Карл Фридрих Гаусс
Carl Friedrich Gauß
Имя при рождении	нем.   Johann Carl Friedrich Gauß
Дата рождения	30 апреля 1777 ( 1777-04-30 ) [1] [2] […]
Место рождения	Брауншвейг , Брауншвейг-Вольфенбюттель , Священная Римская империя [3] [1] […]
Дата смерти	23 февраля 1855 ( 1855-02-23 ) [1] [2] […] (77 лет)
Место смерти	Гёттинген , Королевство Ганновер , Германский союз [3] [1] […]
Страна	Рейнский союз   Королевство Ганновер [4] [5]
Род деятельности	математик , геофизик , астроном , научный писатель , физик , землемер , преподаватель университета , статистик , учёный
Научная сфера	математика , механика , физика , астрономия , геодезия
Место работы	Гёттингенский университет
Альма-матер	Гёттингенский университет
Учёная степень	доктор философии [6] ( 1799 )
Научный руководитель	Пфафф, Иоганн Фридрих [7]
Ученики	Фаркаш Бойяи , Август Фердинанд Мёбиус , Петер Густав Лежён Дирихле , Густав Роберт Кирхгоф , Генрих Христиан Шумахер [6] и Густав Сванберг [вд] [6]
Награды и премии	Премия имени Лаланда Парижской АН (1810) Медаль Копли (1838)
Автограф
Произведения в Викитеке
Медиафайлы на Викискладе

Иога?нн Карл Фри?дрих Га?усс ( нем.   Johann Carl Friedrich Gauß ; 30 апреля 1777 ( 1777-04-30 ) , Брауншвейг  ? 23 февраля 1855 , Гёттинген ) ? немецкий математик , механик , физик , астроном и геодезист ^[8] . Считается одним из величайших математиков всех времён, ≪королём математиков≫ ^[9] .

Лауреат медали Копли (1838), член Лондонского королевского общества (1804) ^[10] , иностранный член Парижской (1820) ^[11] и Шведской (1821) академий наук, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почётный член (1824) Петербургской академии наук ^[12] .

Биография [ править | править код ]

1777?1798 годы [ править | править код ]

Родился в немецком герцогстве Брауншвейг . Дед Гаусса был бедным крестьянином; отец, Гебхард Дитрих Гаусс, ? садовником, каменщиком, смотрителем каналов; мать, Доротея Бенц, ? дочерью каменщика. Будучи неграмотной, мать не записала дату рождения сына, запомнив только, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения , который отмечается спустя 40 дней после Пасхи . В 1799 г. Гаусс вычислил точную дату своего рождения, разработав метод определения даты Пасхи на любой год ^[13] .

Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом . В три года он умел читать и писать, даже исправлял арифметические ошибки отца. Известна история, в которой юный Гаусс выполнил некое арифметическое вычисление гораздо быстрее всех одноклассников; обычно при изложении этого эпизода упоминается вычисление суммы чисел от 1 до 100 , но первоисточник этого неизвестен ^[14] . До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского ) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского . Это помогло Гауссу окончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792?1795).

Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую и французскую литературу, которые читал в подлиннике. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского , и вполне преуспел в этом деле.

В колледже Гаусс изучил труды Ньютона , Эйлера , Лагранжа . Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов . Лежандр , правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал ≪ метод наименьших квадратов ≫ (тоже независимо открытый Лежандром ) и начал исследования в области ≪ нормального распределения ошибок ≫.

С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете , где его учителем был А. Г. Кестнер ^[15] . Это ? наиболее плодотворный период в жизни Гаусса.

1796 год : Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника . Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n -угольника с помощью циркуля и линейки:

• если n  ? простое число, то оно должно быть вида ${\displaystyle n=2^{2^{k}}+1}$ ( числом Ферма );
• если n ? составное число, то его каноническое разложение должно иметь вид ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}\dots p_{m}}$, где ${\displaystyle p_{i}}$ ? различные простые числа Ферма.

Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на своей могиле правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг.

С 1796 года Гаусс вёл краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону , не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности ( эллиптические функции , неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля , Якоби , Коши , Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их ≪мутациями≫).

Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

1798 год: закончен шедевр ≪ Арифметические исследования ≫ ( лат.   Disquisitiones Arithmeticae ), напечатан только в 1801 году.

В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введённых им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы , комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов , приведено доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика ? царица наук, а теория чисел  ? царица математики.

1798?1816 годы [ править | править код ]

В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года.

Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации ( 1799 ) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры . До Гаусса было много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер . Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных её доказательства.

С 1799 года Гаусс ? приват-доцент Брауншвейгского университета.

1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук .

После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки, в первую очередь астрономию. Поводом послужило открытие малой планеты Церера ( 1801 ), потерянной вскоре после обнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом ^[8] , и с большой точностью указал место, где искать ≪беглянку≫; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.

Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает.

1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, выжили двое ? сын Йозеф и дочь Минна.

1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном , умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург ). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.

1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген . Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму ? 2000 франков ? требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклоняет их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта присылает ему 1000 гульденов , и этот дар приходится принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте (по другим данным ? епископ Франкфурта ).

1809 год: новый шедевр, ≪Теория движения небесных тел≫. Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит.

Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умерла Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. Этот год был самым тяжёлым для Гаусса. В следующем, 1810 году он женился вновь ? на Вильгельмине (≪ Минне ≫) Вальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличилось до пяти.

1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества .

1811 год: появилась новая комета . Гаусс быстро и очень точно рассчитал её орбиту. Начал работу над комплексным анализом , открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом : интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.

1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций.

Знаменитую комету ≪пожара Москвы≫ (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.

1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры .

1816?1855 годы [ править | править код ]

1820 год: Гауссу поручают произвести геодезическую съёмку Ганновера . Для этого он разработал соответствующие вычислительные методы (в том числе методику практического применения своего метода наименьших квадратов ), приведшие к созданию нового научного направления ? высшей геодезии , и организовал съёмку местности и составление карт ^[8] .

1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей . В науку входит понятие ≪ гауссовой кривизны ≫. Положено начало дифференциальной геометрии . Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на написание его классической диссертации о ≪ римановой геометрии ≫.

Итогом изысканий Гаусса была работа ≪Исследования относительно кривых поверхностей≫ ( 1822 ). В ней свободно использовались общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения , которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро-, гидродинамике и электростатике.

1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академии наук .

1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа , строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней.

1829 год: в замечательной работе ≪Об одном новом общем законе механики≫ , состоящей всего из четырёх страниц, Гаусс обосновывает ^[16] новый вариационный принцип механики  ? принцип наименьшего принуждения . Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: ≪движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершённом, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, то есть происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной≫ ^[17] .

1831 год: умерла вторая жена, у Гаусса началась тяжелейшая бессонница. В Гёттинген приехал приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер , с которым Гаусс познакомился в 1828 году в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма.

1832 год: ≪Теория биквадратичных вычетов≫ . С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же Гаусс приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.

1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером ) строит его действующую модель.

1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остаётся в одиночестве.

1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просит прислать ему русские журналы и книги, в частности ≪Капитанскую дочку≫ Пушкина. Предполагают, что это связано с интересом Гаусса к работам Лобачевского , который в 1842 году по рекомендации Гаусса был избран иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.

В том же 1839 году Гаусс в сочинении ≪Общая теория сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния≫ изложил основы теории потенциала , включая ряд основополагающих положений и теорем ? например, основную теорему электростатики ( теорема Гаусса ) ^[18] .

1840 год: в работе ≪Диоптрические исследования≫ Гаусс разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах ^[18] .

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Король Ганновера Георг V приказал отчеканить в честь Гаусса медаль, на которой были выгравированы портрет Гаусса и почётный титул ≪ Mathematicorum Princeps ≫ ? ≪король математиков≫.

Научная деятельность [ править | править код ]

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре , теории чисел , дифференциальной и неевклидовой геометрии , математическом анализе , теории функций комплексного переменного , теории вероятностей , а также в аналитической и небесной механике , астрономии , физике и геодезии ^[8] . ≪В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли ?королём математиков“≫ ^[19] ( лат.   Princeps mathematicorum ).

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: ≪Pauca sed matura≫ ( немного, но зрело ) ^[20] . Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

• Неевклидова геометрия , где он опередил Лобачевского и Бойяи , но не решился опубликовать свои результаты ^[21] .
• Эллиптические функции , где он также далеко продвинулся, но не успел ничего напечатать, а после работ Якоби и Абеля надобность в публикации отпала.
• Содержательный набросок теории кватернионов , 20 лет спустя независимо открытых Гамильтоном .
• Метод наименьших квадратов , переоткрытый позднее Лежандром .
• Закон распределения простых чисел , с которым его также опередила публикация Лежандра.

Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками, например: Риман , Дедекинд , Бессель , Мёбиус .

Алгебра [ править | править код ]

Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательства основной теоремы алгебры .

Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел , создал для них теорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем. Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел и действий с ними.

Гаусс дал классическую теорию сравнений , открыл конечное поле вычетов по простому модулю, глубоко проник в свойства вычетов.

Геометрия [ править | править код ]

Гаусс впервые начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей . Он открыл характеристику поверхности ( гауссову кривизну ), которая не изменяется при изгибаниях, тем самым заложив основы римановой геометрии . В 1827 году опубликовал полную теорию поверхностей. Доказал Theorema Egregium  ? основную теорему теории поверхностей. Труды Гаусса по дифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки на весь XIX век. Попутно он создал новую науку ? высшую геодезию .

Гаусс первым (по некоторым данным ^[8] , примерно в 1818 году) построил основы неевклидовой геометрии и поверил в её возможную реальность ^[22] . Однако за всю свою жизнь он ничего не опубликовал на эту тему, вероятно, опасаясь быть непонятым из-за того, что развиваемые им идеи шли вразрез с догматом евклидовости пространства в доминирующей в то время кантовской философией ^[23] . Тем не менее, сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому , в котором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу ^[24] :

Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придём к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой.

В его бумагах обнаружены содержательные заметки по тому предмету, что позже назвали топологией . Причём он предсказал фундаментальное значение этого предмета.

Древняя проблема построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки была решена Гауссом окончательно (см. теорему Гаусса ? Ванцеля ).

Математический анализ [ править | править код ]

Гаусс продвинул теорию специальных функций , рядов, численные методы, решение задач математической физики. Создал математическую теорию потенциала .

Много и успешно занимался эллиптическими функциями , хотя почему-то ничего не публиковал на эту тему.

Аналитическая механика [ править | править код ]

Главным вкладом Гаусса в аналитическую механику стал его принцип наименьшего принуждения . Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела ^[25] работа Г. Шеффлера (1820?1903) ≪О Гауссовом основном законе механики≫ ^[26] , опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил ^[27] принуждение ( нем.   Zwang ) как следующее (в современных обозначениях ^[28] ) выражение:

${\displaystyle Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {i=1}{\sum }}}}\,m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}}$ ,

где ${\displaystyle N}$ ? число точек, входящих в систему, ${\displaystyle m_{i}}$ ? масса ${\displaystyle i}$-й точки, ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ? равнодействующая приложенных к ней активных сил, ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ ? допустимое ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). Под ≪допустимыми ускорениями≫ здесь понимаются ^[29] такие ускорения точек системы, которые в данном её состоянии можно реализовать, не нарушая связей; действительные ускорения (возникающие под действием реально приложенных к точкам системы сил) представляют собой частный случай допустимых ускорений.

После этого принцип Гаусса обрёл ту форму, которая используется при его изложении и в современных курсах теоретической механики: ≪При действительном движении механической системы с идеальными связями принуждение ${\displaystyle Z}$ принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместимых с наложенными связями≫ ^[30] . Данный принцип относится ^[31] к числу дифференциальных вариационных принципов механики . Он обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется ^[32] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем .

Астрономия [ править | править код ]

В астрономии Гаусс, в первую очередь, интересовался небесной механикой , изучал орбиты малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учёта возмущений и неоднократно доказывал на практике её эффективность.

В 1809 году Гаусс нашёл способ определения элементов орбиты по трём полным наблюдениям (если для трёх измерений известны время, прямое восхождение и склонение ).

Другие достижения [ править | править код ]

Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой метод наименьших квадратов , который сейчас повсеместно применяется в статистике . Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природе нормальный закон распределения , но он настолько тщательно его исследовал, что график распределения с тех пор часто называют гауссианой .

В физике Гаусс развил теорию капиллярности , теорию системы линз. Заложил основы математической теории электромагнетизма и при этом первым ввёл понятие потенциала электрического поля , а в 1845 г. пришёл к мысли о конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий. В 1832 г. создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: единицу длины ? 1 мм, единицу времени ? 1 с, единицу массы ? 1 мг; эта система послужила прообразом системы единиц СГС . Совместно с Вебером Гаусс построил первый в Германии электромагнитный телеграф . Изучая земной магнетизм, Гаусс изобрёл в 1837 г. униполярный магнитометр , в 1838 г. ? бифилярный ^[18] .

Увековечение памяти [ править | править код ]

В честь Гаусса названы:

• кратер на Луне ;
• астероид № 1001 (Гауссия) ;
• Гаусс  ? единица измерения магнитной индукции в системе СГС ; сама эта система единиц часто именуется гауссовой ;
• одна из фундаментальных астрономических постоянных  ? постоянная Гаусса ;
• награда за выдающиеся достижения в прикладной математике, присуждаемая раз в 4 года на Международном конгрессе математиков ;
• Именная профессура в Гёттингенском университете;
• вулкан Гауссберг в Антарктиде ;

Его портрет и изобретённый им измерительный инструмент ^[33] ≪ гелиотроп ≫ изображены на вышедшей из оборота, но предоставляющей интерес для бонистов банкноте в 10 марок .

С именем Гаусса связано множество теорем и научных терминов в математике, астрономии и физике, см. Список объектов, названных в честь Гаусса . Некоторые из них:

• Гаусс на почтовых марках
• 
  Почтовая марка ФРГ (1955), 10 пфеннигов , ( Михель 204)
• 
  Почтовая марка ФРГ , 1977 год , 40 пфеннигов ( Михель 928)

В литературе и кино [ править | править код ]

Жизни Гаусса и Александра фон Гумбольдта посвящён фильм ≪ Измеряя мир ≫ (≪ Die Vermessung der Welt ≫, 2012, Германия). Фильм снят по одноимённому роману писателя Даниэля Кельмана ^[34] .

Переводы трудов на русский язык [ править | править код ]

• Гаусс К. Ф. Избранные геодезические сочинения. Т. 1. ? М. : Геодезиздат, 1957.
• Гаусс К. Ф. Исследования по оптике. ? НИЦ ≪Регулярная и хаотическая динамика≫, 2011. ? ISBN 978-5-93972-871-3 .
• Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях // Основания геометрии (сб.). ? М. : ГИТТЛ, 1956.
• Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой геометрии. // Основания геометрии (сб.). ? М. : ГИТТЛ, 1956.
• Гаусс К. Ф. Пояснение возможности построения семнадцатиугольника // Историко-математические исследования . ? М. : Наука , 1976. ? № 21 . ? С. 285?291 .
• Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Перевод Б. Б. Демьянова, общая редакция И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. ? М. : Изд-во АН СССР, 1959.

Примечания [ править | править код ]

Литература [ править | править код ]

Ссылки [ править | править код ]

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . Гаусс, Карл Фридрих   (англ.)  ? биография в архиве MacTutor .
• Complete works