Teorema de Lindemann?Weierstrass

O teorema de Lindemann?Weierstrass e um resultado util para estabelecer a transcendencia de um numero. Afirma que se α ₁, α ₂, ...,α _n sao numeros algebricos linearmente independentes sobre o corpo dos numeros racionais $\mathbb {Q}$ , entao $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ sao algebricamente independentes sobre $\mathbb {Q}$ ; ou seja, o grau de transcendencia da extensao do corpo $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ sobre $\mathbb {Q}$ e n .

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que e ^α e transcendente para todo α algebrico nao nulo, estabelecendo desta forma que π e transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider , esta generalizado como a conjectura de Schanuel .

Transcendencia de e e π [ editar | editar codigo-fonte ]

A transcendencia de e e π e obtida como corolarios deste teorema.

Suponhamos que α seja um numero algebrico nao nulo; entao {α} e um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto { e ^α} e um conjunto algebricamente independente ; em outras palavras, e ^α e transcendente. Em particular, e ¹ = e e transcendente.

Provemos agora que π e transcendente. Se π fosse algebrico, 2π i tambem o seria (porque 2 i e algebrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e ^2π
i = 1 e transcendente. Porem sabemos que 1 e racional e portanto π e necessariamente transcendente.

Bibliografia [ editar | editar codigo-fonte ]

Alan Baker, Transcendental Number Theory , Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X . Chapter 1, Theorem 1.4.
F. Lindemann, Uber die Zahl π , Mathematische Annalen , vol. 20 (1882), pp. 213?225.