Wielok?t foremny ? wielok?t , ktory ma wszystkie k?ty wewn?trzne rowne i wszystkie boki rownej długo?ci. Najmniejsz? mo?liw? liczb? bokow wielok?ta foremnego jest 3. Teoretycznie jest mo?liwy do skonstruowania dwuk?t (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany , wygl?dałby on jak zwykły odcinek , a k?t mi?dzy bokami wynosiłby 0°.

Trojk?t foremny jest okre?lany jako trojk?t rownoboczny , czworok?t foremny ? jako kwadrat .

Wielok?tami foremnymi zajmował si? m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss , ktory w 1801 odkrył, ?e ${\displaystyle n}$-k?t foremny daje si? skonstruowa? za pomoc? zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne ) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczb? postaci ${\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}$ gdzie ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}}$ s? ro?nymi liczbami pierwszymi Fermata . Twierdzenie to jest dzi? znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela .

Wszystkie wielok?ty foremne s? figurami wypukłymi . Ka?de dwa wielok?ty foremne o tej samej liczbie bokow s? podobne .

Wzory [ edytuj | edytuj kod ]

Przyj?te oznaczenia:

${\displaystyle n}$ ? liczba bokow wielok?ta foremnego,

${\displaystyle a}$ ? długo?? jednego boku wielok?ta.

• Wzor na miar? k?ta wewn?trznego (pomi?dzy s?siednimi bokami) wielok?ta foremnego:

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}.}$

• Wzor na miar? k?ta ?rodkowego (czyli k?t, pod jakim widziany jest bok wielok?ta z jego ?rodka):

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$

• Wzor na promie? okr?gu opisanego na wielok?cie foremnym:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {cosec} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzor na promie? okr?gu wpisanego w wielok?t foremny:

${\displaystyle r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}$

• Wzory na długo?? boku wielok?ta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\&=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzor na obwod wielok?ta foremnego:

${\displaystyle L=n\cdot a.}$

• Wzory na pole powierzchni wielok?ta foremnego:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {nar}{2}}\\&=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}\\&=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}.\end{aligned}}}$

• Wzor na długo?ci przek?tnych wielok?ta foremnego:

${\displaystyle d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},}$

gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ 1\leqslant k\leqslant n-3.}$

• K?t mi?dzy dowolnymi s?siednimi przek?tnymi wychodz?cymi z jednego wierzchołka (wł?cznie z bokami wychodz?cymi z tego wierzchołka)

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Tabela wielok?tow foremnych [ edytuj | edytuj kod ]

Poni?ej znajduje si? lista najprostszych wielok?tow foremnych.

Nazwa	Ilustracja	Liczba bokow	Miara k?ta wewn?trznego	Konstruowalny cyrklem i linijk??
Trojk?t rownoboczny		3	${\displaystyle 60^{\circ }}$	tak
Kwadrat		4	${\displaystyle 90^{\circ }}$	tak
Pi?ciok?t foremny		5	${\displaystyle 108^{\circ }}$	tak
Sze?ciok?t foremny		6	${\displaystyle 120^{\circ }}$	tak
Siedmiok?t foremny		7	${\displaystyle {128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }}$	nie
O?miok?t foremny		8	${\displaystyle 135^{\circ }}$	tak
Dziewi?ciok?t foremny		9	${\displaystyle 140^{\circ }}$	nie
Dziesi?ciok?t foremny		10	${\displaystyle 144^{\circ }}$	tak

Zobacz te? [ edytuj | edytuj kod ]

• wzor Picka