Interpolacao
e o metodo de aproximar os valores dos conjuntos discretos.
Exemplo de interpolacao linear.
Exemplo de interpolacao polinomial de grau superior a 1.
Em
matematica
, denomina-se
interpolacao
o metodo que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
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Em
engenharia
e
ciencia
, dispoe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma
amostragem
ou de um
experimento
. Tal conjunto de dados pontuais (tambem denominado
conjunto degenerado
) nao possui continuidade, e isto muitas vezes torna demasiado irreal a representacao teorica de um fenomeno real
empiricamente
observado.
Atraves da interpolacao, pode-se construir uma
funcao
que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, entao, a continuidade desejada.
Outra aplicacao da interpolacao e a aproximacao de funcoes complicadas por funcoes mais simples. Suponha que tenhamos uma funcao, mas que seja complicada demais para que seja possivel avalia-la de forma eficiente. Podemos, entao, escolher alguns dados pontuais da funcao complicada e tentar interpola-los com uma funcao mais simples. Obviamente, quando utilizamos a funcao mais simples para calcular novos dados, normalmente nao se obtem o mesmo resultado da funcao original, mas dependendo do dominio do problema e do metodo de interpolacao utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.
A interpolacao permite fazer a reconstituicao (aproximada) de uma funcao, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no
contra-dominio
da funcao). A funcao resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relacao aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.
- Interpolacao linear
: a mais simples de todas, uma linha conectando os pontos serve para estimar os valores
- Interpolacao polinomial
: quando a funcao interpoladora e um
polinomio
; a funcao interpoladora e a funcao f(x).
- Interpolacao trigonometrica
: quando o polinomio e trigonometrico, passando por um conjunto de pares; forma de interpolacao adequada somente para funcoes periodicas.
- Spline
: e a curva definida por dois ou mais pontos;
- Interpolacao bilinear
: e uma generalizacao da interpolacao linear de uma variavel para funcoes de duas variaveis.
Se os dois pontos conhecidos sao dados pelas coordenadas
e
, o
interpolante linear
e a linha reta entre esses pontos. Para um valor
x
no intervalo, o valor
y
ao longo da linha reta e dado a partir da equacao das inclinacoes,
Resolver esta equacao para y, que e o valor desconhecido em x, e igual a
que e a formula para interpolacao linear no intervalo
. Fora desse intervalo, a formula e identica a extrapolacao linear. Esta formula tambem pode ser entendida como uma media ponderada. Os pesos estao inversamente relacionados a distancia dos pontos finais ao ponto desconhecido; o ponto mais proximo tem maior influencia do que o ponto mais distantes. Assim, os pesos sao
e
que sao distancias normalizadas entre o ponto desconhecido e cada um dos pontos finais. Porque eles somam 1 e produz a formula de interpolacao dada abaixo:
Ate 60 anos atras, os metodos de calculo eram realizados manualmente e a interpolacao polinomial surgiu como uma ferramenta para aproximar funcoes complexas que eram listadas em tabelas, em alguns valores. A interpolacao polinomial e associada a Newton, porem, foi com Lagrange e Hermite que ganharam uma forma sistematica. No seculo XIX,
Carl David Tolme Runge
e
Pafnuty Lvovich Chebyshev
ponderaram sobre questoes de instabilidade da aproximacao polinomial.
Referencias