Zbior przeliczalny ? zbior, ktorego elementy mo?na ustawi? w ci?g (sko?czony b?d? nie), tzn. "wypisa? je po kolei", "ponumerowa?". Istniej? dwie nierownowa?ne konwencje u?ycia terminu zbior przeliczalny w matematyce ^[1] :

• zbior przeliczalny to zbior sko?czony lub zbior rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (tzn. taki zbior, ?e istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna mi?dzy nim a zbiorem liczb naturalnych. Zbior rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych jest zbiorem niesko?czonym).
• zbior przeliczalny to zbior rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (definicja ta wyklucza mo?liwo?? bycia zbiorem sko?czonym poniewa? nie istnieje funkcja ro?nowarto?ciowa okre?lona w zbiorze liczb naturalnych o warto?ciach w zbiorze sko?czonym). W przypadku tej konwencji zbiory przeliczalne według pierwszej definicji nazywa si? zbiorami co najwy?ej przeliczalnymi .

Liczb? kardynaln? zbioru liczb naturalnych ? a wi?c i ka?dego niesko?czonego zbioru przeliczalnego ? oznacza si? symbolem ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (czyt.: alef zero ). Niektorzy matematycy oznaczaj? t? liczb? kardynaln? symbolem ${\displaystyle \omega }$ (poniewa? formalnie ${\displaystyle \aleph _{0}}$ jest najmniejsz? niesko?czon? liczb? porz?dkow? ).

Własno?ci [ edytuj | edytuj kod ]

Poni?sze własno?ci s? prawdziwe dla zbiorow przeliczalnych w sensie obu powy?szych definicji:

• Niesko?czony podzbior zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
• Suma przeliczalnie wielu zbiorow przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
• Iloczyn kartezja?ski sko?czonej liczby zbiorow przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Przykłady [ edytuj | edytuj kod ]

• Zbior wszystkich liczb naturalnych nieparzystych jest zbiorem przeliczalnym poniewa? funkcja f ( n ) = 2 n + 1 ustala rownoliczno?? zbioru liczb naturalnych ze zbiorem liczb nieparzystych.
• Zbior wszystkich liczb pierwszych jest (niesko?czonym) zbiorem przeliczalnym, jako niesko?czony podzbior zbioru liczb naturalnych.
• Zbior wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny. Mo?na bowiem liczby całkowite ustawi? w ci?g, na przykład w ten sposob: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, ...
• Zbior wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Aby to udowodni? wystarczy wszystkie liczby wymierne wpisa? do nast?puj?cej tablicy: w wierszu pierwszym wpiszemy liczby 1/1, -1/1, 1/2, -1/2 ,1/3, -1/3... w wierszu drugim 2/1, -2/1, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3... itd.; ogolnie, w wierszu n -tym wpisujemy liczby postaci n /i, - n / i gdzie i =1,2,3,... W ten sposob w tablicy znajd? si? wszystkie liczby wymierne. Aby teraz z takiej dwuwymiarowej tabeli wybra? ci?g zawieraj?cy kolejno wszystkie jej elementy, wystarczy wybiera? liczby według reguły "po skosie" zaczynaj?c od lewego gornego rogu i poruszaj?c si? raz w doł, raz do gory. Otrzymujemy tym samym uporz?dkowanie wszystkich liczb wymiernych w ci?g ? co wi?cej, ka?da liczba wymierna pojawi si? w tym ci?gu niesko?czenie wiele razy.
• Zbior liczb algebraicznych jest przeliczalny.
• Zbior liczb rzeczywistych nie jest zbiorem przeliczalnym (jest to przykład zbioru nieprzeliczalnego ) - zob.: rozumowanie przek?tniowe .

Przypisy [ edytuj | edytuj kod ]

Bibliografia [ edytuj | edytuj kod ]

• Helena Rasiowa : Wst?p do matematyki wspołczesnej . Wyd. 12. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 1998, s. 95?99. ISBN  83-01-01373-7 .