Уравнение Фоккера ? Планка - Колмогорова
? одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну?ю эволюцию функции плотности вероятности координат и
импульса
частиц в процессах, где важна
стохастическая природа явления
. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков
Адриана Фоккера
и
Макса Планка
, также известно как
прямое уравнение Колмогорова
. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории
коалесценции
), масса и т. д.
Впервые уравнение было использовано для статистического описания
броуновского движения
частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается
уравнениями Ланжевена
, которые могут быть решены численно
методом Монте-Карло
или методами
молекулярной динамики
, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности
, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале
, если в момент времени 0 она имела начальную скорость
, и записать для
уравнения Фоккера ? Планка.
Общая форма уравнения Фоккера ? Планка для
переменных:
где
?
вектор
сноса и
?
тензор
диффузии
, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.
Уравнение Фоккера ? Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в
стохастических дифференциальных уравнениях
. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение
где
? функция состояния системы, а
? стандартное
-мерное
броуновское движение
. Если начальное распределение задано как
, то
плотность вероятности
состояния системы
является решением уравнения Фоккера ? Планка со следующими выражениями для сноса и
диффузии
соответственно:
Стандартное скалярное уравнение
броуновского движения
генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:
Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера ? Планка выглядит так:
это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (
теплопереноса
).
В одномерном случае УФП приобретает вид:
УФП справедливо для условной плотности вероятности:
- (то есть значение функции
вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью
и временно?й осью
, в интервалы
и
соответственно) при любом начальном значении
и
и начальном условии
, где
? функция Дирака.
Это условие гласит, что в один и тот же момент времени
функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности
Тогда, УФП справедливо для вероятности
с начальным условием
, которое менее сингулярно, чем
. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен
СДУ Ито
и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.
Первый согласованный вывод уравнения Фоккера ? Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен
[1]
Н. Н. Боголюбовым
и
Н. М. Крыловым
[2]
(переиздано в
[3]
).
- Risken H.
The Fokker ? Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. ? 2nd ed. ? Springer, 1984. ? 452 p. ?
ISBN 3-540-61530-X
.
- Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П.
Физическая кинетика. ?
М.
:
Наука
,
1979
. ? 528 с. ? (≪Теоретическая физика≫, том X). ?
50 000 экз.
Ссылки на внешние ресурсы
|
---|
| |
---|
|
---|
Виды уравнений
| |
---|
Типы уравнений
| |
---|
Краевые условия
| |
---|
Уравнения математической физики
| |
---|
Методы решения
| |
---|
Сеточные методы
| Конечноэлементные методы
| |
---|
Другие методы
| |
---|
|
---|
Не сеточные методы
| |
---|
|
---|
Исследование уравнений
| |
---|
Связанные темы
| |
---|