Semieixo maior e semieixo menor

Em geometria , o eixomaior de uma elipse e seu diametro mais longo: um segmento de linha que passa pelo centro e ambos os focos , com extremidades nos pontos mais largos do perimetro . O semieixo maior e o semidiametro mais longo ou a metade do eixo maior e, portanto, vai do centro, atraves de um foco, ate o perimetro. O semieixo menor de uma elipse ou hiperbole e um segmento de reta que forma um angulo reto com o semieixo maior e tem uma extremidade no centro da secao conica. Para o caso especial de um circulo, os comprimentos dos semieixos sao ambos iguais ao raio do circulo.

O comprimento do semieixo maior a de uma elipse esta relacionado ao comprimento do semieixo menor $b$ atraves da excentricidade $e$ e do semilatus reto $\ell$ , como segue:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

O semieixo maior de uma hiperbole e, dependendo da convencao, mais ou menos a metade da distancia entre os dois ramos. Portanto, e a distancia do centro a qualquer vertice da hiperbole.

Uma parabola pode ser obtida como o limite de uma sequencia de elipses onde um foco e mantido fixo enquanto o outro pode se mover arbitrariamente para longe em uma direcao, mantendo $\ell$ fixo. Assim, $a$ e $b$ tendem ao infinito, $a$ e mais rapido do que $b$ .

Os eixos maiores e menores sao os eixos de simetria da curva: em uma elipse, o eixo menor e o mais curto; em uma hiperbole, e aquele que nao intercepta a hiperbole.

Elipse [ editar | editar codigo-fonte ]

A equacao de uma elipse e

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,

onde ( $h$ e $k$ ) e o centro da elipse em coordenadas cartesianas , em que um ponto arbitrario e dado por ( $h$ e $k$ ).

O semieixo maior e o valor medio das distancias maximas e minimas $r_{\text{max}}$ e $r_{\text{min}}$ da elipse de um foco , isto e, das distancias de um foco ate os pontos finais do eixo principal:

a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.

Em astronomia , esses pontos extremos sao chamados de apsides . ^[
1
]

O semieixo menor de uma elipse e a media geometrica dessas distancias:

b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.

A excentricidade de uma elipse e definida como

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},

entao

r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).

Agora considere a equacao em coordenadas polares, com um foco na origem e o outro na direcao $\theta =\pi$ :

r(1+e\cos \theta )=\ell .

O valor medio de $r=\ell /(1-e)$ and $r=\ell /(1+e)$ , for $\theta =\pi$ and $\theta =0$ e

a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.

Em uma elipse, o semieixo maior e a media geometrica da distancia do centro para qualquer foco e a distancia do centro para qualquer diretriz.

O semieixo menor de uma elipse vai do centro da elipse (um ponto no meio e na linha que corre entre os focos) ate a borda da elipse. O semieixo menor e a metade do eixo menor. O eixo menor e o segmento de linha mais longo perpendicular ao eixo maior que conecta dois pontos na borda da elipse.

O semieixo menor $b$ esta relacionado ao semieixo maior $a$ atraves da excentricidade $e$ e do semilatus reto $\ell$ , como segue:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

Uma parabola pode ser obtida como o limite de uma sequencia de elipses onde um foco e mantido fixo enquanto o outro pode se mover arbitrariamente para longe em uma direcao, mantendo $\ell$ fixo. Assim, $a$ e $b$ tendem ao infinito, $a$ mais rapido do que $b$ .

O comprimento do semieixo menor tambem pode ser encontrado usando a seguinte formula: ^[
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]

2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},

onde $f$ e a distancia entre os focos, $p$ e $q$ sao as distancias de cada foco a qualquer ponto da elipse.

Hiperbole [ editar | editar codigo-fonte ]

O semieixo maior de uma hiperbole e, dependendo da convencao, mais ou menos a metade da distancia entre os dois ramos; se for a na direcao x, a equacao e:

{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

Em termos de semilatus reto e da excentricidade , temos

a={\ell  \over e^{2}-1}.

O eixo transversal de uma hiperbole coincide com o eixomaior. ^[
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]

Em uma hiperbole, um eixo conjugado ou eixo menor de comprimento $2b$ , correspondendo ao eixomenor de uma elipse , pode ser desenhado perpendicular ao eixo transversal ou eixomaior, o eixomaior conectando os dois vertices (pontos de viragem) da hiperbole, com os dois eixos se cruzando no centro da hiperbole. Os pontos finais $(0,\pm b)$ do eixomenor ficam na altura das assintotas acima/abaixo dos vertices da hiperbole. Qualquer metade do eixomenor e chamada de eixo semimenor, de comprimento $b$ . Denotando o comprimento do semieixo maior (distancia do centro a um vertice) como um, os comprimentos dos eixos do semimenor e do semimaior aparecem na equacao da hiperbole em relacao a esses eixos da seguinte forma:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

O semieixo menor tambem e a distancia de um dos focos da hiperbole a uma assintota. Frequentemente chamado de parametro de impacto , isso e importante em fisica e astronomia, e mede a distancia pela qual uma particula perdera o foco se sua jornada nao for perturbada pelo corpo no foco.

O semieixo menor e o semieixo maior estao relacionados atraves da excentricidade, da seguinte forma:

b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.

^[
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]

Observe que, em uma hiperbole, $b$ pode ser maior que $a$ . ^[
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]

Astronomia [ editar | editar codigo-fonte ]

Periodo orbital [ editar | editar codigo-fonte ]

Em astrodinamica , o periodo orbital $T$ de um corpo pequeno orbitando um corpo central em uma orbita circular ou eliptica e: ^[
1
]

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},

Onde:

a

e o comprimento do semieixo maior da orbita,

\mu

e o parametro gravitacional padrao do corpo central.

Observe que para todas as elipses com um determinado semieixo maior, o periodo orbital e o mesmo, desconsiderando sua excentricidade .

O momento angular especifico $h$ de um pequeno corpo orbitando um corpo central em uma orbita circular ou eliptica e ^[
1
]

h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},

onde:

a

e

\mu

sao como definidos acima,

e

e a excentricidade da orbita.

Em astronomia , o semieixo maior e um dos elementos orbitais mais importantes de uma orbita, junto com seu periodo orbital. Para objetos do Sistema Solar , o semieixo maior esta relacionado ao periodo da orbita pela terceira lei de Kepler (originalmente derivada empiricamente): ^[
1
]

T^{2}\propto a^{3},

onde $T$ e o periodo e $a$ e o semieixo maior. Essa forma acaba sendo uma simplificacao da forma geral para o problema dos dois corpos , conforme determinado por Isaac Newton : ^[
1
]

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},

onde $G$ e a constante gravitacional , $M$ e a massa do corpo central e $m$ e a massa do corpo orbital. Normalmente, a massa do corpo central e muito maior do que a do corpo em orbita, que $m$ pode ser ignorada. Fazer essa suposicao e usar unidades de astronomia tipicas resulta na forma mais simples que Kepler descobriu.

A trajetoria do corpo orbital em torno do baricentro e sua trajetoria em relacao ao primario sao elipses. ^[
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] O semieixo maior as vezes e usado em astronomia como a distancia primario-secundario quando a razao de massa do primario para o secundario e significativamente grande ( $M\gg m$ ); assim, os parametros orbitais dos planetas sao dados em termos heliocentricos. A diferenca entre as orbitas primocentricas e "absolutas" pode ser melhor ilustrada observando-se o sistema Terra - Lua . A proporcao de massa, neste caso, e 81.30059. A distancia caracteristica Terra-Lua, o semieixo maior da orbita lunar geocentrica , e de 384.400 km. (Dada a excentricidade da orbita lunar $e$ = 0.0549, seu semieixo menor e 383.800 km. Assim, a orbita da Lua e quase circular). A orbita lunar baricentrica , por outro lado, tem um semieixo maior de 379.730 km, a contra-orbita da Terra assumindo a diferenca, 4.670 km. A velocidade orbital baricentrica media da Lua e 1.010 km/s, enquanto a da Terra e 0.012 km/s. O total dessas velocidades da uma velocidade orbital media lunar geocentrica de 1.022 km/s; o mesmo valor pode ser obtido considerando apenas o valor do semieixo maior geocentrico.

Distancia media [ editar | editar codigo-fonte ]

Costuma-se dizer que o semieixo maior e a distancia "media" entre o foco primario da elipse e o corpo orbital. Isso nao e muito preciso, porque depende de como a media e calculada.

Calcular a media da distancia sobre a anomalia excentrica de fato resulta no semieixo maior.
Calcular a media sobre a anomalia verdadeira (o angulo orbital verdadeiro, medido no foco) resulta no semieixo menor $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ .
A media sobre a anomalia media (a fracao do periodo orbital que decorreu desde o pericentro, expressa como um angulo) da a media de tempo $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ .

O valor medio do tempo do reciproco do raio, $r^{-1}$ , e $a^{-1}$ .

Energia; calculo do semieixo maior a partir de vetores de estado [ editar | editar codigo-fonte ]

Em astrodinamica , o semieixo maior $a$ pode ser calculado a partir de vetores de estado orbitais :

a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}

Para uma orbita eliptica e, dependendo da convencao, o mesmo ou

a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}

Para uma trajetoria hiperbolica , e

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}

( Energia orbital especifica ) e

\mu =GM,

( Parametro gravitacional padrao ), onde:

v

e a velocidade orbital do vetor velocidade de um objeto orbital,

r

e um vetor de posicao cartesiana de um objeto orbitando em coordenadas de um referencial em relacao ao qual os elementos da orbita devem ser calculados (por exemplo, equatorial geocentrico para uma orbita ao redor da Terra ou ecliptica heliocentrica para uma orbita em torno do Sol ),

G

e a constante gravitacional ,

M

e a massa do corpo gravitante, e

\varepsilon

e a energia especifica do corpo em orbita.

Observe que, para uma determinada quantidade de massa total, a energia especifica e o semieixo maior sao sempre os mesmos, independentemente da excentricidade ou da proporcao das massas. Por outro lado, para uma dada massa total e semieixo maior, a energia orbital especifica total e sempre a mesma. Esta afirmacao sempre sera verdadeira sob quaisquer condicoes.

Semieixo maior e semieixo menor das orbitas dos planetas [ editar | editar codigo-fonte ]

As orbitas dos planetas sao sempre citadas como exemplos principais de elipses ( primeira lei de Kepler ). No entanto, a diferenca minima entre os semieixo maior e semieixo menor mostra que eles tem uma aparencia virtualmente circular. Essa diferenca (ou proporcao) e baseada na excentricidade e e calculada como ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ , que, para excentricidades tipicas de planetas, produz resultados muito pequenos.

A razao para a suposicao de orbitas elipticas proeminentes reside provavelmente na diferenca muito maior entre afelio e perielio . Essa diferenca (ou proporcao) tambem e baseada na excentricidade e e calculada como ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$ . Devido a grande diferenca entre afelio e perielio, a segunda lei de Kepler e facilmente visualizada.

	Excentricidade	Semieixo maior $a$ ( AU )	Semieixo menor $b$ ( AU )	Diferenca (%)	Perielio ( AU )	Afelio ( AU )	Diferenca (%)
Mercurio	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
Venus	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
Terra	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
Marte	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
Jupiter	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
Saturno	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
Urano	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
Netuno	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

Referencias

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York: Cambridge University Press. pp. 24?31. ISBN 9781108411981
↑ "Major / Minor axis of an ellipse" , Math Open Reference, 12 May 2013.
↑ ≪7.1 Alternative Characterization≫ . www.geom.uiuc.edu
↑ ≪The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas≫ . www.bogan.ca
↑ http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

Semi eixos maiores e semimenores de uma elipse Com animacao interativa

[lissauer2019-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York: Cambridge University Press. pp. 24?31. ISBN 9781108411981

[2] "Major / Minor axis of an ellipse" , Math Open Reference, 12 May 2013.

[3] ≪7.1 Alternative Characterization≫ . www.geom.uiuc.edu

[4] ≪The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas≫ . www.bogan.ca

[5] ttp://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html

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