Ne teorine e probabilitetit , distanca totale e variacionit eshte nje mase e largesise per shperndarjet e probabilitetit. Eshte nje shembull i nje metrike te largesise statistikore dhe nganjehere quhet largesia statistikore , ndryshesa statistikore ose largesia variacionale .

Perkufizimi [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Konsideroni nje hapesire te matshme ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ dhe masat e probabilitetit ${\displaystyle P}$ dhe ${\displaystyle Q}$ percaktuar me ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ . Largesia totale e variacionit ndermjet ${\displaystyle P}$ dhe ${\displaystyle Q}$ perkufizohet si ^[1]

${\displaystyle \delta (P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|P(A)-Q(A)\right|.}$

Kjo eshte ndryshesa absolute me e madhe midis probabiliteteve qe dy shperndarjet e probabilitetit i caktojne te njejtes ngjarje.

Vetite [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Largesia totale e variacionit eshte nje divergjence <i id="mwJg">f</i> dhe nje metrike integrale e probabilitetit .

Lidhja me largesite e tjera [ Redakto | Redakto nepermjet kodit ]

Largesia totale e variacionit lidhet me divergjencen Kullback-Leibler nga mosbarazimi i Pinsker -it:

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.}$

Gjithashtu merret mosbarazimi i meposhtem, per shkak te Bretagnolle dhe Huber ^[2] (shih gjithashtu ), e cila ka avantazhin e sigurimit te nje kufiri jo vakuoz edhe kur ${\displaystyle \textstyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2\colon }$

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}}.}$

Largesia totale e variacionit eshte gjysma e largesia L <sup id="mwOw">1</sup> midis funksioneve te probabilitetit: ne domene diskrete, kjo eshte largesia midis funksioneve te mases se probabilitetit ^[3]

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\sum _{x}|P(x)-Q(x)|,}$

dhe kur shperndarjet kane funksione standarde te densitetit te probabilitetit p dhe q, ^[4]

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\int |p(x)-q(x)|\,\mathrm {d} x}$

1. ^ Chatterjee, Sourav. "Distances between probability measures" (PDF) . UC Berkeley. Arkivuar nga origjinali (PDF) me 8 korrik 2008 . Marre me 21 qershor 2013 . {{ cite web }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )
2. ^ Bretagnolle, J.; Huber, C, Estimation des densites: risque minimax , Seminaire de Probabilites, XII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1976/1977), pp. 342?363, Lecture Notes in Math., 649, Springer, Berlin, 1978, Lemma 2.1 (French).
3. ^ David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times , 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.
4. ^ Tsybakov, Aleksandr B. (2009). Introduction to nonparametric estimation (bot. rev. and extended version of the French Book). New York, NY: Springer. Lemma 2.1. ISBN   978-0-387-79051-0 . {{ cite book }} : Mungon ose eshte bosh parametri |language= ( Ndihme! )