Уравнение Клейна ? Гордона
(иногда
Клейна ? Гордона ? Фока
,
Клейна ? Фока
[1]
[2]
,
Шрёдингера ? Гордона
[3]
) ? релятивистская версия
уравнения Шрёдингера
:
- ,
или (с использованием единиц, где
,
?
оператор Д’Аламбера
):
- .
Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как
поле Хиггса
). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами
[4]
.
Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением
волнового уравнения
, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.
Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна ? Гордона ? Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:
- в одномерном случае ? натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
- макроскопически изотропный кристалл, каждый
атом
которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
- более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна ? Гордона ? Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.
Уравнение, в котором последний (≪массовый≫) член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике
тахион
. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.
Уравнение Клейна ? Гордона ? Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных
плоских волн
.
Положив пространственные производные нулю (что в
квантовой механике
соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна ? Гордона ? Фока гармонический осциллятор с частотой
, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой
частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.
Уравнение, названное именами
Оскара Клейна
и
Вальтера Гордона
, первоначально записал
Эрвин Шрёдингер
до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл ≪своё≫ уравнение.
В
1926 году
, вскоре после публикации
уравнения Шрёдингера
,
Фок
[5]
[6]
написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И
Клейн
[7]
(его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и
Фок
использовали
метод Калуцы ? Клейна
. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.
Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона
[8]
.
(Здесь использованы единицы, где
).
Уравнение Шрёдингера
для свободной частицы записывается так:
- ,
где
?
оператор импульса
; оператор же
будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.
Уравнение Шрёдингера
не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со
специальной теорией относительности
(СТО).
Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из
СТО
):
- .
Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии
[9]
, получаем:
- ,
что в ковариантной форме запишется так:
- ,
где
?
оператор Д’Аламбера
.
Искать решение уравнения Клейна ? Гордона ? Фока для свободной частицы
можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:
- ,
подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на
и
:
- .
Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:
- ,
- .
Найденное соотношение
и
тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:
- .
Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна ? Гордона ? Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).
Для безмассовых частиц мы можем положить
в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:
- .
Использовав формулу групповой скорости
, нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна ? Гордона ? Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде
[10]
(очевиден только квадрат гамильтониана).
- ↑
Демков Ю. Н.
Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете
Архивная копия
от 17 мая 2014 на
Wayback Machine
.
- ↑
Фаддеев Л. Д.
Новая жизнь полной интегрируемости
// УФН. ? 2013. ? Том 183. ? № 5. ? C. 490.
- ↑
Г. Вентцель
Введение в квантовую теорию волновых полей. ? М., Л.: ОГИЗ, 1947. ? С. 32
- ↑
см.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.
Введение в теорию квантованных полей. ? § 4, 6.
- ↑
Vladimir Fock
Архивная копия
от 2 января 2015 на
Wayback Machine
// Zeitschrift fur Physik 38 (1926) 242.
- ↑
Vladimir Fock
// Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
- ↑
Klein O.
Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie
Архивная копия
от 14 октября 2017 на
Wayback Machine
// Zeitschrift fur Physik 37:895-906. ? 1926.
- ↑
Gordon W.
Der Comptoneffekt nach der Schrodingerschen Theorie
Архивная копия
от 10 июня 2017 на
Wayback Machine
(Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift fur Physik. ? v. 40. ? iss. 1. ? pp. 117?133 (1926). ?
DOI 10.1007/BF01390840
.
- ↑
Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
- ,
то есть найти таким образом гамильтониан; тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с
уравнением Шрёдингера
была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля
невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным.
Для случая же биспинорного
Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое
уравнение Дирака
(все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна ? Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
- ↑
см. примечание 2.
|
---|
Виды уравнений
| |
---|
Типы уравнений
| |
---|
Краевые условия
| |
---|
Уравнения математической физики
| |
---|
Методы решения
| |
---|
Сеточные методы
| Конечноэлементные методы
| |
---|
Другие методы
| |
---|
|
---|
Не сеточные методы
| |
---|
|
---|
Исследование уравнений
| |
---|
Связанные темы
| |
---|