Twierdzenie Noether ? twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether , dotycz?ce zwi?zku zasad zachowania z symetriami ci?głymi ^[1] . Ma fundamentalne znaczenie w fizyce .

Symetrie ci?głe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego [ edytuj | edytuj kod ]

(1) Symetrie ci?głe to np. obroty, translacje.

(2) Symetrie tworz? grup? .

(3) Ka?da symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem.

(4) Generatory grupy symetrii tworz? grup?, tzw. grup? Liego .

Spo?rod grup symetrii wa?n? rol? w fizyce odgrywaj?:

• grupa obrotow w przestrzeni euklidesowej SO(n)
• grupa translacji w przestrzeni euklidesowej
• grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n)
• grupa Lorentza obrotow w przestrzeni pseudoeuklidesowej
• grupa Poincarego
• grupa przekształce? unitarnych U(n) oraz SU(n).

Twierdzenie Noether [ edytuj | edytuj kod ]

Ka?da ci?gła symetria praw fizyki, czyli taka, ktora nie zmienia

• rowna? opisuj?cych prawa fizyki
• lub działania S, tj. wielko?ci definiowanej przez mechanik? Lagrange’a

generuje tyle praw zachowania, ile jest

• niezale?nych parametrow opisuj?cych dan? grup? Liego lub
• generatorow grupy Liego.

Symetrie dyskretne [ edytuj | edytuj kod ]

Symetrie dyskretne mog? generowa? prawa zachowania (np. symetria inwersji ${\displaystyle x\mapsto -x}$ generuje zachowanie parzysto?ci ${\displaystyle P}$), ale nie musz? (np. inwersja w czasie ${\displaystyle t\mapsto -t}$ nie generuje prawa zachowania).

Przykład: symetrie ci?głe [ edytuj | edytuj kod ]

W mechanice klasycznej obowi?zuj? np. zasady zachowania energii , p?du i momentu p?du . Te trzy zasady mo?na traktowa? jako konsekwencje odpowiednich symetrii:

(1) Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczo?ci działania wzgl?dem przesuni?cia w czasie : je?eli działanie S opisuj?ce dany ruch układu nie zale?y od czasu, to energia układu jest zachowana. Je?eli natomiast układ absorbuje lub emituje energi?, to wowczas działanie jest funkcj? czasu ? w konsekwencji energia układu zmienia si?.

(2) Zasada zachowania p?du odzwierciedla niezmienniczo?? działania S (oraz rowna? ruchu opisuj?cych układ) wzgl?dem przesuni?cia układu w przestrzeni . Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego , to zasad? zachowania p?du okre?la si? jako zachowanie tensora energii-p?du .

(3) Zasada zachowania momentu p?du wi??e si? z niezmienniczo?ci? działania S (oraz rowna? ruchu opisuj?cych układ) wzgl?dem obrotu układu . Je?li obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu p?du, tzn. wł?cznie ze spinowym (Patrz np. rownanie Diraca , operator spinu)

(4) Zasada zachowanie ładunku wynika z niezmienniczo?ci funkcji falowej elektronu wzgl?dem transformacji cechowania , takiej ?e:

${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)\mapsto \psi '({\vec {x}},t)=e^{i\alpha }\psi ({\vec {x}},t)}$

Transformacje ${\displaystyle e^{i\alpha }}$ generowane s? przez ci?gły k?t ${\displaystyle \alpha .}$ Istnieje wi?c jeden generator, ktory tworzy prost? grup? Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych ${\displaystyle U(1).}$ Gdy zmiana k?ta w czasie i przestrzeni ${\displaystyle \alpha ({\vec {x}},t)}$ nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania ${\displaystyle U(1)}$ wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego .

Zobacz te? [ edytuj | edytuj kod ]

• całka ruchu
• niezmiennik
• symetria unitarna
• zasada najmniejszego działania

Przypisy [ edytuj | edytuj kod ]