Возду?шная ма?сса  ? мера количества воздуха на луче зрения при наблюдении небесного светила сквозь атмосферу Земли ^[1] . Применяется для расчёта потери силы света и светимости в астрономии и актинометрии .

Выражается как интеграл плотности воздуха по лучу зрения:

${\displaystyle \sigma _{\text{абс}}=\int \rho \,\mathrm {d} s\,.}$

По мере проникновения в атмосферу свет ослабляется за счёт рассеяния и поглощения; чем толще атмосфера, через которую он проходит, тем больше ослабление. Следовательно, небесные светила ближе к горизонту кажутся менее яркими, чем ближе к зениту. Это ослабление, известное как атмосферная экстинкция , количественно описывается законом Бугера ? Ламберта ? Бера . Абсолютная воздушная масса, определённая вышеуказанной формулой, имеет размерность поверхностной плотности (число единиц массы на единицу площади, например г/см ² или кг/м ² ). Абсолютная воздушная масса в зените, измеренная в неподвижной атмосфере, равна атмосферному давлению , делённому на ускорение свободного падения (если пренебречь изменением ускорения свободного падения с высотой в атмосфере): ${\displaystyle \sigma _{\text{абс.зен.}}=P/g.}$ Для стандартной атмосферы на уровне моря на широте 45° абсолютная зенитная воздушная масса равна 10 330 кг/м ² .

Термин ≪воздушная масса≫ обычно означает относительную воздушную массу, отношение абсолютной воздушной массы (определённой как указано выше) при наклонном падении к абсолютной воздушной массе в зените :

${\displaystyle \sigma (z)={\frac {\sigma _{\text{абс}}(z)}{\sigma _{\text{абс.зен.}}}},}$

где z  ? зенитный угол (угол между направлением на источник и направлением на зенит из точки наблюдения). В этом определении воздушная масса является безразмерной величиной. По определению, относительная воздушная масса в зените равна единице: σ(0°) = 1 . Воздушная масса увеличивается по мере увеличения зенитного угла, достигая значения примерно 38 на горизонте (то есть при z = 90° ). Конечное значение воздушной массы на горизонте появляется лишь с учётом сферичности атмосферы; плоскопараллельная (менее реалистичная) модель атмосферы даёт значение воздушной массы ${\displaystyle \sigma (z)=\sec z,}$ стремящееся к бесконечности при z → 90° , хотя вполне корректно описывающее зависимость воздушной массы от зенитного угла при z < 80° .

Воздушная масса может быть меньше единицы на высоте выше уровня моря; однако большинство приближённых формул для воздушной массы не учитывают влияние высоты наблюдателя, поэтому корректировку обычно необходимо выполнять другими способами.

Приближения в расчёте воздушной массы [ править | править код ]

В расчёте воздушной массы существует несколько приближений, последовательно дающих всё более правильный результат ^[2] .

• Первое приближение почти идеально рассчитывает воздушную массу для высот светил от 90° до 30° и удовлетворительно до 10?15° над горизонтом. Оно самое простое: принимается модель плоскопараллельной бесконечной атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой , равной 1 и число воздушных масс определяется вычислением секанса зенитного расстояния ${\displaystyle z}$ в градусах:

${\displaystyle M=\sec \,z\,.}$

• Второе приближение: принимается модель сферической изотермической атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой. Имеет существенное значение в 10?15° от горизонта, особенно на последних 5°, где по первому приближению быстро накапливается ошибка и атмосферная масса устремляется в бесконечность (см. график).
• Третье приближение к модели сферической атмосферы добавляет искривление и удлинение пути светового луча из-за рефракции в атмосфере, играет роль до 5?10° от горизонта.
• Четвёртое приближение помимо сферичности атмосферы и рефракции состоит в учёте изменения температуры воздуха. С падением температуры воздушная масса растёт. Имеет смысл до 5° над горизонтом.
• Пятое приближение вносит поправку на изменение атмосферного давления . Снижение давления с высотой может существенно уменьшить воздушную массу на большой высоте. На уровне моря и на обычных средних высотах суши влияние погодных колебаний атмосферного давления мало? даже на горизонте ^[3]

Раз и навсегда рассчитать точную воздушную массу по всем приближениям для каждого угла невозможно, поскольку учёт всех изменчивых атмосферных условий всегда вносит некоторый разброс в конечных результатах, доходящий около горизонта до нескольких единиц атмосфер ^[4] . Но можно вычислить приближающиеся к реальным значениям цифры в усреднённых условиях.

На горизонте, где наибольшие расхождения по разным приближениям, на уровне моря возможны следующие значения атмосферной массы:

- первое приближение: бесконечное число;

- второе приближение: ок. 35,5 атмосфер, однако современные более сложные расчёты без учёта рефракции дают 32 атмосферы ^{[5] [6]} ;

- третье приближение: ок. 38 атмосфер при температуре 10?15°C ^{[7] [6]} ;

- четвёртое приближение: 35?42 атмосферы ? при возможных приземных температурах от +60° до ?60°C и разных моделях атмосферы ^[4] . В Антарктиде иногда наблюдаются более низкие температуры, но это бывает только в глубине материка на высоте 3?4 км.

Считается, что для расчётов в астрономии и актинометрии достаточно первого и второго приближений (модель сферической атмосферы, см. график), применение третьего уже избыточно, учёт остальных факторов носит только теоретический интерес ^{[8] [2]} . Дело в том, что астрономические наблюдения и фотометрия до 15° от горизонта проблематичны, а освещённость от невысокого Солнца больше зависит от наличия аэрозолей и водяных паров в неидеальной атмосфере, чем от колебаний температуры и давления.

История расчётов воздушной массы [ править | править код ]

Первым расчёт воздушных масс во втором приближении, то есть с учётом кривизны Земли и атмосферы, сделал в первой половине 18-го века родоначальник теории поглощения света Пьер Бугер ^[8] , причём его вычисления были довольно близки современным. Он же указал на возможность применения третьего приближения (искривление луча в атмосфере), но считал, что в большинстве случаев для расчётов это не обязательно ^{[лит 1]} .

Затем формулы для расчёта во втором и в третьем приближении вывели Ламберт и Лаплас . Впоследствии формулы и таблицы воздушных масс были опубликованы многими авторами. Также придумано много формул интерполяции , ≪подгоняющих≫ зависимость атмосферной массы от угла к табличным значениям и применяемых для получения разультата под интересующим углом, не имеющимся в таблице.

В 1904 году Адзельо Бемпорад ^[итал.] вывел формулы с учётом кривизны Земли, атмосферной рефракции и падения температуры с высотой, без компьютера и калькулятора рассчитал и составил очень подробную таблицу воздушных масс с точностью до пятого знака после запятой для высот Солнца с подробностью до градусов и минут, а также рассчитал множество поправочных коэффициентов для различных приземных температур и давлений ^{[9] [8]} . Эти значения долгое время служили эталоном для астрофизических и актинометрических расчётов ^[2] , но затем неоднократно пересматривались, поскольку они базировались на известных тогда параметрах атмосферы только до высоты 10 км ^[10] .

Свои расчёты атмосферной массы предлагались и советскими учёными Г. В. Розенбергом (см. на графике), В. Г. Фесенковым ^[4] и Н. М. Штауде , причём последняя пробовала рассчитывать воздушные массы в условиях сумерек для положений Солнца до 3° за горизонтом ^[11] . А Г. В. Розенберг представил достаточно компактную формулу интерполяции, которая даёт удовлетворительные результаты:

${\displaystyle M=\left(\cos \,z+0.025e^{-11\cos \,z}\right)^{-1}\,,}$

где z ? зенитный угол ^[4] .

В 1965 году Фриц Кастен представил новые таблицы и формулы расчёта воздушной массы, составленные по современным на тот момент параметрам стандартной атмосферы от 1959 года, основанных на прямых измерениях при помощи геофизических ракет и космических аппаратов ^[10] . В 1989 году Кастен совместно с Эндрю Янгом опубликовали уточнённые данные воздушных масс в соответствии со стандартной атмосферой от 1972 года, выдержки из которых представлены в таблице ниже, а также новую аппроксимационную формулу, дающую хорошие результаты при всех углах светил для атмосферы на уровне моря при температуре 15°C и давлении 760 мм рт. ст.:

${\displaystyle M={\frac {1}{\sin \,\gamma +0.50572\,(\gamma +6.07995^{\circ })^{-1.6364}}}\;,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ ? угловая высота ^[7] .

Таблицы воздушных масс можно найти во многих физических, астрофизических и астрономических справочниках, как, например, компилятивная из разных источников работа Аллена, опубликованная в 1950-70-е годы ^[6] . Как правило они основаны на теперь уже историческом труде Бемпорада, но так как они с учётом его же поправок мало отличаются от более современных исследований, то вполне могут использоваться для большинства вычислений.

Результаты расчётов воздушной массы [ править | править код ]

Применение приближений по температуре и атмосферному давлению [ править | править код ]

Эмпирические формулы Бемпорада для поправок к атмосферной массе ^[18] в небольшой обработке Н.М.Штауде ^[19] в зависимости от угловой высоты:

поправки по приземной температуре:

ΔM(10°) = ?0,0007·T

ΔM(8°) = ?0,0013·T

ΔM(6°) = ?0,0026·T

ΔM(4°) = ?0,0065·T

ΔM(3°) = ?0,0114·T + 0,000023·T²

ΔM(2°) = ?0,0215·T + 0,000050·T²

ΔM(1°) = ?0,0442·T + 0,000142·T²

поправки по атмосферному давлению:

ΔM(6°) = 0,0001·(P ? 760)

ΔM(4°) = 0,0003·(P ? 760)

ΔM(3°) = 0,0005·(P ? 760)

ΔM(2°) = 0,0010·(P ? 760)

ΔM(1°) = 0,0021·(P ? 760),

где: T ? температура приземного воздуха в градусах Цельсия, P ? давление в миллиметрах ртутного столба.

На бо?льших угловых высотах изменения настолько незначительны, что поправки не имеют смысла.

Например при температуре ?70°C и давлении 800 мм рт. ст. для светила на угловой высоте 1° поправки считаются так:

ΔM(1°) = ?0,0442·(?70) + 0,000142·(?70)² = 3.094 + 0,6958 = 3,7898 атм.

ΔM(1°) = 0,0021·(800 ? 760) = 0,084 атм.

Конечный результат будет: 26,959 + 3,7898 + 0,084 = 30,8328 атм.

В следующей таблице даны воздушные массы по Бемпораду с учётом поправок по этим формулам для температур ?15°C и +15°C и показаны для сравнения цифры воздушных масс по Кастену и Янгу для температуры +15°C.

Литература [ править | править код ]

1. ↑ Green D. W. E. Magnitude Corrections for Atmospheric Extinction   (англ.)  // International Comet Quarterly. ? 1992. ? Vol. 14 . ? P. 55?59 . ? ISSN 0736-6922 . ? Bibcode :  1992ICQ....14...55G . Архивировано 19 июля 2011 года.
2. ↑ ^{1 2 3 4} Сивков С. И. Методы расчета характеристик солнечной радиации   (рус.) . ? Л. : Гидрометеоиздат, 1968. ? С. 32?36. ? 234 с.
3. ↑ Штауде Н. М. К вопросу об определении коэффициента прозрачности земной атмосферы   (рус.)  // Известия Научного Института им. П.Ф.Лесгафта. ? 1929. ? Т. XV , вып. 1 и 2 . ? С. 61 .
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Розенберг Г. В. Сумерки   (рус.) . ? М. : Физматгиз, 1963. ? С. 183?195. ? 380 с.
5. ↑ Young, A. T. 1994. Air mass and refraction . Applied Optics . 33:1108?1110. doi : 10.1364/AO.33.001108 . Bibcode 1994ApOpt..33.1108Y . (payment required)
6. ↑ ^{1 2 3} Аллен К. У. Астрофизические величины   (рус.) / Пер. с англ. под ред. Д. Я. Мартынова. ? М. : Мир, 1977. ? 448 с.
7. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Kasten F., Young A. T. Revised optical air mass tables and approximation formula  (англ.)  // Applied Optics. ? 1989. ? Vol. 28 , iss. 22 . ? P. 4735?4738 . ? doi : 10.1364/AO.28.004735 . ? Bibcode :  1989ApOpt..28.4735K . ? PMID 20555942 .
8. ↑ ^{1 2 3 4 5} Курс астрофизики и звёздной астрономии   (рус.) / Отв. ред. А. А. Михайлов. ? Москва ; Ленинград: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951. ? Том 1. Методы исследований и аппаратура. ? С. 492, 507?510.
9. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare  (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 1?78 .
10. ↑ ^{1 2} Kasten F. A new table and approximation formula for the relative optial air mass  (англ.)  // Archiv fur Meteorologie, Geophysik und Bioklimatologie, Serie B. ? 1965. ? Vol. 14 , iss. 2 . ? P. 206?223 .
11. ↑ ^{1 2 3 4 5} Кондратьев К. Я. Лучистая энергия Солнца   (рус.) / Под ред. проф. П. Н. Тверского. ? Л. : Гидрометеоиздат, 1954. ? С. 72?73. ? 600 с.
12. ↑ ^{1 2} Броунов П. И. Атмосферная оптика: Световые явления неба в связи с предсказанием погоды   (рус.) . ? М. : Гос. техн. изд-во, 1924. ? С. 121. ? 220 с. ? (Инженерно-промышленная библиотека).
13. ↑ ^{1 2 3 4} Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 42, 43, 66?68 .
14. ↑ ^{1 2} Forbes J. D. On the Transparency of the Atmosphere and the Law of Extinction of the Solar Rays in Passing through It   (англ.)  // Phil. Trans.. ? 1842. ? Iss. II . ? P. 225?273 . Архивировано 17 ноября 2022 года.
15. ↑ ^{1 2} Schoenberg E.   (нем.)  // Handbuch der Astrophysik. ? 1927. ? Bd. II . ? S. 190 .
16. ↑ ^{1 2} Штауде Н. М. Освещённость атмосферы (ореол) от земных источников   (рус.)  // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. ? 1949. ? Т. XIII , вып. 1 . ? С. 83 .
17. ↑ Сивков С.И. Методы расчета характеристик солнечной радиации   (рус.) . ? Л. : Гидрометеоиздат, 1968. ? С. 34. ? 234 с.
18. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49 .
19. ↑ Штауде Н. М. К вопросу об определении коэффициента прозрачности земной атмосферы   (рус.)  // Известия Научного Института им. П.Ф.Лесгафта. ? 1929. ? Т. XV , вып. 1 и 2 . ? С. 61 .
20. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .
21. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .
22. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .
23. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .
24. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .
25. ↑ Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphare   (нем.)  // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. ? 1904. ? H. 4 . ? S. 49, 66?68 .