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Uma funcao e uma relacao de um conjunto ${\textstyle A}$ com um conjunto ${\textstyle B}$. Denotamos uma funcao por ${\textstyle f:A\to B,}$ ${\textstyle y=f(x),}$ onde ${\textstyle f}$ e o nome da funcao, ${\textstyle A}$ e chamado de dominio , ${\textstyle B}$ e chamado de contradominio e ${\textstyle y=f(x)}$ expressa a lei de formacao (relacao) dos elementos, ${\textstyle x\in A}$ com os elementos ${\textstyle y\in B.}$ Considerando o conjunto de pares ordenados ${\textstyle (x,y)}$ de ${\textstyle A}$ x ${\textstyle B}$, teremos uma relacao entre os elementos de ${\textstyle A}$ e de ${\textstyle B}$ ou, simplesmente, relacao binaria de ${\textstyle A}$ em ${\textstyle B}$. ^{[ 1 ]} Para cada elemento do dominio, existira um unico correspondente no contradominio, esse correspondente e conhecido como imagem . De acordo com suas caracteristicas, as funcoes sao agrupadas em varias categorias, entre as principais temos: funcao trigonometrica , funcao afim (ou funcao polinomial do 1° grau) , funcao modular , funcao quadratica (ou funcao polinomial do 2° grau), funcao exponencial , funcao logaritmica , funcao polinomial , dentre inumeras outras. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 1 ]}

Conceito [ editar | editar codigo-fonte ]

As funcoes sao definidas por relacionar constantes e variaveis para descrever fenomenos naturais e tecnologicos, estudadas em diversas areas do conhecimento. ^{[ 4 ]} Deve-se notar que as palavras "funcao", "mapeamento", "mapa" e "transformacao" sao geralmente usadas como termos equivalentes. Muitas leis cientificas e muitos principios de Engenharia descrevem funcao como uma quantidade dependendo de outra. Em 1673, essa ideia foi formaliza por Leibniz, quando cunhou o termo para indicar a dependencia de uma quantidade em relacao a uma outra. ^{[ 5 ]} Alem disso pode-se ocasionalmente se referir a funcoes como "funcoes bem definidas" ou "funcoes totais". O conceito de uma funcao e uma generalizacao da nocao comum de formula matematica . As funcoes descrevem relacoes matematicas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma funcao e uma maneira de associar a cada valor do argumento ${\textstyle x}$ (as vezes denominado variavel independente ) a um unico valor da funcao ${\textstyle f(x)}$ (tambem conhecido como variavel dependente ). Isto pode ser feito atraves de uma equacao , um relacionamento grafico , diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associacao, uma tabela de correspondencia, etc... Muitas vezes, e util associar cada par de elementos relacionados pela funcao com um ponto em um espaco adequado (por exemplo, no espaco ${\textstyle \mathbb {R} ^{2},}$ geometricamente representado no plano cartesiano ). Neste caso, a exigencia de unicidade da imagem (valor da funcao) implica um unico ponto para cada entrada ${\textstyle x}$ (valor do argumento). ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Assim como a nocao intuitiva de funcoes nao se limita a calculos usando numeros individuais, a nocao matematica de funcoes nao se limita a calculos e nem mesmo a situacoes que envolvam numeros. De forma geral, uma funcao liga um dominio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradominio (conjunto de valores de saida), de tal forma que a cada elemento do dominio esta associado exatamente um elemento do contradominio. O conjunto dos elementos ${\textstyle y}$ do contradominio para os quais existe pelo menos um ${\textstyle x}$ no dominio tal que ${\textstyle y=f(x)}$ (i.e., ${\textstyle x}$ se relaciona com ${\textstyle y}$), e o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da funcao. ^{[ 7 ]}

Definicao formal [ editar | editar codigo-fonte ]

• Se uma variavel ${\textstyle y}$ depende de uma variavel ${\textstyle x}$ de tal modo que cada valor de ${\textstyle x}$ determina exatamente um valor de ${\textstyle y}$, entao dizemos que ${\textstyle y}$ e uma funcao de ${\textstyle x.}$^{[ 5 ]}
• Uma funcao ${\textstyle f}$ e uma regra que associa uma unica saida a cada entrada. Se a entrada for denotada por ${\textstyle x}$, entao a saida e denotada por ${\textstyle f(x)}$. ^{[ 5 ]}
• Sejam dados os conjuntos ${\textstyle A,}$ ${\textstyle B,}$ uma relacao ${\textstyle f:A\to B}$ e o conjunto dos pares ordenados ${\textstyle \mathbb {P} =\{(a,b)\in A\times B;a~{\mbox{se relaciona com}}~b~{\mbox{por}}~f\}.}$ Dizemos que ${\textstyle f}$ e uma funcao se, e somente se, para todos ${\textstyle b_{1}\neq b_{2}\in B}$ com ${\textstyle (a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in \mathbb {P} ,}$ temos ${\textstyle a_{1}\neq a_{2}.}$ Ou, em outras palavras, para todo ${\textstyle a\in A}$ existe no maximo um ${\textstyle b\in B}$ tal que ${\textstyle a}$ se relaciona com ${\textstyle b.}$ ^{[ 1 ]} Assim sendo, escrevemos ${\textstyle b=f(a)}$ quando ${\textstyle a}$ se relaciona com ${\textstyle b}$ por ${\textstyle f.}$ O conjunto ${\textstyle A}$ e chamado de conjunto de partida e ${\textstyle B}$ e chamado de contradominio da funcao ${\textstyle f.}$ Outra maneira de dizer isto e afirmar que ${\textstyle f}$ e uma relacao binaria entre os dois conjuntos tal que ${\textstyle f}$ e univoca, i.e. se ${\textstyle b=f(a)}$ e ${\textstyle c=f(a),}$ entao ${\textstyle b=c.}$ Algumas vezes, na definicao de funcao, impoe-se que todo o elemento do conjunto ${\textstyle A}$ se relaciona com algum elemento de ${\textstyle B.}$

Exemplos [ editar | editar codigo-fonte ]

Vejamos as seguintes relacoes ${\textstyle f:X\to Y:}$

	Esta nao e uma funcao, pois o elemento ${\textstyle 3\in X}$ e associado (se relaciona) com dois elementos ${\textstyle Y,}$ a saber com ${\textstyle c,d\in Y.}$ Esta e, entretanto, um exemplo das chamadas funcoes multivaloradas .
	Este e um exemplo de uma funcao dita parcial ( funcao parcial ), pois ha pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber ${\textstyle 1\in X,}$ que nao se relaciona com nenhum elemento do contradominio (conjunto ${\textstyle Y}$).
	Este e um exemplo de uma funcao dita discreta (veja, funcao discreta ). Sua lei de correspondencia pode ser escrita da seguinte forma: $${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{se }}x=1\\c,&{\mbox{se }}x=2\\d,&{\mbox{se }}x=3.\end{matrix}}\right.}$$

Exemplo de aplicacao [ editar | editar codigo-fonte ]

Podemos usar uma funcao para modelar o numero de individuos em uma populacao de acordo com o tempo ( modelos de crescimento demografico ). Por exemplo, denotando o tempo por ${\displaystyle t}$ e o numero de individuos em um dado tempo ${\textstyle t}$ por ${\textstyle y,}$ escrevemos ${\textstyle N:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {N} ,}$ ${\textstyle y=N(t).}$ Assim, temos abstratamente modelado o numero de individuos (variavel dependente) em funcao do tempo ( variavel independente ). Aqui, o nome da funcao foi arbitrariamente escolhido como ${\textstyle N,}$ o conjunto de partida e o conjunto dos numeros reais nao negativos (assumindo que o tempo e continuo e nao negativo) e o contradominio e o conjunto dos numeros naturais (assumindo que o numero de individuos e sempre um numero inteiro nao negativo).

Elementos de uma funcao [ editar | editar codigo-fonte ]

Da definicao, temos que uma funcao tem um nome, um conjunto de partida, um contradominio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondencia. Por exemplo, denotamos ${\textstyle f:X\to Y,}$ ${\textstyle y=f(x),}$ onde ${\textstyle f}$ e o nome da funcao, ${\textstyle X}$ e seu conjunto de partida, ${\textstyle Y}$ e seu contradominio e ${\textstyle y=f(x)}$ denota sua lei de correspondencia.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradominio. Aqueles que se relacionam sao elementos do chamado dominio da funcao . Mais precisamente, o dominio de uma funcao ${\textstyle f:X\to Y,}$ ${\textstyle y=f(x),}$ e o conjunto:

Tambem, geralmente, nem todos os elementos do contradominio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam sao elementos da chamada imagem da funcao . A imagem de uma funcao ${\textstyle f:X\to Y,}$ ${\textstyle y=f(x),}$ e o conjunto:

Exemplo [ editar | editar codigo-fonte ]

Seja ${\textstyle f:C\to CD,}$ ${\textstyle y=x^{2},}$ onde o conjunto de partida e dada por ${\textstyle C=\{-3,-2,-1,0\}}$ e o contradominio por ${\textstyle CD=\{0,1,2,\dotsc ,9\}.}$ Pela lei de correspondencia, vemos que, neste caso, ${\textstyle Dom(f)=C}$ e ${\textstyle Im(f)=\{0,1,4,9\}.}$ Veja a ilustracao.

Grafico de uma funcao [ editar | editar codigo-fonte ]

O grafico de uma funcao ${\textstyle f:X\to Y,}$ ${\textstyle y=f(x),}$ e o conjunto:

e o conjunto dos pares ordenados ${\textstyle (x,y)}$ tal que ${\textstyle y=f(x).}$

Quando possivel, usualmente fazemos uma representacao geometrica do grafico da funcao. Tal representacao e usualmente chamada de esboco do grafico da funcao (ou, simplesmente grafico, quando subentendido).

Popularmente, temos os graficos de funcoes de uma variavel, para as quais seu esboco e dado pelo conjunto de pontos ${\textstyle (x,f(x))}$ no plano cartesiano (veja a ilustracao). Neste caso, usualmente as variaveis independentes sao chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variaveis dependentes sao chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).

Classificacao quanto a imagem [ editar | editar codigo-fonte ]

Funcoes sao usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funcoes injetoras , funcoes sobrejetoras e funcoes bijetoras . Seja dada a funcao ${\textstyle f:X\to Y,}$ ${\textstyle y=f(x).}$ Por definicao, ${\textstyle f}$ e injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos ${\textstyle x_{1}\neq x_{2}\in Dom(f)}$ temos ${\textstyle f(x_{1})\neq f(x_{2}).}$ A funcao ${\textstyle f}$ e dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando ${\textstyle Im(f)=Y.}$ Por fim, uma funcao injetora e sobrejetora e dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.

Tipo de funcao	Caracteristica da funcao	Conjunto imagem	Explicacao visual	Exemplo	Admite funcao inversa ? E inversivel?
Injetora ou injetiva	Cada elemento da imagem esta associado a apenas um elemento do dominio, isto e, quando ${\displaystyle x}$ ≠ ${\displaystyle y}$ no dominio tem-se ${\displaystyle f(x)}$ ≠ ${\displaystyle f(y)}$ no contradominio.	Pode haver elementos do contradominio que nao pertencam a imagem da funcao.		A funcao ${\displaystyle f:}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle N}$ dada por ${\displaystyle f(x)=2x}$, e injetiva porque numeros distintos possuem dobros distintos.	Nem sempre, mas sempre admite inversa a esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetiva	Todos os elementos do contradominio estao associados a algum elemento do dominio.	O conjunto imagem e igual ao conjunto contradominio		A funcao ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\textstyle f(x)=x}$, e sobrejetiva.	Nem sempre, mas sempre admite inversa a direita.
Bijetora ou bijetiva	Sao ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto e, cada elemento do dominio esta associado a um unico elemento do contradominio e vice-versa.	O conjunto imagem e igual ao conjunto contradominio		A funcao ${\textstyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle f(x)=x}$, e bijetiva.	Sim.

Funcoes implicitas e explicitas [ editar | editar codigo-fonte ]

Dizemos que uma funcao ${\textstyle f:X\to Y}$ e definida de forma explicita (funcao explicita) quando seus valores ${\textstyle y}$ podem ser expressados pela variavel independente ${\textstyle x,}$ i.e., quando temos uma relacao da forma ${\textstyle y=f(x).}$ Por outro lado, dizemos que uma tal funcao e definida de forma implicita (funcao implicita) quando a relacao entre as variaveis dependente e independente e dada como ${\textstyle F(x,y)=0,}$ onde ${\textstyle F(x,y)}$ denota uma expressao envolvendo ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y.}$ ^{[ 8 ]}

Exemplo [ editar | editar codigo-fonte ]

Seja ${\textstyle G:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ dada por ${\textstyle G(x,y)=xy.}$ Isto e, a funcao que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma funcao explicita. Agora, a equacao ${\textstyle xy-1=0,}$ define implicitamente a funcao ${\textstyle f:\mathbb {R^{*}} \to \mathbb {R} }$ que associa um numero real nao nulo ${\textstyle x}$ ao seu inverso. Ou seja, tal funcao ${\textstyle f}$ esta, aqui, definida implicitamente por ${\textstyle F(x,y):=xy-1=0.}$ Notamos que neste caso em particular, podemos definir a funcao ${\textstyle f}$ de forma explicita, escrevendo ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}.}$

Composicao de funcoes [ editar | editar codigo-fonte ]

Dadas uma funcao ${\textstyle f:A\to B,}$ ${\textstyle y=f(x)}$ e uma funcao ${\textstyle g:C\to D,}$ ${\textstyle y=g(x)}$ com ${\textstyle Im(g)\subset Dom(f),}$ definimos a funcao composta de ${\textstyle f}$ com ${\textstyle g}$ por ${\textstyle (f\circ g):C\to B,}$ ${\textstyle (f\circ g)(x)=f(g(x)).}$ Analogamente, quando ${\textstyle Im(f)\subset Dom(g)}$ tambem podemos definir a funcao composta de ${\textstyle g}$ com ${\textstyle f}$ dada por ${\textstyle (g\circ f):A\to D,}$ ${\textstyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$ ^{[ 1 ]}

Exemplo [ editar | editar codigo-fonte ]

Considere as seguintes funcoes ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ e ${\textstyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dada por:

${\displaystyle f(x)=2x+3}$ e ${\displaystyle g(x)=x-1.}$

Notamos que ${\textstyle Im(f)\subset Dom(g)}$ e, portanto, podemos definir a funcao composta ${\textstyle (g\circ f):\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$por:

Tambem, como ${\textstyle Im(g)\subset Dom(f),}$ temos a composicao ${\textstyle (f\circ g):\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dada por:

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(x-1)+3=2x+1.}$

Outras classificacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

Funcoes sao classificadas quanto a uma series de propriedades (caracteristicas) alem das ja mencionadas. Alguns desses tipos de funcoes sao listados a seguir.

Historia [ editar | editar codigo-fonte ]

O conceito matematico de funcao emergiu no seculo XVII em conexao com o desenvolvimento do Calculo . ^{[ 9 ] [ 10 ]} O termo "funcao" foi introduzido por Gottfried Leibniz em uma de suas cartas, datada de 1673, na qual ele descreve a declividade de uma curva em um ponto especifico. ^{[ 11 ]} Na antiguidade, embora nao se conheca o uso explicito de funcoes, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filosofos e matematicos medievais, como Oresme . ^{[ 12 ]}

Matematicos do seculo XVII tratavam por funcoes aquelas definidas por expressoes analiticas . ^{[ 13 ]} Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da Analise Matematica por Weierstrass e outros, a reformulacao da Geometria em termos da analise e a invencao da Teoria dos Conjuntos por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma funcao como um mapeamento univoco de um conjunto em outro. Nao ha consenso sobre a quem se deva os creditos da nocao moderna de funcao, sendo cotada os matematicos Nikolai Lobachevsky , Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Dedekind . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Calculo diferencial e integral
• Conjuntos
• Funcional
• Funcao se entao (informatica)
• Funcao generalizada
• Funtor

Referencias

Bibliografia [ editar | editar codigo-fonte ]

• Avila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Analise matematica para licenciatura . Sao Paulo. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0371-3 .
• Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matematica: Calculo e Analise . Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0 .
• Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). Fundamentos de Matematica Elementar: Conjuntos e Funcoes . vol. 1, 9. ed., Atual Editora:Sao Paulo. ISBN 9788535716801 .