Za ostala zna?enja, vidi Topologija (razvrstavanje) .

Topologija (od gr?kog τ?πo? ?mesto“ i λ?go? ?nauka, znanje, re?“) je jedna od najmlađih grana matematike , koja je svojim dinami?nim razvojem tokom dvadesetog veka dovela do re?enja nekoliko zna?ajnih klasi?nih matemati?kih problema.

Topologija nije primarna matemati?ka grana. Za njeno prou?avanje neophodno je posedovanje osnovnih znanja iz matemati?ke analize (uklju?uju?i teoriju skupova ) i algebre (između ostalog i iz teorije kategorija). Metode, jezik i na?in razmi?ljanja u topologiji su za matemati?ara sa osnovnim obrazovanjem koji im prvi put pristupa novi i druga?iji. Pojednostavljeno re?eno, u topologiji je najva?nije razumevanje globalnih (geometrijskih) struktura, dok konkretna odstojanja i konkretne realizacije globalnih struktura ne igraju ulogu - kvadrat ve?e i manje povr?ine su topolo?ki ekvivalentni (za topologa se ne razlikuju), ?ak i bilo koji kvadrat i bilo koji pravougaonik, zapravo ma koji mnogougao i kvadrat topolo?ki su ekvivalentni, između njih se ne pravi razlika.

Sama topologija se deli na op?tu topologiju , koja se bavi samim topolo?kim prostorima i algebarsku topologiju , u kojoj se prou?avaju invarijante, odnosno osobine topolo?kih prostora koje se ne menjaju pri neprekidnim preslikavanjima. U okviru algebarske topologije se nalaze jo? geometrijska i diferencijalna topologija , koje se bave na primer mnogostrukostima i diferencijalnim preslikavanjima.

Osnovni objekt u topologiji su topolo?ki prostori , odnosno skupovi s jednom posebnom strukturom, koja se kao i ?itava disciplina naziva topologijom.

Istorija [ uredi | uredi kod ]

Grana matematike koja se danas naziva topologijom je nastala izu?avanjem određenih geometrijskih pitanja. Ojlerov rad iz 1736 . o Kenigzber?kim mostovima spada među prve topolo?ke rezultate.

Izraz topologija je u nema?ki jezik uveo Johan Benedikt Listing 1847, u radu Vorstudien zur Topologie , Vandenhoeck und Ruprecht, Gottingen, pp. 67, 1848. Međutim, Listing je ve? deset godina koristio ovaj izraz u prepisckama.

Moderna topologija se u velikoj meri zasniva na teoriji skupova , koju je razvio Georg Kantor krajem devetnaestog veka. Kantor je, osim ?to je postavio osnovne ideje teorije skupova, takođe razmatrao skupove ta?aka u Euklidskom prostoru , u sklopu prou?avanja Furijeovih redova .

Anri Poenkare je 1895. godine objavio knjigu Analysis Situs , u kojoj je uveo koncepte homotopije i homologije , koji se danas smatraju delom algebarske topologije.

Moris Fre?e je, objedinjuju?i rad Kantora, Voltere , Arcele , Adamara , Askolija i drugih, 1906. uveo metri?ki prostor . Metri?ki prostor se danas smatra posebnim slu?ajem op?teg topolo?kog prostora. 1914, Feliks Hausdorf je skovao izraz topolo?ki prostor i dao definiciju za ono ?ta se danas naziva Hausdorfovim prostorom . U dana?njem zna?enju, topolo?ki prostor je blago uop?tavanje Hausdorfovih prostora, koje je 1922. dao Kazimir Kuratovski .

Matemati?ka definicija [ uredi | uredi kod ]

Glavni ?lanak: Topolo?ki prostor

Neka je X neki skup, i neka je T familija podskupova skupa X . Tada je T topologija na X ako

1. I prazan skup i X pripadaju T .
2. Svaka unija elemenata iz T je element T .
3. Svaki presek kona?no mnogo elemenata iz T je element T .

Ako je T topologija na X , onda se X zajedno sa T naziva topolo?kim prostorom .

Skup iz T se naziva otvorenim skupom . Komplement skupa iz T se naziva zatvorenim skupom . Ako ni skup ni njegov komplement nisu u T , onda skup nije ni otvoren ni zatvoren.

Funkcija ili preslikavanje iz jednog topolo?kog prostora u drgi se naziva neprekidnom ako je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena. Ako funkcija slika realne brojeve u realne brojeve (oba prostora sa Standardnom topologijom), onda je ova definicija neprekidnosti ekvivalentna definiciji neprekidnosti koja se javlja u analizi . Ako je neprekidna funkcija jedan-jedan i na i ako je i inverz te funkcije neprekidan, onda funkciju nazivamo homeomorfizmom , a skup iz kojeg funkcija preslikava je homeomorfan skupu u koji preslikava. Ako su dva prostora homeomorfna, oni imaju identi?na topolo?ka svostva i topolo?ki se smatraju istim. Kocka i sfera su homeomorfne, kao i ?oljica za ?aj i krofna. Ali krug nije homeomorfan krofni (torusu).

Topologija na Wikimedijinoj ostavi