David Hilbert
Rođenje	( 1862-01-23 ) 23. 1. 1862. Konigsberg ili Wehlau , Kraljevina Pruska (danas Znamensk (Kalinjingradska oblast) , Rusija )
Smrt	14. 2. 1943 . (dob: 81) Gottingen , Njema?ka
Prebivali?te	Njema?ka
Polje	matematika i filozofija
Alma mater	Univerzitet u Konigsbergu
Akademski mentor	Ferdinand von Lindemann
Istaknuti studenti	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Paul Funk Kurt Grelling Alfred Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert Konig Emanuel Lasker Charles Max Mason Erhard Schmidt Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Sudan Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Poznat po	Hilbertov osnovni teorem Hilbertovi aksiom Hilbertovi problemi Hilbertov program Einstein?Hilbertova akcija Hilbertov prostor

David Hilbert ( 23. 1. 1862 . ? 14. 2. 1943 .) je njema?ki matemati?ar koji se smatra jednom od najzna?ajnijih li?nosti matematike 19. i ranog 20. vijeka. Uticao je na cijeli niz matemati?ara svog doba. Surađivao je s Albertom Einsteinom u razvoju teorije op?e relativnosti. ^{[1] [2]}

Hilbert je bio jedini sin Otta i Marije Therese (Erdtmann) Hilbert, rođen u Wehlau (Znamensk) kraj Konigsberga u tada?njoj Pruskoj . ^[3] U jesen 1872 . upisuje Friedrichskolleg gimnaziju (istu ?kolu koju je 140 godina prije njega pohađao Immanuel Kant ), ^[4] ali se 1879 . prebacio i 1880 . zavr?io znanstveno orijentiraniju gimnaziju u Wilhelmu. U jesen iste godine upisuje fakultet u Konigsbergu. Tamo se sprijateljio sa talentiranim Hermannom Minkowskim.

Godine 1884 . Adolf Hurwitz, sa fakulteta u Gottingen , postaje izvanredni profesor na fakultet u Konigsbergu. Od tada njihova međusobna razmjena znanstvenih ideja ima zna?ajan utjecaj na njihove znanstvene karijere. Hilbert je doktorirao 1885 . godine, sa dizertacijom "O nepromjenjivim svojstvima posebnih binarnih formi, sa naglaskom na sferne harmonijske funkcije" ( njem. Uber invariante Eigenschaften spezieller binarer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ).

Na istom fakultetu ostaje kao profesor od 1886 . do 1895 . godine. O?enio se 1892 . sa Kathe Jerosch s kojom je imao jednog sina. Godine 1895 . na nagovor Felixa Kleina dolazi na poziciju predstojnika katedre za matematiku na fakultetu u Gottingenu, u to vrijeme najboljem centru za znanstvena istra?ivanja u podru?ju matematike na svijetu, gdje ostaje do umirovljenja 1930 . godine. Njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire 1909 . godine.

Među Hilbertovim u?enicima bili su: Hermann Weyl, ?ahovski prvak Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, Carl Gustav Hempel i kasnije poznati matemati?ari: Otto Blumenthal (1898.), Felix Bernstein (1901.), Hermann Weyl (1908.), Richard Courant (1910.), Erich Hecke (1910.), Hugo Steinhaus (1911.), Wilhelm Ackermann (1925.). ^[5] Na fakultetu je okru?en s nekima od najzna?ajnijih matemati?ara 20. stolje?a, kao ?to su Emmy Noether i Alonzo Church. Između 1902. i 1939. Hilbert je urednik ?Mathematische Annalen“, vode?eg matemati?kog ?asopisa toga vremena.

Hilbert je do?ivio nacisti?ke progone mnogih uva?enih ?lanova fakulteta 1933 . godine, među njima i Hermanna Weyla, koji ga je naslijedio na katedri nakon umirovljenja 1930 . godine. ^[6] Njema?ku je morao napustiti i Paul Bernays, njegov suradnik na podru?ju matemati?ke logike i koautor zna?ajne knjige Die Grundlagen der Mathematik (izdane 1934 . i 1939 . godine). To je bio nastavak knjige Hilberta i Ackermanna Na?ela teorijske logike iz 1928 . godine. Do Hilbertove smrti 1943 . godine, nacisti su otjerali ve?inu znanstvenika sa fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.

Na njegovom spomeniku u Gottingenu, pi?e:

Mi moramo znati.

Mi ?emo znati.

Hilbertov prvi rad na nepromjenljivim funkcijama doveo ga je 1888 . do poznatog teorema kona?nosti. Dvadeset godina ranije, Paul Gordan je demonstrirao teorem o kona?nosti generatora binarnih oblika koriste?i vrlo komplicirane prora?une koji su onemogu?ili poop?avanje same metode na funkcije sa vi?e od dvije varijable. Hilbert je uo?io potrebu sasvim druga?ijeg pristupa. Kao rezultat demonstrirao je ?Hilbertov osnovni teorem“ koji pokazuje postojanje kona?nog skupa generatora neovisno o broju varijabli, u apstraktnom obliku.

Hilbertov osnovni teorem ka?e da ako je k polje, tada je svaki ideal u prstenu sastavljenom od vi?e varijabilnih polinoma. k[x1, x2, ..., xn] kona?no generiran. Gledano u algebarskoj geometriji, algebarski skup nad k mo?e biti opisan kao zajedni?ki skup rje?enja kona?no mnogo polinomijalnih jednad?bi.

Hilbert je do?ao do dokaza kontradikcijom koriste?i se matemati?kom indukcijom. Njegova metoda nam ne daje algoritam koji ?e proizvesti kona?no mnogo osnovnih polinoma za dani ideal, nego samo pokazuje njihovo postojanje.

Jednostavnija verzija Hilbertovog osnovnog teorema nam ka?e: ako je R lijevi ( odnosno desni) Noetherian prsten, tada polinomijalni prsten R[X] je isto lijevi (odnosno desni) Noetherian. Za , ako je , an ≠ 0, tada degf: = n i an je vode?i koeficijent od f . Neka I bude ideal u R[x] i pretpostavimo da I nije kona?no generiran.Tada induktivno konstruiramo niz f1,f2,... elemenata od I takav da fi + 1 ima minimalan stupanj među elementima od , gdje je Ji ideal generiran od f1,...,fi.

Neka je ai vode?i koeficijent od fi i neka je J ideal od R generiran od niza a1,a2,.... Po?to je R Noetherian postoji N takav da je J generiran od a1,...,aN. Zbog toga za neke . Postigli smo kontradikciju ako znamo gdje je ni = degfN + 1 ? degfi, zbog degg = degfN + 1 i njihovi vode?i koeficijenti odgovaraju, tako da je fN + 1 ? g strogo manjeg stupnja od degfN + 1, a to je u kontradikciji sa izborom fN + 1. Na taj na?in dobivamo da je I kona?no generiran. Po?to smo za I uzeli proizvoljan ideal u R[x], svaki ideal u R[x] je kona?no generiran i slijedi da je R[x] Noetherian.

To je bio dokaz postojanja kona?nog skupa generatora, a ne prora?un i oslanjao se na zakonu ekskluzivne sredine u beskona?nosti. Objavljivanje tog rada u Mathematische Annalen mu je odbijeno s razlogom da nije sveobuhvatan i potpun te da se uop?e ne radi o matematici. Hilbert je u sljede?em ?lanku, kojeg opet ?alje u Annalen, pro?irio svoju metodu daju?i prora?une o maksimalnom stupnju minimalnog seta generatora. Taj rad je ocijenjen kao najzna?ajnije djelo u podru?ju op?e algebre koje je ?asopis ikada objavio.

U tekstu Osnove geometrije ( njem. Grundlagen der Geometrie ) koju objavljuje 1899 . Hilbert predla?e set tzv. Hilbertovih aksioma kojima zamjenjuje tradicionalne Euklidove aksiome. Ti aksiomi ispravljaju slabosti uo?ene kod Euklidovih aksioma koji su se do tada koristili doslovce kao ?to su napisani. Neovisno o Hilbertu devetnaestgodi?nji student Robert Lee Moore je objavio jednaki set aksioma. Neki od njih se podudaraju a neki odgovaraju teoremima u hilbertovom setu i obrnuto. Hilbertov pristup ozna?io je prebacivanje na modernu aksiomatsku metodu.Aksiomi se vise ne uzimaju kao istiniti sami po sebi.

Geometrija mo?e tretirati stvari, o kojima imamo sna?nu intuiciju, ali nije nu?no pridijeliti ekplicitno zna?enje nedefiniranim konceptima. Elementi kao ?to su: to?ka, du?ina, ravnina i ostali mogu se zamijeniti, kao ?to je Hilbert rekao stolovima, stolicama, ?a?ama piva i ostalim takvim objektima. Bitan je samo njihov definirani odnos.

Hilbert prvi ozna?ava nedefinirane koncepte: to?ka, linija, ravnina, le?i na (odnos između to?aka i ravnina), između, kongruencija parova to?aka i kongruencija kutova. Aksiomi ujedinjavaju geometriju ravnine i geometriju prostora u jedan sistem.

Hilbert je prezentirao, u obliku govora ? Problemi Matematike“, listu nerije?enih problema na internacionalnom kongresu matemati?ara u Parizu 1900 . godine, koju je kasnije pro?irio na 23 problema. Tim govorom je ?elio zaokru?iti matemati?ki jako uspje?no 19. stolje?e i predvidjeti razvoj matematike u budu?nosti. Tom prilikom je rekao:

“Ako vjerujem u razvoj matemati?kog znanja u bliskoj budu?nosti, moramo se pozabaviti nedovr?enim pitanjima i rije?iti probleme koje zadaje dana?nja znanost, a ?ija rje?enja o?ekujemo.” “Znamo da svako stolje?e nosi svoje probleme koje sljede?e stolje?e rje?ava ili zamjenjuje novim.” “Kraj sjajne epohe poziva nas da se osvrnemo na pro?lost, ali i da pogledamo u nepoznatu budu?nost.”

Hilbert je smatrao da su dva najve?a dostignu?a u prethodnom stolje?u: razvoj aritmetike kontinuuma, kojoj su doprinijeli Cauchy, Bolcano i Cantor, i prihva?anje neeuklidske geometrije Gausa, Bolyaia i Loba?evskog.

Njegovi problemi su jako razli?iti. Neki su toliko op?irni da predstavljaju cijela podru?ja koja treba istra?iti. Drugi su pak puno konkretniji i rije?eni su jako brzo. Ima ionih koji su rije?eni suprotno Hilbertovim o?ekivanjima, ali i onih o kojima se i danas jako malo zna.

Hilbert je probleme podijelio u ?etiri grupe. U prvoj se nalazi ?est osnovnih problema, drugih ?est se odnosi na njegovo istra?ivanje teorije brojeva, tre?a grupa od ?est problema predstavlja mje?avinu algebarskih i geometrijskih problema. Posljednjih pet problema oslikavaju Hilbertove interese.

Sam Hilbert, kao ni njegovi u?enici, nije se previ?e bavio rje?avanjem ovih problema, ve? se posvetio izu?avanju Hilbertovog prostora. Međutim, problemi su bili jako brzo prihva?eni od strane mladih matemati?ara, koji su svoja istra?ivanja usmjerili u pravcima koje je Hilbert i predvidio. Zna?aj ovih problema mo?e se vidjeti i u tome ?to je rje?avanje bilo kojeg od njih bilo povod za proslave i dodjele nagrada. Hilbert je vjerovao da “dokle god neka grana znanosti nudi mno?tvo problema, dotle ?e i ?ivjeti” pa je u tom duhu izlo?io svoje probleme.

nekoliko primjera problema:

• Rje?ivost Diofantove jednad?be

Da li je mogu?e razviti algoritam koji ?e mo?i pokazati da li se dana Diofantova jednad?ba, sa proizvoljno mnogo nepoznatih i sa racionalnim koeficijentima, rije?iti u kona?no mnogo koraka? npr..linearna Diofantova jednad?ba

Na kraju se ispostavilo da se ne mo?e razviti takav algoritam.

Istra?ivanjima u samim osnovama geometrije name?e se problem: da li je mogu?e promatrati, kao aksiome, ona saznanja u fizici u kojima matematika igra bitnu ulogu; tu se prije svega misli na teoriju relativnosti i mehaniku. ^[7] Hilbert je smatrao da bi bilo dobro kada bi njihova prakti?na saznanja bila logi?na nadogradnja teorije koja je zasnovana na usugla?enim aksiomima. Nije rije?en.

• Problem topologije algebarskih krivulja i povr?ina

Nije rije?en

Hilbertovi problemi su postali svojevrsni manifest koji je otvorio put razvoju formalisti?ke ?kole, jedne od tri glavne matemati?ke ?kole 20. stolje?a. Prema formalistima, matematika je igra li?ena zna?enja u kojoj se igra sa simbolima bez zna?enja prema formalnim pravilima koji su dogovoreni unaprijed. To je autonomna igra misli. Ipak postoje sumnje da je Hilbertov na?in promatranja bio formalisti?ki u ovom smislu. ^[8]

Hilbert je 1920 . predlo?io istra?iva?ki projekt koji je postao poznat kao Hilbertov program. ?elio je da se matematika formulira na ?vrstoj i potpunoj logi?koj podlozi. Vjerovao je da se u principu ovo mo?e u?initi pokazuju?i:

• da sva matematika proizlazi iz ispravno odabranog kona?nog sistema aksioma
• da je takav sistem aksioma dokazivo konzistentan kroz neke karakteristike kao ?to je ra?un epsilona

Ovaj program je prepoznatljiv u popularnoj filozofiji matematike gdje se obi?no naziva formalizam. Naprimjer, Bourbaki (skupina francuskih matemati?ara 20. stolje?a) grupa prihvatila je selektivnu verziju programa kao prikladnu za zahtjeve njihovog dvojnog projekta koji se sastojao od:pisanja pregleda temeljnih radova i podr?avanje aksiomatske metode kao istra?iva?kog pomagala. Ovaj pristup bio je uspje?an u vezi sa Hilbertovim radovima u podru?ju algebre i funkcionalne analize, ali nije uspio privu?i interest na podru?ju fizike i logike.

Hilbert i njegovi talentirani matemati?ari s kojima je radio bili su potpuno predani svom radu. Nastojali su poduprijeti aksiomatiziranu matematiku sa definiranim principima, kojima su mogli izbaciti sve nesigurnosti u teoriji, ali na kraju ipak nisu uspjeli.

Godel je pokazao da svaki ne protuslovni formalni sistem koji bi bio dovoljno opse?an da bi uklju?io barem aritmetiku ne mo?e sam svojim aksiomima pokazati svoju potpunost. Godine 1931 . njegov teorem nepotpunosti pokazao je da Hilbertov veliki plan od po?etka nije bio mogu?. Sljede?a dostignu?a teorije dokaza , u najmanju ruku, razja?njavaju dosljednost koja se odnosi na teorije kojima su matemati?ari zaokupljeni. Hilbert svojim radom zapo?inje logi?ki pristup razja?njavanju problema. Potreba za razumijevanje Godelovog rada, na kraju dovodi do razvoja rekurzivne teorije i matemati?ke logike kao zasebne discipline u 1930-ima.

Oko 1909 . godine, Hilbert se posve?uje istra?ivanju diferencijalnih i integralnih jednad?bi , te je tako izravno utjecao na veliki dio moderne funkcionalne analize. Kako bi proveo svoja istra?ivanja, Hilbert uvodi koncept beskona?no dimenzionalnog Euklidovog prostora, kasnije nazvanog Hilbertov prostor. Njegov rad u ovom podru?ju analize daje va?an doprinos matematici u fizici . Kasnije je Stefan Banach pro?irio njegov koncept te ga nazvao Banach-ov prostor. Koncept Hilbertov prostor je najva?nija ideja u podru?ju funkcionalne analize u dvadesetom stolje?u.

Matemati?ki koncept Hilbertovog prostora generalizira pojam Euklidovog prostora na na?in da pro?iruje metode vektorske algebre sa 2-dimenzionalnog i 3-dimenzionalnog prostora na beskona?no dimenzionalan prostor. To je apstraktni vektorski prostor u kojemu udaljenosti i kutovi mogu biti izmjereni i cijeli se nalaze u tom prostoru.

Hilbertov prostor se pojavljuje u matematici, fizici i strojarstvu . Kao alat je nezamjenjiv u teorijama parcijalnih diferencijalnih jednad?bi, a u kvantnoj mehanici njegova va?nost se vidi u tome ?to, nudi najbolju matemati?ku formalizaciju kvantne mehanike. Prepoznavanje uobi?ajenih algebarskih struktura unutar ovih razli?itih podru?ja stvorilo je konceptualno razumijevanje, a uspjehom metoda Hilbertovog prostora zapo?eli su plodonosnu eru za funkcionalnu analizu.

Geometrijska intuicija igra va?nu ulogu u mnogim aspektima teorije. Element Hilbertovog prostora mo?e biti jedinstveno određen sa svojim koordinatama s obzirom na ortonormiranu bazu. Osnovna intuicija, koja stoji iza Hilbertovog prostora je vrlo jednostavna: U velikom nizu fizikalnih i matemati?kih situacija, linearan problem mo?e biti prikazan unutar nekog Hilbertovog prostora i analiziran u jednostavnom geometrijskom smislu.

Jo? jedan od razloga uspjeh Teorije Hilbertovog prostora je i u ?injenici da: Iako se mogu razlikovat po podrijetlu i izgledu, ve?ina Hilbertovih prostora gledano u matematici i fizici, su samoumno?ena manifestacija jednog odvojenog Hilbertovog.

Do 1912 . godine, Hilbert je bio isklju?ivo matemati?ar. ?ak ga je i njegov prijatelj i kolega matemati?ar Hermann Minkowski, koji se u Bonnu bavio istra?ivanjima u fizici, ?alio da bi trebao provesti 10 dana u karanteni prije nego li posjeti Hilberta. Zapravo, Minkowski je najvi?e zaslu?an za ve?inu Hilbertovih istra?ivanja u fizici do 1912 . godine, uklju?uju?i njihov zajedni?ki seminar 1905 . godine.

Tri godine nakon ?to je umro Minkowski, Hilbert se skoro potpuno posvetio fizici. Po?inje istra?ivati teoriju kinetike plinova , a poslije se prebacuje na istra?ivanje osnova radijacije i molekularne teorije tvari. ?ak i u vrijeme rata prisustvuje predavanjima Alberta Einsteina i drugih fizi?ara.

Hilbert 1915 . godine poziva Einsteina u Gottingen kako bi odr?ao tjedan dana predavanja o svojoj teoriji relativnosti i teoriji gravitacije . Razmjenom ideja do?li su do krajnjeg oblika jednad?bi polja od teorije relativnosti, kasnije nazvane Einsteinova jednad?ba polja i Einstein-Hilbertov postupak. Einstein i Hilbert međusobno su se prepirali o tome tko je prvi otkrio jednad?be polja, ali nikad o tome nisu pokrenuli javnu raspravu.

Nadalje, njegov rad je omogu?io napredak u matemati?koj formulaciji kvantne mehanike. Hermann Weylovo i John von Neumannovo promatranje Hilbertovog rada bilo je klju?no za njihov rad na matemati?koj ekvivalenciji Heisenbergove matri?ne mehanike i Schrodingerove valne jednad?be, gdje Hilbertov prostor odigrava va?nu ulogu u kvantnoj teoriji. Godine 1926 . von Neuman je pokazao da ako na atomska stanja gledamo kao na vektore u Hilbertovom prostoru, tada ?e oni odgovarati Schrodingerovoj teoriji valnih funkcija i Heisenbergovim matricama.

Za vrijeme bavljenja fizikom, Hilbert poku?ava uvesti matemati?ku strogo?u u fizici. Iako su bili ovisni o vi?oj matematici, fizi?ari su je nespretno koristili. Kao ?istom matemati?aru, Hilbertu je tako kori?tena matematika bilo izrazito ru?na i te?ko razumljiva. Sa sve ve?im poznavanjem fizike i na?inom kori?tenja matematike u fizici, Hilbert razvija koherentnu matemati?ku teoriju koju smatra vrlo va?nom u podru?ju integralnih jednad?bi. Kad je Richard Courant napisao knjigu ?Metode matemati?ke fizike“ koja uklju?uje neke Hilbertove ideje, postavio ga je kao koautora knjige iako nije direktno pridonio pisanju knjige.

Hilbert je jedanput rekao ? fizika je prete?ka za fizi?are“, ?ele?i time re?i da je njima potrebna matematika prete?ka, pa im Courant-Hilbert-ova knjiga to olak?ava.

Hilbert ujedinjuje podru?je algebarske teorije brojeva sa svojom teorijskom raspravom Zahlbericht (? izvje??e o brojevima“ ). U ?irem smislu rije?io se Waringova problema. Tada ve? ima ne?to vi?e za objavit o toj temi, ali tek pojavljivanjem Hilbert modularnih formi u disertaciji njegovog studenta vidimo koliko je on vezan za to podru?je.

Napravio je mnogo pretpostavki na klasi?noj teoriji polja. Taj koncept je bio vrlo utjecajan, a njegov doprinos se najbolje vidi po nazivima Hilbertova klasa polja i Hilbertovog simbola za lokalnu klasi?nu teoriju polja.

Rezultati njegovih teorija, u ovom podru?ju ve?inom su dokazani 1930g, nakon revolucionarnog rada Teijia Takagia, zbog kojeg postaje prvi Japanski internacionalni matemati?ar. Hilbert nije radio u samoj sr?i teorije analiti?kih brojeva, ali je njegovo ime postalo poznato po Hilbert?Polya pretpostavci.

• Hilbert je bio strani ?lan Londonskog kraljevskog dru?tva za unaprjeđenja u prirodnim znanostima, poznatog kao The Royal Society.

1910g. bio je nagrađen drugom Bolyai nagradom.

• Za vrijeme nacisti?kih progona, na jednoj zabavi sjedio je pored Njema?kog ministra obrazovanja Bernharda Rusta. Rust ga je pitao:

?Kako je matematika sada u Gottingen kad je oslobođena utjecaja ?idova? “ A Hilbert je odgovorio: ?Matematika u Gottingenu? Tamo je stvarno vi?e nema“

• Imao je Erd?sov broj 4. Broj koji se dodjeljuje u ?ast Mađarskom matemati?aru Paulu Erd?su.

Da bi netko dobio Paul Erd?sov broj ,treba biti koautor nekog matemati?kog ?lanka sa autorom koji posjeduje Erd?sov broj. Kako to izgleda vidi se na sljede?em prikazu: Ako Ana surađuje sa Paul Erd?som na jednom ?lanku, a sa Markom na drugom, a da pri tom Marko nikad ne surađuje sa samim Erd?som. Marko ?e dobiti Erd?s broj 2 jer je dva koraka udaljen od Erd?sa.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. ?David Hilbert ? biografija” . MacTutor History of Mathematics archive .   ( en )
• Hilbertovi problemi ( en )
• Hilbert Bernays Project Arhivirano 2011-05-17 na Wayback Machine-u
• Hilbert's 23 Problems Address
• ICMM 2014 dedicated to the memory of D.Hilbert
• Djela ?iji je autor David Hilbert na Projektu Gutenberg
• Hilbert's radio speech recorded in Konigsberg 1930 (in German) Arhivirano 2006-02-14 na Wayback Machine-u , with English translation Arhivirano 2020-11-12 na Wayback Machine-u
• 'From Hilbert's Problems to the Future' Arhivirano 2008-05-14 na Wayback Machine-u , lecture by Professor Robin Wilson, Gresham College, 27 February 2008 (available in text, audio and video formats).
• David Hilbert in Konigsberg ? Vortrag von Peter Roquette, gehalten am 30. September 2002 an der Mathematischen Fakultat Kaliningrad
• Radioansprache 1930 als Tondokument Arhivirano 2006-02-14 na Wayback Machine-u (MP3; 1,7 MB) und als Textdokument Arhivirano 2020-11-12 na Wayback Machine-u (Zitat ?Wir mussen wissen, wir werden wissen.“; PDF; 52 kB)