садржи три неколинеарне тачке.
  • I7: Ако две разне тачке неке праве припада?у ?едно? равни, онда свака тачка те праве припада исто? равни.
  • I8. Ако две разне равни има?у ?едну за?едничку тачку, онда оне има?у на?ма?е ?ош ?едну за?едничку тачку.
  • I9. Посто?е четирири некопланарне тачке.

Друга група аксиома [ уреди | уреди извор ]

Другу групу аксиома чине аксиоме распореда:

  • II1:Ако ?е B(A,B,C), тада су A,B,C три разне колинеарне тачке .
  • II2:Ако ?е B(A,B,C), тада ?е B(C,В,А).
  • II3:Ако ?е B(A,B,C), тада ни?е B(В,А,С).
  • II4:Ако су А, В и С три разне колинеарне тачке, тада ?е B(A,B,C), или B(В,А,С), или B(А,С,В).
  • II5:Ако су А, В две разне тачке, тада посто?и тачка С, таква да ?е B(A,B,C).
  • II6:Ако су А, В и С три разне неколинеарне тачке и p права ко?а припада равни АВС, не садржи тачку А и сече праву ВС у тачки Р такво? да ?е В(В,Р,С), тада права p сече праву АС у тачки Q такво? да ?е B(С,Q,А)., или правуАВ у тачки R, такво? да ?еB(В,R,А).

Тре?а група аксиома [ уреди | уреди извор ]

Тре?у групу аксиома чине аксиоме подударности:

  • III1:Ако су А, B, C, D тачке такве да ?е (A,B)?(C,D) и А = В, тада ?е и C = D.
  • III2:Ако су А и В две разне тачке, тада ?е (А,В)?(В,А).
  • III3:Ако су А ,В,C,D,E,F тачке такве да (А,В)?(C,D) и (А,В)?(E,F), тада ?е (C,D)?(E,F).
  • III4:Ако су С и С' тачке две?у отворених дужи АВ и А'В', такве да ?е (А,С)?(А',С') и (B,C)?(B',C'), тада ?е и (A,B)?(А',В').
  • III5:Ако су А и В две разне тачке и тачка С теме неке полуправе, тада на то? полуправо? посто?и тачка D таква да ?е (A,B)?(С,D)
  • III6:Ако су A, B, C три неколинеарне тачке и A', B' тачке руба неке полуравни, такве да ?е (A,B) ? ( A',B'), тада у то? полуравни посто?и ?единствена тачка C' таква да ?е (A,C) ? (A',C') и (B,C) ? (B',C').
  • III7:Ако су A, B, C и A', B', C' две тро?ке неколинеарних тачака и D и D' тачке полуправих BC и B'C', такве да ?е (A,B)?( A',B'),

(B,C) ? (B',C'), (C,A) ? (C',A') и (B,D) ? (B',D'), тада ?е и (A,D) ? (A',D').

Четврта група аксиома [ уреди | уреди извор ]

Четврту групу аксиома чине аксиоме непрекидности:

  • IV1( Архимед - Еудоксова аксиома): Ако су AB и CD две произво?не дужи, тада на полуправо? АВ посто?и коначан низ тачака А1, А2, А3 ... Аn, таквих да ?е B(A1,А2,А3...,Аn), при чему ?е свака од дужи А1А2, А2А3... подударна дужи CD и важи B(A,B,An).
  • IV2( Канторова аксиома):Ако ?е A1В1,А2В2,А3В3...АnBn...низ затворених дужи неке праве, таквих да свака од тих дужи садржи следе?у, тада посто?и тачка Х таква да припада свако? дужи тог низа. [1]

Аксиома паралелности [ уреди | уреди извор ]

  • VЕ: Посто?е права p и тачка A ван те праве, такве да у ?има одре?ено? равни не посто?и више од ?едне праве ко?а садржи тачку А и нема за?едничких тачака са правом p. [2]
  • VL:Посто?е права p и тачка A ван те праве, такве да у ?има одре?ено? равни посто?и више од ?едне праве ко?а садржи тачку А и нема за?едничких тачака са правом p. [2]

Аксиома VЕ назива се Пети Еуклидов постулат и она придружена са Апсолутном геометри?ом да?е Еуклидску геометри?у, а придружива?ем аксиоме Лобачевског апсолутно? геометри?и доби?амо Хиперболичку геометри?у .

Референце [ уреди | уреди извор ]

  1. ^ Лучи?, Зоран (1997). Еуклидска и Хиперболичка геометри?а . total design i matemati?ki fakultet.  
  2. ^ а б Lopandi?, Dragomir. Geometrija (2011 изд.). Beograd: Zavod za ud?benike.  

Спо?аш?е везе [ уреди | уреди извор ]

Преузето из ? https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Аксиоматски_систем&oldid=27366213 ”