Pierre de Fermat
(
Beaumont-de-Lomagne
, nascido na primeira decada do
seculo XVII
[
1
]
?
Castres
,
12 de janeiro
de
1665
) foi um
magistrado
,
polimata
e especialmente
matematico
frances
. Apelidado de "o principe dos amadores". Ele tambem foi
poeta
, um habil
latinista
e
helenista
, e se interessou pela ciencia e em particular pela
fisica
; devemos a ele em particular o
principio de Fermat
em optica. Ele e particularmente conhecido por ter enunciado o ultimo teorema de Fermat, cuja prova so foi estabelecida mais de 300 anos depois pelo matematico britanico
Andrew Wiles
em 1994.
[
2
]
O seu pai, Dominique de Fermat, era um rico mercador de peles que lhe proporcionou uma educacao privilegiada, inicialmente no
mosteiro
franciscano de Grandselve e depois na
Universidade de Toulouse
. Ingressou o servico publico em 1631. Em 1652 foi promovido a Juiz Supremo, na Corte Criminal Soberana do Parlamento de
Toulouse
. Neste mesmo ano Fermat adoeceu e chegou a afirmar-se que tinha morrido.
A influencia de Pierre de Fermat foi limitada pela falta de interesse na publicacao das suas descobertas, conhecidas principalmente pelas cartas a amigos e anotacoes na sua copia da
Arithmetica
, de
Diofanto
. As suas cartas sugerem um homem envergonhado e reservado, cortes e afavel, mas um pouco distante. Estas cartas passaram a ser publicadas a partir de 1636, por intermedio do padre
Mersenne
, em Paris, que procurou Fermat apos ouvir falar dele. Nas suas cartas, Fermat descrevia as suas ideias, descobertas e ate pequenos ensaios, que eram transmitidos por Mersene a outros matematicos da Europa. Fermat gostava de trocar e resolver desafios, por exemplo,
Mersenne
uma vez escreveu-lhe perguntando se o numero - muito grande - 100.895.598.169 era primo ou nao. Tais questoes geralmente levavam anos a serem resolvidas, mas Fermat replicou sem hesitacao que o numero era produto de 112.303 e 898.423, e que cada um desses fatores era primo. O infeliz
Descartes
travou argumentos, com ele, diversas vezes. Como um estrangeiro, Fermat nao conhecia o monumental egoismo e disposicao melindrosa de Descartes, e com calma e cortesia o demoliu em todas as ocasioes.
Monumento a Fermat em
Beaumont-de-Lomagne
.
Fermat inventou a
Geometria Analitica
em 1629 e descreveu as suas ideias num trabalho nao publicado intitulado
Introducao aos lugares geometricos planos e solidos
, que circulou apenas na forma de manuscrito. Neste trabalho Fermat introduziu a ideia de eixos perpendiculares e descobriu as equacoes gerais da reta, circunferencia e equacoes mais simples para parabolas, elipses e hiperboles, e depois demonstrou que toda equacao de 1º e 2º grau pode ser reduzida a um desses tipos. Nada disto esta no ensaio de Descartes, apesar deste ter tido acesso a
Introducao
varios meses antes de publicar a sua obra intitulada
Geometria
, de 1637.
O metodo de Fermat, para determinar tangentes, foi desenvolvido pela sua abordagem aos problemas de maximos e minimos, e foi ocasiao de outro atrito com Descartes. Quando o famoso filosofo foi informado do metodo de Fermat, por
Mersenne
, este atacou a sua genialidade, desafiando Fermat a encontrar a tangente a curva x³ + y³ = 3axy e, loucamente, vaticinou que ele falharia. O proprio Descartes foi incapaz de resolver o problema e ficou intensamente irritado quando Fermat o resolveu com facilidade (esta curva chama-se agora
folium de Descartes
).
Considerado o "Principe dos Amadores", Pierre de Fermat nunca teve formalmente a matematica como a principal atividade de sua vida. Jurista e magistrado por profissao, dedicava a Matematica apenas as suas horas de lazer e, mesmo assim, foi considerado por
Blaise Pascal
o maior matematico de seu tempo.
Contudo, o seu grande genio matematico perpassou varias geracoes, fazendo com que varias mentes se debrucassem com respeito sob o seu legado, composto por contribuicoes nas mais diversas areas das matematicas, sendo as principais: o calculo geometrico e infinitesimal, a teoria dos numeros e teoria da probabilidade.
O interesse de Fermat pela matematica deu-se, possivelmente, com a leitura de uma traducao latina, por
Bachet de Meziriac
, de aritmetica de
Diofanto de Alexandria
, um texto sobrevivente da famosa
Biblioteca de Alexandria
, queimada em 642 d.C., e que compilava cerca de dois mil anos de conhecimentos matematicos.
A matematica do seculo XVII estava ainda em recuperacao da
Idade das Trevas
, portanto nao e nenhuma surpresa o carater amador dos trabalhos de Fermat. No entanto, se ele era um amador, entao era o melhor de todos eles, devido a precisao e a importancia dos seus estudos, que, diga-se , se realizavam longe de
Paris
, o unico centro que abrigava grandes matematicos, mas ate entao ainda nao prestigiados estudiosos da Matematica, como
Blaise Pascal
,
Gassendi
,
Mersenne
, entre outros.
Morreu em
Castres
,
Franca
. A mais antiga e prestigiada escola, no alto de
Toulouse
, e nomeado em sua honra: "Le Lycee Pierre de Fermat". O escultor frances
Theophile Barrau
fez uma estatua de marmore chamada "Homagge a Pierre Fermat".
As contribuicoes de Fermat para o
calculo geometrico
e
infinitesimal
foram inestimaveis. Obtinha, com os seus calculos, a area de
parabolas
e
hiperboles
, e determinava o
centro de massa
de varios corpos, etc. Em 1934,
Louis Trenchard Moore
descobriu uma nota de
Isaac Newton
dizendo que o seu calculo, antes considerado como invencao autonoma, fora baseado no “metodo de monsieur Fermat para estabelecer tangentes”.
Foi a primeira pessoa a enunciar o
pequeno teorema de Fermat
, embora a primeira pessoa a publicar a prova do teorema tenha sido Euler, em 1736, no artigo "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio".
Contudo, o que mais interessava a Fermat, era um ramo da Matematica chamado teoria dos numeros, com poucas aplicacoes praticas claras. E nesta
teoria dos numeros
que se engloba o seu famoso teorema, conhecido como
Ultimo Teorema de Fermat
.
Este teorema tem um enunciado extremamente simples:
Nao existe nenhum conjunto de inteiros positivos
x
,
y
,
z
e
n
com
n
maior que 2 que satisfaca a equacao
O teorema foi escrito nas margens do Aritmetica de
Diofante
, seguido de uma frase: “Eu tenho uma demonstracao realmente maravilhosa para esta proposicao, mas esta margem e demasiado estreita para a conter". Alias, escrever nas margens dos livros era um costume de Fermat, e foi gracas ao seu filho mais velho, Clement-Samuel, que as suas anotacoes nao se perderam.
Clement-Samuel
, depois de passar cinco anos recolhendo cartas e anotacoes de seu pai, publica em 1670, em Toulouse, a Aritmetica de Diofante contendo observacoes de Pierre de Fermat, em cuja pagina 61 continha o teorema.
Naturalmente, ha quem duvide que tenha dito a verdade ja que nao se sabe, ao certo, se Fermat conhecia de fato alguma demonstracao ou se equivocou ao acreditar que a poderia demonstrar. Geracoes inteiras de matematicos tem amaldicoado a falta de espaco daquela margem. Durante mais de tres seculos, praticamente todos os grandes expoentes da Matematica (entre eles
Euler
e
Gauss
) debrucaram-se sobre o assunto. Com o advento dos computadores, foram testados milhoes de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade x
n
+ y
n
= z
n
nao se verificou. Assim, empiricamente, se comprova que Fermat tinha razao. Mas e a demonstracao? Um renomeado empresario e matematico alemao,
Paul Wolfskehl
, na noite em que decidira suicidar-se na sua biblioteca, deparou-se com o "Ultimo Teorema de Fermat", e mudou de ideias. No seu testamento, deixou em 1906, a quantia de 100 000 marcos para quem o demonstrasse.
O teorema desafiou matematicos por todo o mundo durante 358 anos, ate que
Andrew Wiles
, um matematico
britanico
, conseguiu demonstra-lo, primeiramente em 1993, quando disse sua famosa frase "Acho que vou parar por aqui..." e, depois de corrigir alguns erros apontados, definitivamente em 1995. Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avancadissimos, com os quais Fermat nem poderia ter sonhado; desta forma, se Fermat realmente conhecia alguma demonstracao, esta seria certamente muito mais simples e maravilhosa, mas tao dificil de se enxergar, passou pelas maos de grandes matematicos, de Euler a Wiles sem ser percebida. Assim chega ao fim uma historia epica na busca do
Santo Graal
da Matematica.
Outra contribuicao importante de Fermat insere-se na
Teoria da Probabilidade
. Os seus avancos nesta area deram-se por volta de 1654, quando passou a trocar cartas com Pascal. A probabilidade, um assunto desconhecido por Fermat ate entao, passou a objetivar descobrir as regras matematicas que descrevessem com maior precisao as leis do acaso. Posteriormente, ambos determinaram as regras essenciais da probabilidade, e Pascal chegou ate mesmo a convencer-se que poderia utilizar as suas teorias para justificar a fe em Deus. Mais especificamente numa carta datada de 24 de agosto de 1654, enderecada a Pascal, Fermat discute o seguinte problema: dois jogadores A e B, quando A precisa de 2 pontos para ganhar e B de 3 pontos, o jogo sera certamente decidido em quatro jogadas. Para saber quem tem mais hipoteses de ganhar, o matematico escreve todas as combinacoes possiveis entre as letras a, que representa uma jogada em favor do jogador A e b, que representa uma em favor do jogador B:
- 01 ? aaaa 09 ? baaa
- 02 ? aaab 10 ? baab
- 03 ? aaba 11 ? baba
- 04 ? aabb 12 ? babb
- 05 ? abaa 13 ? bbaa
- 06 ? abab 14 ? bbab
- 07 ? abba 15 ? bbba
- 08 ? abbb 16 ? bbbb
Assim sendo, num total de 16, ha 11 casos favoraveis a A e 5 favoraveis a B, visto que a ocorrencia de 2 ou mais a e favoravel a A e a ocorrencia de 3 ou mais b a B.
A solucao dada por Pascal e a seguinte: suponhamos que cada um dos jogadores aposte a mesma quantia, 32 pistolas (moeda da epoca), aquele que tirar primeiramente tres vezes, seguidas ou nao, o numero que aposta no dado, de 1 a 6, ganhara, num total de quatro partidas. Suponhamos tambem que o primeiro jogador tenha ganhado duas partidas e o segundo apenas uma. Como dividir, se a partida for interrompida agora, as 64 pistolas ? Pascal explica que, se o jogo terminar empatado entao cada um fica com 32 pistolas, logo o primeiro jogador ja as tem, porem como ele ainda pode ganhar, deve-se partilhar as outras 32 pistolas, ficando o primeiro jogador com 48 e o segundo com 16.
Este problema foi proposto por Pascal, que incitou Fermat a refletir sobre ele,
Rose Ball
(1960) explicita apenas mais um problema de probabilidade relacionado a Fermat, que tambem foi proposto por Pascal e tambem esta relacionado com jogos, trata-se da seguinte questao: uma pessoa quer tirar 6 no dado em 8 jogadas, suponhamos que ela tenha feito 3 tentativas e falhado, quanto de dinheiro ela poderia apostar em seu sucesso, ou seja, tirar um 6, na quarta jogada?
Fermat raciocinou da seguinte maneira: a chance de se tirar um 6 no dado e de 1/6, logo ela poderia apostar 1/6 do dinheiro, nao obtendo sucesso, na segunda tentativa, ela deveria apostar 1/6 do que sobrou do dinheiro, isto e, 5/36, e assim por diante, tendo que apostar na quarta tentativa 125/1296 de seu dinheiro. Isso ilustra o modo descompromissado com que Fermat tratava a probabilidade, resolvendo apenas os problemas que foram postulados por Pascal em suas correspondencias. A maior dedicacao deste matematico foi realmente a teoria dos numeros e varios tipos de jogos com numeros, os quais ele mesmo criava e desafiava os outros matematicos a resolverem.
Coube a Fermat a entronizacao de eixos perpendiculares, a descoberta das
equacoes
da recta e da circunferencia, e as equacoes mais simples de
elipses
,
parabolas
e
hiperboles
. Por merito, as
coordenadas cartesianas
deviam denominar-se coordenadas fermatianas. Cartesius e a forma latinizada de
Rene Descartes
. Foi mais
filosofo
que matematico e em sua obra
Discours de la Methode
(3.º apendice, La Geometrie), publicada em 1637, se limitou a apresentar as ideias fundamentais sobre a resolucao de problemas geometricos com utilizacao da
Algebra
. Porem, e curioso observar que o sistema hoje denominado cartesiano nao tem amparo historico, pois sua obra nada contem sobre eixos perpendiculares, coordenadas de um ponto e nem mesmo a equacao de uma reta. No entanto, Descartes "mantem um lugar seguro na sucessao canonica dos altos sacerdotes do pensamento, em virtude da tempera racional de sua mente e sua sucessao na unidade do conhecimento. Ele fez soar o gongo e a civilizacao ocidental tem vibrado desde entao com o espirito cartesiano de ceticismo e de indagacao que ele tornou de aceitacao comum entre pessoas educadas" (George Simmons). Ainda segundo este proeminente autor, La Geometrie "foi pouco lida entao e menos lida hoje, e bem merecidamente".
Junto com
Rene Descartes
, Fermat foi um dos dois principais matematicos da primeira metade do seculo XVII. De acordo com Peter L. Bernstein, em seu livro de 1996
Against the Gods
, Fermat "foi um matematico de raro poder. Ele foi um inventor independente da geometria analitica, contribuiu para o desenvolvimento inicial do calculo, fez pesquisas sobre o peso do terra e trabalhou na refracao da luz e na optica. No decorrer do que acabou sendo uma extensa correspondencia com
Blaise Pascal
, ele deu uma contribuicao significativa para a teoria da probabilidade. Mas a maior realizacao de Fermat foi na
teoria dos numeros
".
[
3
]
Com relacao ao trabalho de analise de Fermat,
Isaac Newton
escreveu que suas proprias ideias iniciais sobre calculo vieram diretamente da "maneira de Fermat de desenhar tangentes".
[
4
]
Sobre o trabalho teorico dos numeros de Fermat, o matematico do seculo XX
Andre Weil
escreveu que: "o que possuimos de seus metodos para lidar com curvas do genero 1 e notavelmente coerente; ainda e a base para a teoria moderna de tais curvas. Cai naturalmente em duas partes; a primeira ... pode ser convenientemente denominada um metodo de subida, em contraste com a descida que e corretamente considerada como a de Fermat".
[
5
]
Em relacao ao uso de ascensao de Fermat, Weil continuou: "A novidade consistia no uso amplamente estendido que Fermat fez dela, dando-lhe pelo menos um equivalente parcial do que obteriamos pelo uso sistematico das propriedades teoricas de grupo do pontos racionais em uma cubica padrao".
[
6
]
Com seu dom para relacoes numericas e sua habilidade de encontrar provas para muitos de seus teoremas, Fermat essencialmente criou a moderna teoria dos numeros.
Wikiquote
Referencias
- ↑
Existem documentos conflitantes. Um acto do batismo de 1601 foi muitas vezes tida como evidencia, por exemplo, o editor de Fermat, Paul Tannery. Um monumento funerario, localizado no seculo XIX por Charles Henry, sugere uma data diferente, 1607 ou 1608, o matematico Klaus Barner voltou recentemente a agenda, ver "How old did Fermat become"? [Arquivo]. Pierre Gairin, historiador local de Beaumont-de-Lomagne recentemente havia encontrado varios actos relevantes, mas eles nao dao suporte a uma conclusao.
- ↑
Jeanne Vigouroux, Une aventure mathematique, le theoreme de Fermat, PEMF, 1998, 63 p. (
ISBN 2-87785-494-9
)
- ↑
Bernstein, Peter L. (1996).
Against the Gods: The Remarkable Story of Risk
. [S.l.]: John Wiley & Sons. pp.
61?62
.
ISBN
978-0-471-12104-6
- ↑
Simmons, George F. (2007).
Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics
. [S.l.]: Mathematical Association of America. p.
98
.
ISBN
978-0-88385-561-4
- ↑
Weil 1984, p.104
- ↑
Weil, Andre (1984).
Number Theory: An approach through history From Hammurapi to Legendre
. Birkhauser.
ISBN 978-0-8176-3141-3
, p.105
- Simmons, G. F.
Calculo com Geometria Analitica
.
1
. [S.l.]: Pearson. pp. 694 e 698
- Rouse Ball, W. W. (1960).
A short account of the history of mathematics
. New York: Dover Publications
- Singh, Simon (1998).
O ultimo teorema de Fermat
. Rio de Janeiro: Record
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