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Em matematica , um corpo e um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relacao a multiplicacao.

Definicao formal [ editar | editar codigo-fonte ]

Mais formalmente, um anel comutativo ${\displaystyle F}$ com unidade e chamado de corpo se:

${\displaystyle (\forall x\in F\setminus \{0\})(\exists y\in F):x.y=1.}$

Resulta da comutatividade de ${\displaystyle F}$ que o ${\displaystyle y}$ da definicao anterior tambem satisfaz a condicao ${\displaystyle y.x=1.}$ Por outro lado, so pode haver um unico ${\displaystyle y}$ naquelas condicoes. De facto, se ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ forem tais que ${\displaystyle x.y=x.y'=1,}$ entao

${\displaystyle y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.}$

Este elemento ${\displaystyle y}$ designa-se por inverso de ${\displaystyle x}$ e representa-se por ${\displaystyle x^{-1}.}$

Um corpo ${\displaystyle F}$ nao tem divisores de zero . Efectivamente, se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ forem dois elementos de ${\displaystyle F}$ diferentes de ${\displaystyle 0}$ entao ${\displaystyle x.y}$ ≠  ${\displaystyle 0,}$ pois

${\displaystyle x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y}$ ≠ 0.

Mas se se tivesse ${\displaystyle x.y=0,}$ entao ter-se-ia ${\displaystyle x^{-1}.(x.y)=0.}$

Exemplos e contra-exemplos de Corpos [ editar | editar codigo-fonte ]

Exemplos [ editar | editar codigo-fonte ]

• Os numeros complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$^{[ 1 ]} e seus subcorpos, entre os quais:
  • o corpo dos numeros racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$^{[ 1 ]}
  • o corpo dos numeros algebricos ;
  • o corpo dos numeros reais ${\displaystyle \mathbb {R} .}$^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ o menor corpo, formado pelos numeros ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 0,}$ em que ${\displaystyle 1+1=0.}$ Este conjunto com as operacoes de adicao e multiplicacao satisfaz todos os axiomas de anel , e comutativo e tem unidade. Alem disso, como em qualquer anel com unidade, ${\displaystyle 1}$ e o elemento inverso de ${\displaystyle 1.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ onde p e um numero primo . Como conjunto,

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$

A adicao e a multiplicacao sao assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ entao ${\displaystyle a+b}$ (respectivamente ${\displaystyle a.b}$) e o resto da divisao por ${\displaystyle p}$ da adicao (respectivamente multiplicacao) dos numeros inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$

• os numeros hiperreais , uma extensao de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que inclui infinitesimais .
• os numeros surreais ^{[ 2 ]}

< H : ${\displaystyle {a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot }$ >

Contra-exemplos [ editar | editar codigo-fonte ]

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ quando ${\displaystyle n}$ nao e um numero primo , nao e um corpo, pois tem divisores de zero .
• Os quaternioes nao formam um corpo, porque a multiplicacao nao e comutativa.

Caracteristica [ editar | editar codigo-fonte ]

Dado um corpo ${\displaystyle F,}$ considere-se a sucessao ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1+1,}$ ${\displaystyle 1+1+1,}$ … Ha duas possibilidades.

• Todos os termos da sucessao sao diferentes de ${\displaystyle 0.}$ Diz-se entao que o corpo ${\displaystyle F}$ tem caracteristica ${\displaystyle 0.}$
• Alguns termos da sucessao sao iguais a ${\displaystyle 0.}$ Diz-se entao que o corpo ${\displaystyle F}$ tem caracteristica ${\displaystyle p,}$ onde ${\displaystyle p}$ e o menor numero natural tal que ${\displaystyle 1+1+}$ ···  ${\displaystyle +1}$ ( ${\displaystyle p}$ vezes) = 0.

O corpo dos numeros complexos e os seus subcorpos tem caracteristica ${\displaystyle 0;}$ para cada numero primo ${\displaystyle p,}$ o corpo Z _p tem caracteristica ${\displaystyle p.}$

Se um corpo tem caracteristica ${\displaystyle p>0,}$ entao ${\displaystyle p}$ e um numero primo. De facto, a funcao

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {N} &\longrightarrow &F\\&n&\mapsto &{\stackrel {n{\text{vezes}}}{\overbrace {1+1+\cdots +1} }}\end{array}}}$

e tal que se ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ sao numeros naturais, entao ${\displaystyle f(m.n)=f(m).f(n).}$ Por outro lado, se ${\displaystyle F}$ tiver caracteristica ${\displaystyle p,}$ entao ${\displaystyle f(p)=0.}$ Se ${\displaystyle p}$ nao fosse primo, tinha-se ${\displaystyle p=m.n,}$ com ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ numeros naturais menores do que ${\displaystyle p,}$ pelo que ${\displaystyle 0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).}$ Mas entao ${\displaystyle f(m)=0}$ ou ${\displaystyle f(n)=0.}$ Isto e impossivel pois, por definicao, ${\displaystyle p}$ e o menor numero natural tal que ${\displaystyle f(p)=0.}$

Se um corpo F tem caracteristica p (em que p e zero ou um numero primo), entao existe um subcorpo ${\displaystyle K\subseteq F}$ e um isomorfismo de corpos ${\displaystyle \phi :\mathbb {Q} \to K}$ ( p = 0 ) ou ${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} _{p}\to K}$ ( p primo). Alem disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ sao unicos.

Corpos de fraccoes [ editar | editar codigo-fonte ]

Seja ${\displaystyle S}$ um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Entao e possivel mergulhar ${\displaystyle S}$ num corpo ${\displaystyle F.}$ Basta definir em ${\displaystyle S}$ ×  ${\displaystyle (S}$ \  ${\displaystyle \{0\})}$ a seguinte relacao de equivalencia ∼:

${\displaystyle (a,r)}$ ∼  ${\displaystyle (b,s)}$ se e so se ${\displaystyle a.s=b.r.}$

Se ${\displaystyle (a,r)}$ for um elemento de ${\displaystyle S}$ ×  ${\displaystyle (S}$ \  ${\displaystyle \{0\}),}$ seja ${\displaystyle [(a,r)]}$ a sua classe de equivalencia. Seja ${\displaystyle F}$ o conjunto das classes de equivalencia. Podem-se entao definir os seguintes elementos de ${\displaystyle F}$ e as seguintes operacoes:

• ${\displaystyle 0=[(0,1)];}$
• ${\displaystyle 1=[(1,1)];}$
• ${\displaystyle [(a,r)]+[(b,s)]=[(a.s+b.r,r.s)];}$
• ${\displaystyle [(a,r)].[(b,s)]=[(a.b,r.s)].}$

Entao ${\displaystyle F}$ e um corpo e a funcao

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow &F\\a&\mapsto &[(a,1)]\end{array}}}$

e uma funcao injectiva de ${\displaystyle S}$ em ${\displaystyle F.}$ O corpo ${\displaystyle F}$ designa-se por corpo de fraccoes do anel ${\displaystyle S.}$^{[ 3 ]}

Exemplos:

• O corpo dos numeros racionais e o corpo de fracoes do anel dos numeros inteiros.
• Seja ${\displaystyle A}$ um aberto conexo nao vazio de C . As funcoes holomorfas de ${\displaystyle A}$ em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fraccoes e o corpo das funcoes meromorfas de ${\displaystyle A}$ em C .

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Teoria dos corpos
• Corpo topologico , em que a estrutura de espaco topologico deve ser tal que garanta a continuidade de varias operacoes do corpo
• Corpo ordenado , em que existe uma relacao de ordem total compativel com as operacoes de corpo

Notas e referencias

Bibliografia [ editar | editar codigo-fonte ]

• Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em ingles). 1 . New York: W. H. Freeman and Company. ISBN   0716714809