Teoria Kaluzy-Kleina ? teoria ł?cz?ca teori? wzgl?dno?ci Einsteina z elektromagnetyzmem Maxwella za pomoc? rozszerzenia czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego o hipotetyczny dodatkowy pi?ty wymiar ^[1] .

Była to pierwsza powszechnie znana teoria oparta na nowatorskiej koncepcji hiperprzestrzeni . Teoria Kaluzy-Kleina została zaproponowana w 1919 r. przez Theodora Kaluz? i zmodyfikowana w 1926 r. przez Oskara Kleina . Wcze?niejsz? teori? grawitacji w pi?ciu wymiarach stworzył Gunnar Nordstrom w 1914 r., jednak nie stała si? ona tak popularna, poniewa? nie pozwalała na integracj? z elektromagnetyzmem.

Metryka w pi?ciowymiarowej czasoprzestrzeni o wspołrz?dnych ${\displaystyle x^{M}=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4})=(x^{\mu },x^{4}),}$ opisana jest przez tensor metryczny :

${\displaystyle g_{MN}=e^{\phi /{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}g_{\mu \nu }(x)+e^{-{\sqrt {3}}\phi }A_{\mu }A_{\nu }&e^{-{\sqrt {3}}\phi }A_{\mu }(x)\\e^{-{\sqrt {3}}\phi }A_{\nu }(x)&e^{-{\sqrt {3}}\phi }\end{pmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ to tensor metryczny czterowymiarowej czasoprzestrzeni ${\displaystyle \mu =0,1,2,3,}$

${\displaystyle A_{\mu }}$ jest potencjałem (polem cechowania) w elektrodynamice ,

pole ${\displaystyle \phi }$ nazywamy polem dylatonowym .

Rozwoj teorii [ edytuj | edytuj kod ]

Kaluza wysłał list opisuj?cy swoj? teori? do Alberta Einsteina . Ten odpisał 21 kwietnia 1919 r., ?e ta teoria go zainteresowała, jednak tydzie? po?niej napisał list, w ktorym stwierdził, ?e zmienił zdanie. W efekcie dopiero w li?cie z 14 pa?dziernika 1921 r., po dwuletnich rozwa?aniach, Einstein zaproponował Kaluzie publikacj? jego teorii w ?Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften”. Stało si? to jeszcze tego samego roku. Artykuł nosił tytuł ?O problemie jedno?ci w fizyce”. Teoria Kaluzy ? Kleina unifikowała dwa ro?ne oddziaływania fundamentalne, grawitacj? z elektromagnetyzmem.

Wkład Kleina polegał na u?ci?leniu rozmiarow pi?tego wymiaru. Kaluza sugerował, ?e jest on niedostrzegalny, poniewa? jest bardzo ?ci?le ?zwini?ty”, mniejszy od rozmiaru atomu . Klein na podstawie teorii kwantowej obliczył jego wielko?? jako blisk? długo?ci Plancka , rown? 10 ^?33 m.

Proces zwini?cia si? pi?ciowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni do czterowymiarowej nazywamy kompaktyfikacj? . Przypomina to zwini?cie płaskiej dwuwymiarowej kartki do cienkiego rulonu, ktory praktycznie jest jednowymiarowy.

Z powodu trudno?ci w udowodnieniu teoria została zarzucona w latach 30. Ponownie stała si? przedmiotem zainteresowania pod koniec lat 60., najwi?ksz? popularno?? osi?gaj?c w latach 70. na fali prob unifikacji teorii wzgl?dno?ci z mechanik? kwantow?. Na bazie teorii Kaluzy-Kleina powstała wowczas teoria supergrawitacji .

Obecnie rozwijane s? jej dalsze pochodne, tak?e korzystaj?ce z poj?cia hiperprzestrzeni: 10-wymiarowa teoria superstrun i 11-wymiarowa M-teoria .

Intuicyjny opis teorii [ edytuj | edytuj kod ]

Czterowymiarowa teoria wzgl?dno?ci [ edytuj | edytuj kod ]

Klasyczna teoria wzgl?dno?ci Einsteina postuluje istnienie czterech wymiarow. Istniej? 3 wymiary przestrzenne i jeden czasowy, tworz?ce razem czterowymiarow? czasoprzestrze? . W ka?dym wymiarze z osobna mo?na si? przemieszcza? (matematycznie; nie ma to nic wspolnego z fizycznym ruchem) oraz mo?na si? obraca? wzgl?dem ka?dej pary wymiarow. ?Obrot” pomi?dzy ktorym? z wymiarow przestrzennych a czasowym to transformacja Lorentza .

Kształt (krzywizna) czasoprzestrzeni okre?lony jest przez tensor metryczny . Jedynym oddziaływaniem wyja?nianym przez teori? wzgl?dno?ci jest grawitacja . ?rodłem pola grawitacyjnego jest energia w ka?dej postaci ? zarowno masa, jak i energia zwi?zana z ruchem. Wkład do siły grawitacji pochodz?cy od ruchu ciał masywnych zwany jest grawitomagnetyzmem , w analogii do oddziaływania magnetycznego pochodz?cego od ruchu ładunkow elektrycznych. Masa całkowita ciała (uwzgl?dniaj?c relatywistyczn? zmian? masy) wraz z p?dem tego ciała tworz? tzw. wektor czterop?du .

Dla układow ci?głych trzeba uwzgl?dni? g?sto?? masy. Ro?ne wielko?ci fizyczne układa si? w tensor napi??-energii (zwany tak?e tensorem energii-p?du). Zawiera on: g?sto?? masy, g?sto?? p?du (sum? p?dow wszystkich cz?stek w danym obszarze dzielon? przez obj?to?? tego obszaru), ci?nienie oraz napr??enie ? wszystkie postacie energii wpływaj?ce na grawitacj?.

Dodanie pi?tego wymiaru [ edytuj | edytuj kod ]

Po dodaniu pi?tego wymiaru ka?dy czterowymiarowy wektor zamienia si? w pi?ciowymiarowy, a ka?dy czterowymiarowy tensor zyskuje dodatkow? kolumn? i wiersz. Mo?na si? spodziewa?, ?e jaka? wielko?? skalarna w teorii czterowymiarowej oka?e si? pi?t? składow? jakiego? wektora wraz z jak?? wielko?ci? czterowektorow?. W przypadku tensorow symetrycznych mo?na si? spodziewa?, ?e jaka? wielko?? wektorowa, wielko?? skalarna oraz wielko?? tensorowa poł?cz? si? razem w pi?ciowymiarowy tensor. Teoria Kaluzy-Kleina dokonuje wła?nie takich uto?samie?.

Ładunek elektryczny okazuje si? pi?t? składow? wektora czterop?du. Inaczej mowi?c ? ładunek elektryczny oznacza ruch ciała w pi?tym wymiarze. Pole elektromagnetyczne okazuje si? dodatkow? kolumn? tensora metrycznego, przy czym pole elektryczne to jego cz??? czasowa a magnetyczne ? przestrzenna. Interpretacja geometryczna tego faktu jest taka, ?e pole elektromagnetyczne to zakrzywienie pi?tego wymiaru. Dodatkow? wielko?ci? skalarn? potrzebn? do konstrukcji tensora metrycznego jest tzw. radion .

Tensor napi??-energii zostaje rozszerzony o g?sto?? ładunku elektrycznego oraz g?sto?? pr?du elektrycznego. Dla kompletnego obrazu trzeba do niego jeszcze doda? g?sto?? pola radionowego.

Konsekwencje kompaktyfikacji pi?tego wymiaru [ edytuj | edytuj kod ]

O ile cztery znane wymiary rozci?gaj? si? w niesko?czono??, to według teorii Kaluzy-Kleina pi?ty wymiar tworzy p?tl?. Cała pi?ciowymiarowa czasoprzestrze? przypomina wi?c walec. Z mechaniki kwantowej wiadomo, ?e podczas ruchu po zamkni?tej p?tli p?d cz?stki musi by? skwantowany (przyjmowa? tylko dyskretne warto?ci). Teoria prosto tłumaczy zatem fakt, dlaczego ładunek elektryczny jest skwantowany.

Skoro pi?ty wymiar jest zwini?ty w p?tl?, to ma ona pewien obwod. Długo?? tego obwodu jest pewn? now? skalarn? wielko?ci? fizyczn?. Wła?nie ta długo?? jest interpretowana jako radion. W oryginalnej teorii Kaluzy wielko?? ta była stał?; w nowszych wersjach zakłada si?, ?e długo?? ta mo?e si? zmienia?.

Rozszerzenia kwantowe teorii [ edytuj | edytuj kod ]

Nie ma ogolnie przyj?tej kwantowej teorii grawitacji. Teoria Kaluzy-Kleina zawiera grawitacj?, dlatego nie ma tak?e przyj?tej kwantyzacji dla tej teorii. Wi?kszo?? fizykow zgadza si? jednak, ?e kwantowa grawitacja (a za ni? kwantowa teoria KK) powinna zawiera? nast?puj?ce elementy:

Grawitony ? czyli kwanty tensora metrycznego. Mo?na je rozumie? jako ?zmarszczki” na czasoprzestrzeni. W teorii KK pole elektromagnetyczne oraz radionowe s? rownie? zmarszczkami czasoprzestrzeni (w pi?tym wymiarze), zatem fotony s? pewn? form? grawitonow.

Radiony ? czyli kwanty pola radionowego. S? to elementarne cz?stki skalarne. Oznaczaj? one ?zmarszczki” na długo?ci obwodu pi?tego wymiaru, jakby wymiar ten co chwil? si? powi?kszał i zmniejszał. Nie odkryto dotychczas takich cz?stek (nie odkryto dot?d tak naprawd? ?adnych elementarnych cz?stek skalarnych). Je?eli radiony istniej?, to stała struktury subtelnej przestaje by? stał?. Stał? przestaje by? tak?e pr?dko?? ?wiatła w pro?ni, co nie oznacza, ?e teoria wzgl?dno?ci przestaje obowi?zywa?. W dalszym ci?gu istnieje pewna graniczna pr?dko??, ktorej nie mo?na przekroczy?, tylko nie jest to ju? pr?dko?? ?wiatła w pro?ni.

Symetria pomi?dzy oddziaływaniem elektromagnetycznym a grawitacyjnym ? według teorii KK mo?na matematycznie zamieni? pi?ty wymiar z dowolnym innym, a rownania teorii nie powinny si? zmieni?.

Rownanie Einsteina [ edytuj | edytuj kod ]

Rownanie pola w standardowej ogolnej teorii wzgl?dno?ci ma posta?:

${\displaystyle G^{\mu \nu }=8\pi T^{\mu \nu }}$ ? gdzie ${\displaystyle \mu }$ i ${\displaystyle \nu }$ przebiegaj? 4 standardowe wymiary.

W teorii pi?ciowymiarowej mo?na udowodni?, ?e rownanie to jest konsekwencj? warunku, ?e czasoprzestrze? pi?ciowymiarowa jest płaska w sensie krzywizny Weila ^{[ potrzebny przypis ]} .

?Wie?a cz?stek” [ edytuj | edytuj kod ]

Ka?dej cz?stce mo?na nada? p?d w dowolnym kierunku. Skoro istnieje pi?ty wymiar, to powinno si? da? tak?e rozp?dzi? cz?stki w dodatkowym pi?tym kierunku. Oznacza to, ?e dla ka?dej cz?stki powinny istnie? dodatkowe bli?niacze cz?stki obdarzone ładunkiem elektrycznym. Istnieje zatem niesko?czenie wiele cz?stek elementarnych ro?ni?cych si? ładunkiem i o takich samych wszystkich pozostałych własno?ciach. Taka konstrukcja jest zwana ?wie?? Kaluzy-Kleina”. Poszukiwania tych dodatkowych cz?stek mog? słu?y? za test prawdziwo?ci teorii.

Przypisy [ edytuj | edytuj kod ]

Linki zewn?trzne [ edytuj | edytuj kod ]

Polskoj?zyczne

• ?Ukryte wymiary” (8 rozdz. ksi??ki Briana Greene’a ?Pi?kno Wszech?wiata. Superstruny, ukryte wymiary i poszukiwania teorii ostatecznej”)
• ?Od Kaluzy-Kleina do supergrawitacji” (opis matematyczny)

Angloj?zyczne

• kolaboracja CDF, Search for Extra Dimensions using Missing Energy at CDF (2004) ( ang. )
• John M. Pierre, SUPERSTRINGS! Extra Dimensions (2003, j?zyk angielski).
• TeV scale gravity, mirror universe, and ... dinosaurs Artykuł Z.K. Silagadze z Acta Physica Polonica Acta Physica Polonica B ( ang. )
• Kaluza-Klein Theory in Perspective ( ang. )
• Brian Greene o teorii strun (TED Talks)