Trupat e Platonit ne hapsiren tre dimenzionale, jane poliedera te rregullt dhe konveks. Ata jane konstruktuar nga shumekendesha me faqe te rregullta dhe kongurente, numri i te cileve eshte i njejte ne secilin kulm. ^[1]

Historia [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Trupat e Platonit jane te njohura qysh ne kohen antike. Ato per here te pare jane permendur nga filozofi Platoni, nga edhe e kane marr emrin. Plato ( Platoni) shkroi per ta ne dialogun “ Timaeus ” ne vitin 360 para eres tone, ne te cilen ai i ka lidhur kater elementet klasike (toka, ajri, uji dhe zjarri ) me ndonje trup te rregullt ^[2] . Toka ishte e lidhur me kubin, ajri me oktaedrin, uji me ikosaedrin dhe zjarri me tetraedrin. Ne lidhje me trupin e peste, dodekaedrin Platoni shenon “... Zoti e ka perdorur (ate) per te rregulluar yjet ne gjithesi”. Aristoteli duke u bazuar ne kete emerim te Platonit ka shtuar edhe nje element te ri, “aith?r“ ( ne Latinisht aether, kurse “ether” ne Anglisht) duke e marre si te mireqene qe gjithesia eshte e perbere nga ky element, mirepo ai asnjehere nuk e beri nderlidhjen e tij me elementin e peste te trupave  te Platonit. ^[3]

Euklidi beri pershkrimin matematik te ketyre trupave ne permbledhjen e librave me titullin “ The Elements ” , ne librin e XIII , ne te cilin ai pershkruan vetite e ketyre trupave. Ne kete liber problemet 13-17 pershkruanin ndertimin e tetraedrit, oktaedrit, kubit, ikosaedrit dhe dodekaedrit me radhe. Ne problemin 18 ai argumenton se nuk ekziston ndonje polieder tjeter konveks. ^[4]

Ne shekullin e 16, astronomi i njohur Gjerman Johannes Kepler u perpoq te beje nje nderlidhje ne mes te ketyre trupave dhe pese planeteve te njohura deri ne ate kohe. Ne vepren e tij Mysterium Cosmographicum te publikuar me 1596, Kepleri propozoi nje model te sistemit solar, ku pese trupat ishin te vendosur brenda njeri tjetrit dhe ishin te ndara nga nje seri e sferave te kufizuara.

Karakteristikat e trupave te Platonit [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Sikurse tek n-kendshat e rregullt, trupat e Platonit kane nje karakteristike te dobishme, ata jane simetrike ne lidhje me kulmet, brinjet dhe faqet.

Disa karakteristika bazike te trupave te Platonit jane:

Nese trupat e larte cekur kane qendren ne origjinen e sistemit koordinativ kartezian ne, atehere me poshte do te japim koordinatat e kulmeve te tyre, ku me ${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$  shenojme raportin e arte.

Koordinatat e kulmeve te trupave te Platonit

Trupat e platonit	Koordinatat e kulmeve
Tetraedri	( 1, 1, 1)  , ( -1, -1, 1) , ( 1, -1, -1) ,( -1, 1, -1)
Kubi	( ±1, ±1, ±1)
Oktaedri	( ±1, 0, 0), ( 0, ±1, 0) , ( 0, 0, ±1)
Dodekaedri	${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }})}$ ${\displaystyle (\pm \varphi ,0,\pm {\frac {1}{\varphi }})}$ ${\displaystyle (\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,0)}$
Ikosaedri	( 0, ±1 , ±φ), ( ±1, ±φ, 0), ( ±φ, 0, ±1)

Nje polieder konveks eshte trup platonik atehere dhe vetem atehere kur:

•   Te gjitha faqet e tij jane shumekendsha te rregullt konveks dhe kongruent.
•   Faqet e tij nuk priten askund tjeter pervec ne brinjet e tyre, dhe
•  Numer i njejte i faqeve takohet ne secilin kulm te tij.

Prandaj cdo trup i Platonit mund te shprehet me simbolin { p, q} ku

           p eshte numri i brinjeve (ose ekuivalente, kulmeve) te cdo faqeje, dhe

          q eshte numri i faqeve (ose ekuivalente, brinjeve) qe takohen ne cdo kulm.

Simboli {p,q} quhet simboli “ Schlafli ” , dhe na jep nje pershkrim kombinatorik te polihedrit. Duke u bazuar ne tabelen 1-2 dhe ate qe u tha me larte, simboli Schlafli per secilin trup merret keshtu: tetraedri {3,3}, kubi {4,3}, oktaedri {3,4}, dodekaedri {5,3}, ikosaedri {3,5} .

Informacionet tjera ne lidhje me trupat e Platonit te tilla si numri i kulmeve (V), numri i brinjeve (E), dhe numri i faqeve (F), mund te perfitohet nga p dhe q. Pasi cdo brinje i bashkon dy kulme dhe i takon dy faqeve kemi:

${\displaystyle pF=2E=qV}$

Relacion tjeter ne mes ketyre vlerave eshte dhene nga formula e Eulerit :

Kjo mund te vertetohet ne disa menyra. Keto tri relacionet e meposhtme na japin vleren e V, E dhe F :

${\displaystyle V-E+F=2}$

Kjo mund te vertetohet ne disa menyra. Keto tri relacionet e meposhtme na japin vleren e V, E dhe F :

${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}}$

Nese p dhe q ndryshojne vendet atehere vlerat e V dhe F ndryshojne kurse E mbetet e pandryshuar. ^[5]

Vertetimi mbi ekzistencen e vetem pese trupave te Platonit [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Ne  vazhdim do te tregojme se nuk ekzistojne me shume se pese trupa te Platonit, kete vertetim do ta bejme me ane te dy metodave.

Vertetimi gjeometrik [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Argumentimi i meposhtem gjeometrik eshte i ngjajshem me ate te dhene nga Euklidi ne “Elements”.

1.   Cdo kulm i trupit duhet te jete kulm per te pakten tri faqe.
2.   Per secilin kulm te trupit, shuma totale e kendeve te faqeve qe bashkohen ne ate kulm, duhet te jete 360 ? . Nese kjo shume eshte me e vogel se 360 ?, quhet defekt kendor.
3.   Kendet tek te gjitha kulmet e te gjitha faqeve te trupit platonik jane identike, cdo kulm i cdo faqeje duhet te jete me i vogel se
4.  Shumekendshi i rregullt me 6 ose me shume brinje  ka kend me te madhe ose baraz me 120 ?, prandaj faqet kongruente mund te jene trekendsha, katror ose peskendesha. Per keto forma te ndryshme te faqeve vlejne:
   • Faqe trekendore: Cdo kulm i trekendshit te rregullt ka kend 60 ? , prandaj trupi mund te kete 3,4 ose 5 trekendsha qe takohen me nje kulm, keta jane tetraedri, oktaedri dhe ikosaedri perkatsisht.
   • Faqe katrore: Cdo kulm i katrorit ka kend prej 90 ?, prandaj ekziston vetem nje trup qe ka 3 faqe te bashkuara me nje kulm dhe ai eshte kubi.
   • Faqe pesekendore: Cdo kulm i pesekendshit eshte 108 ?, prandaj ekziston vetem nje trup me 3 faqe qe bashkohen me nje kulm, ai eshte dodekaedri.

Nga vetite qe u thane me larte, rrjedhe qe ekzistojne vetem pese trupa platonik.

Vertetimi topologjik [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Do te perdorim formulen e njohur te Eulerit:

${\displaystyle V-E+F=2}$ ..........................................................(*)

si dhe formulen e dhene me heret:

${\displaystyle pF=2E=qV}$............................................................(**)

ku p paraqet numrin e brinjeve te seciles faqe, kurse q paraqet numrin e brinjeve qe takohen ne nje kulm.

Nga (*) dhe (**) kemi se :

${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2}$

i cili pas nje hapi te thjeshte kthehet ne :   

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{E}}}$

tani duke pasur parasyshe se ${\displaystyle E\geq 0}$ , kemi se ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}}$.

Nga shihet se p dhe q kane vlere me te madhe ose baraz me 3, si dhe vlejne vetem keto kombinime te meposhtme:

{3,3} ,{4,3} , {3,4}, {5,3} ,{3,5} .

Dualiteti [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Cdo polieder e ka poliedrin dual (ose ‘polar’) ku nderrohet roli i faqeve dhe kulmeve. Duali i cdo trupi platonik eshte po ashtu trup platonik, prandaj  mund t’i shprehim pese trupat ne cifte duale.

• Tetraedri eshte dual i vetvetes (apo duali i tij eshte nje tetraeder),
• Kubi dhe oktaedri formojne nje cift dual,
• Dodekaedri dhe ikosahedri formojne nje cift dual.

Nese trupi i Platonit ka simbolin {p,q} atehere duali i tij do ta kete {q,p} . Ne te vertete cdo veti kombinatorike e trupit te Platonit mund te interpretohet si nje veti kombinatorike e dualit te tij.

• 
  Dualiteti i dodekaedrit dhe ikosaedrit
• 
  Dualiteti i kubit dhe oktaedrit                      

Duali i njerit trup mund te konstruktohet nese ne secilen qender te faqeve te trupit fillestar marrim kulmet e dualit te tij dhe me pas duke i bashkuar keto kulme ashtu qe brinja e cila i bashkon dy kulmet e faqeve fqinje te trupit fillestar do jete brinja e dualit te tij.

Referime [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

1. ^ Gardner, Martin (1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions . Chicago: University of Chicago Press. fq. Chapter 1: The Five Platonic Solids. ISBN   0226282538 . {{ cite book }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )
2. ^ Zeyl, Donald (2008). Plato's Timaeus . Stanford: The Stanford Encyclopedia of Philosophy. fq. All. ISBN   9780872204461 . {{ cite book }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )
3. ^ Christian, Wildberg (1988). John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether . Berlin: Walter de Gruyter. fq. 11?12. ISBN   9783110104462 . {{ cite book }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )
4. ^ Hermann, Weyl (1952). Symmetry . Princeton: Princeton University Press. fq. All. ISBN   0-691-02374-3 . {{ cite book }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )
5. ^ ., Euclid; Heath, Thomas L (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements . New York: Dover Publications. fq. Books 10?13 (2nd unabr. ed.). ISBN   0-486-60090-4 . {{ cite book }} : |last= ka emer shifror ( Ndihme! ) ; Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )