Сегмент плоской кривой
? плоская (обычно
выпуклая
) фигура, заключённая между
кривой
и её
хордой
[1]
.
Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой:
сегмент круга
.
Основные характеристики сегмента кривой ? его ширина, высота, площадь и длина границы.
Длина хорды
сегмента круга радиуса
и высоты
вычисляется по
теореме Пифагора
:
Площадь
сегмента круга радиуса
опирающегося на
центральный угол
(в
радианах
)
[2]
:
Архимед
в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента
параболы
, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент
треугольника
(см. рисунок).
Пусть эллипс задан каноническим уравнением:
Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной
хордой
, проходящей через точку с
абсциссой
можно определить по формуле
[3]
:
Другие виды плоских сегментов
[
править
|
править код
]
Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов
интегрального исчисления
, которое исторически было создано именно для этой цели.
Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве
оси абсцисс
. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой
, пересекающей ось абсцисс в точках
a
и
b
, равна:
Например, площадь под первой аркой
синусоиды
вычисляется как
интеграл
:
Другой пример: площадь сегмента (арки)
циклоиды
, порождённой кругом радиуса
равна
то есть втрое больше площади порождающего круга
[4]
.
Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле
Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить
нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода
, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют
численное интегрирование
.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В.,
Сканави М. И.
Элементарная математика. Повторительный курс. ? Издание третье, стереотипное. ?
М.
: Наука, 1976. ? 591 с.