Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł nale?y uzupełni? o istotne informacje : rozbudowa? o przypadek elipsy. Po wyeliminowaniu niedoskonało?ci nale?y usun?? szablon {{Dopracowa?}} z tego artykułu.

Pr?dko?? orbitalna ? pr?dko?? , z jak? porusza si? ciało po orbicie .

Orbita kołowa [ edytuj | edytuj kod ]

Na orbicie kołowej orbituj?ce ciało o masie niewielkiej w porownaniu z mas? ciała centralnego porusza si? po okr?gu o ?rodku w ?rodku obieganego ciała. W ruchu tym sił? do?rodkow? jest siła grawitacji , zatem:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

i dlatego

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}},}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ ? stała grawitacyjna ,

${\displaystyle M}$ ? masa ciała okr??anego, np. planety,

${\displaystyle m}$ ? masa ciała kr???cego, np. statku kosmicznego,

${\displaystyle r}$ ? promie? orbity,

${\displaystyle v}$ ? pr?dko?? orbitalna.

Inny sposob wyprowadzenia wzoru opisano poni?ej:

Pewne ciało znajduje si? na powierzchni pewnego ciała niebieskiego . Odległo?? od jego ?rodka wynosi ${\displaystyle R.}$ Ciało to porusza si? z pewn? pr?dko?ci? ${\displaystyle v,}$ w kierunku prostopadłym do prostej ł?cz?cej ?rodki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu ${\displaystyle dt,}$ ciało przebywa niewielk? drog? ${\displaystyle ds,}$ w wyniku czego wysoko?? ciała zmieni si? o ${\displaystyle dh}$ od ?rodka ciała niebieskiego, tak wi?c odległo?? od jego ?rodka wynosi wowczas ${\displaystyle R+dh.}$ Punkty: pocz?tkowego poło?enia ciała, ko?cowego poło?enia ciała oraz ?rodka ciała niebieskiego, s? wierzchołkami trojk?ta prostok?tnego . Korzystaj?c z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktow:

${\displaystyle R^{2}+(ds)^{2}=(R+dh)^{2}.}$

Przebywaj?c drog? ${\displaystyle ds,}$ ciało spada o ${\displaystyle dh.}$ Zadanie polega wi?c na wyznaczeniu pr?dko?ci ${\displaystyle v,}$ z jak? ciało ma si? porusza?, co sprowadza si? do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi by? rowny czasowi spadania z wysoko?ci tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało si? w takiej samej odległo?ci od ciała niebieskiego, dzi?ki czemu jego tor ruchu b?dzie okr?giem. Wysoko?? od ciała niebieskiego ${\displaystyle h,}$ na ktorej znajduje si? ciało, z ktorej upada ono na powierzchni? po upływie czasu ${\displaystyle t,}$ dla zaniedbywalnie małych wysoko?ci, wyra?a si? wzorem:

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}at^{2},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym wyst?puj?cym w miejscu gdzie znajduje si? orbituj?ce ciało.

Wzor ten jest tym bardziej prawdziwy dla ro?niczek wysoko?ci ${\displaystyle dh}$ i czasu ${\displaystyle dt,}$ gdy? ro?niczka wysoko?ci d??y do 0, a wi?c ${\displaystyle dh\to 0,}$ jest wi?c zaniedbywalnie mała.

${\displaystyle dh={\frac {1}{2}}a(dt)^{2}.}$

Podstawiaj?c za ${\displaystyle dh}$ powy?szy wzor do otrzymanej zale?no?ci wynikaj?cej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

${\displaystyle R^{2}+(ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}.}$

Od obu stron rownania odejmujemy ${\displaystyle R^{2}}$

${\displaystyle (ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}.}$

W ruchu jednostajnym pr?dko?? jest pochodn? przebytej drogi po czasie:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$

Obie strony rownania podnosimy do kwadratu.

${\displaystyle v^{2}=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\frac {(ds)^{2}}{(dt)^{2}}}.}$

Podstawiaj?c za ${\displaystyle (ds)^{2}}$ powy?szy wzor, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}v^{2}&={\frac {\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {R^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}+aR.\end{aligned}}}$

Poniewa? ${\displaystyle dt\to 0,}$ wi?c ${\displaystyle {\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}\to 0.}$ Ostatecznie otrzymujemy:

${\displaystyle v^{2}=aR.}$

Pierwiastkujemy obie strony rownania:

${\displaystyle v={\sqrt {aR}}.}$

Warto?? przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczy? mo?na z zale?no?ci:

${\displaystyle a={\frac {GM}{R^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ ? stała grawitacji,

${\displaystyle M}$ ? masa ciała niebieskiego.

Podstawiaj?c za ${\displaystyle a}$ powy?sz? zale?no??, otrzymujemy ostatecznie wzor na pierwsz? pr?dko?? kosmiczn?:

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {GM}{R^{2}}}\cdot R}},}$

${\displaystyle v_{I}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}.}$

Pr?dko?? orbitaln? na orbicie kołowej mo?na te? wyznaczy?, znaj?c okres obiegu i promie? orbity

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}},}$

gdzie:

${\displaystyle T}$ ? okres orbitalny .

Orbita eliptyczna [ edytuj | edytuj kod ]

W przypadku orbity eliptycznej pr?dko?? orbitalna ciała zmienia si? wzdłu? orbity i jest najwi?ksza w perycentrum , a najmniejsza w apocentrum orbity. Warto?? tej pr?dko?ci w dowolnym punkcie orbity mo?na wyznaczy? z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii .