Funcao zeta de Riemann

A funcao zeta de Riemann e uma funcao especial de variavel complexa , definida para $\mathrm {Re} (s)>1$ pela serie $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-s}.$

Fora do conjunto dos numeros complexos com parte real maior do que a unidade a funcao de Riemann pode ser definida por continuacao analitica da expressao anterior. O resultado e uma funcao meromorfa com um polo em $s=1$ de residuo $1.$

Esta funcao e fundamental para a teoria dos numeros e em particular devido a hipotese de Riemann .

Historia [ editar | editar codigo-fonte ]

A primeira vez que esta funcao surgiu foi no trabalho de Leonhard Euler , que, ao estudar a distribuicao dos numeros primos , mostrou que a serie

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}

era uma serie divergente (o que, como corolario , e mais uma prova de que existem infinitos numeros primos). ^[
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A prova de Euler se baseou na identidade

\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1+p^{-s}+p^{-2s}+\ldots )=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}

em que o produto percorre todos os numeros primos. ^[
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Euler e, mais tarde, Pafnuti Tchebychev , haviam usado esta identidade, respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como uma variavel complexa, e estudou a serie

\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}

por tecnicas da teoria das funcoes analiticas . Esta serie converge apenas em parte do plano complexo , mas define, por continuacao analitica , uma funcao unica para todos os numeros complexos, ^{[
Nota 1
]} exceto para o polo em s = 1 . Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta funcao, e por causa disto ela e chamada funcao zeta de Riemann. ^[
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Riemann anunciou varias propriedades importantes desta funcao, porem suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard, em 1893 , e por Mangoldt, em 1894 . ^[
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Zeros [ editar | editar codigo-fonte ]

Os zeros s = σ + i t desta funcao sao de dois (ou tres) tipos:

os zeros triviais, que sao os valores de s que correspondem aos numeros pares negativos
os zeros localizados na linha critica em que σ = 1/2
possiveis outros zeros, localizados na faixa critica 0 < σ < 1

A hipotese de Riemann e a de que todos os zeros da faixa critica sao aqueles em que σ = 1/2 . ^[
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Os tres primeiros zeros na linha critica da funcao correspondem a t ₁ = 14,1347 , t ₂ = 21,0220 e t ₃ = 25,0109 . ^[
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Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

Notas e referencias

Notas

↑ Em analise complexa, a continuacao analitica de uma funcao pode retornar uma funcao multivariada , por exemplo, ${\sqrt {.}}$ e uma funcao que pode ser definida para valores complexos cuja parte real e maior que zero, mas sua continuacao analitica para valores cuja parte real e negativa nao e unica, ou seja, dependendo do caminho que se tome, pode ser que ${\sqrt {-1}}$ seja i ou -i .

Referencias

↑ ^a ^b Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.2 [google books]
↑ Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.4
↑ Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.5
↑ ^a ^b Richard P. Brent , Computation of the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip (1978). Computer Science Department . Paper 2376 . [em linha]

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[2] Em analise complexa, a continuacao analitica de uma funcao pode retornar uma funcao multivariada , por exemplo, ${\sqrt {.}}$ e uma funcao que pode ser definida para valores complexos cuja parte real e maior que zero, mas sua continuacao analitica para valores cuja parte real e negativa nao e unica, ou seja, dependendo do caminho que se tome, pode ser que ${\sqrt {-1}}$ seja i ou -i .

[ingham.p.2-1] Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.2 [google books]

[ingham.p.4-3] Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.4

[ingham.p.5-4] Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction , p.5

[richard.p.brent-5] Richard P. Brent , Computation of the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip (1978). Computer Science Department . Paper 2376 . [em linha]

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