A Lei de Biot-Savart e uma equacao do Eletromagnetismo que fornece o campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {B} }$ gerado por uma corrente eletrica ${\displaystyle \mathbf {I} }$ constante no tempo. Essa equacao e valida no dominio da Magnetostatica . Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart e o ponto de partida para a Magnetostatica, tendo assim um papel semelhante a Lei de Coulomb na Eletrostatica . ^{[ 1 ]}

Motivacao historica [ editar | editar codigo-fonte ]

Ja no seculo XVII havia, dentro da comunidade cientifica, a suspeita de que fenomenos eletricos e magneticos pudessem estar interligados. Isso motivou o fisico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnetica. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito eletrico fechado paralelamente a agulha, essa sofria uma deflexao significativa em relacao a sua direcao inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descricao qualitativa do fenomeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na Franca a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira analise precisa do fenomeno foi publicada pelos fisicos Jean-Baptiste Biot e Felix Savart , os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnetico produzido por uma distribuicao de corrente eletrica. ^{[ 2 ]}

A equacao [ editar | editar codigo-fonte ]

Distribuicoes unidimensionais [ editar | editar codigo-fonte ]

Para distribuicoes unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$

Nessa equacao, ${\displaystyle dl'}$ e um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ e o vetor corrente eletrica e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$ e o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle dl'}$, cuja posicao e ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, ao ponto de calculo do campo ${\displaystyle \mathbf {r} }$:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}={\frac {\boldsymbol {\eta }}{|{\boldsymbol {\eta }}|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}$,

e a constante ${\displaystyle \mu _{0}}$ e a chamada permeabilidade magnetica do vacuo

Distribuicoes bidimensionais [ editar | editar codigo-fonte ]

Podemos escrever uma expressao analoga para distribuicoes bidimensionais de corrente:



${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {K} \mathbf {(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}da'}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} }$ e a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo , tambem chamada densidade superficial de corrente . Escreve-se:



${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{dl_{\perp }}}}$

Distribuicoes tridimensionais [ editar | editar codigo-fonte ]

Para distribuicoes tridimensionais de corrente: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}d\tau '}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} }$ e a corrente por unidade de area-perpendicular-ao-fluxo , tambem chamada densidade volumetrica de corrente . Escreve-se:

${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{da_{\perp }}}}$

Notamos tambem que o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle d\mathbf {l'} }$ deve ser substituido pelo elemento infinitesimal de area ${\displaystyle d\mathbf {a'} }$ no caso de distribuicoes de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume ${\displaystyle d\mathbf {\tau '} }$ no caso de distribuicoes de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessao, as correntes envolvidas sao estacionarias. ^{[ 3 ]}

Aplicacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

Campo de uma corrente retilinea num fio condutor [ editar | editar codigo-fonte ]

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnetico que uma corrente estacionaria de intensidade ${\displaystyle I}$ passando por um fio retilineo infinito causa num ponto ${\displaystyle P}$ a uma distancia ${\displaystyle R}$ do fio. Pela regra da mao direita vemos que o produto vetorial ${\displaystyle d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }$, para ${\displaystyle R}$ fixo, esta contido em circulos de raio ${\displaystyle R}$ em torno do fio. O versor ao longo de tais circulos e representado por ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$. Trabalhando em termos do angulo ${\displaystyle \theta }$: ${\displaystyle dl'\sin \alpha =dl'\cos \theta }$

Como ${\displaystyle l'=R\tan \theta }$: ${\displaystyle dl'={\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }$

E como ${\displaystyle R=r\cos \theta }$: ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}}$

Para um trecho de fio indo de ${\displaystyle \theta _{1}}$ a ${\displaystyle \theta _{2}}$:



${\displaystyle \mathbf {B(r)} ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}\right)\left({\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}\right)\cos \theta d\theta ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})}$



Se o fio for infinito, entao ${\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {\pi }{2}}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi }{2}}}$ e a expressao fica apenas: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$ ^{[ 4 ]}

Campo no centro de um poligono de n lados [ editar | editar codigo-fonte ]

De acordo com o raciocinio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\mathbf {\hat {z}} ,}$

ja que o campo gerado por cada lado aponta na direcao perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontara na direcao de z positivo). Pelo principio de superposicao , o campo gerado pelo quadrado e apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: ${\displaystyle \mathbf {B({\textrm {centro}})} ={\sqrt {2}}{\frac {\mu _{0}I}{\pi R}}\mathbf {\hat {z}} }$

onde ${\displaystyle R}$ e a menor distancia do centro do quadrado ate um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um poligono de n lados fazendo ${\displaystyle \theta _{1}=-\theta _{2}=-{\frac {\pi }{n}}}$. Entao obtemos: ${\displaystyle \mathbf {B} =n{\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\mathbf {\hat {z}} }$ ^{[ 3 ]}

Campo de uma espira circular no eixo [ editar | editar codigo-fonte ]

Consideremos uma espira circular de raio ${\displaystyle R}$ percorrida por uma corrente estacionaria de intensidade ${\displaystyle I}$. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnetico a uma distancia ${\displaystyle z}$ do eixo. Lembrando que: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$

No caso da espira circular: ${\displaystyle \eta ={\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}$

Por questoes de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura ve-se que: ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {R}{r}}={\frac {R}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}}$

Logo: ${\displaystyle \mathbf {B} ({\text{eixo}})=\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {dl}{\eta ^{2}}}\sin \alpha =\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I{\frac {R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}}{2}}I{\frac {R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\mathbf {\hat {z}} }$^{[ 5 ]}

Direcao das linhas de campo magnetico [ editar | editar codigo-fonte ]

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa regiao nao e a estrategia mais eficiente, ela pode nos dar informacoes sobre a direcao das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

${\displaystyle d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} \times {\hat {\boldsymbol {r}}}}{r^{2}}}}$

que nos diz que em cada ponto, o campo magnetico tera a direcao do pseudo-vetor ${\displaystyle d\mathbf {l} \times {\hat {\mathbf {r} }}}$, que e dada pela regra da mao direita . Se posicionarmos o polegar na direcao de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolve-lo, obteremos a direcao das linhas de campo naquele ponto. ^{[ 5 ]}

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Lei de Ampere
• Eletromagnetismo
• Produto vetorial
• Integral de linha
• Campo magnetico
• Potencial magnetico

Referencias

• Portal da fisica