Tallteori
er en gren av
ren matematikk
, og kan beskrives som læren om de naturlige tallene (1, 2, 3, 4, 5, ...). Nar vi snakker om
tall
i tallteori er det altsa de naturlige tallene vi mener. Opp gjennom historien har mennesker latt seg fascinere av tallene og de ulike egenskapene og sammenhengene mellom tallene. Mange av de egenskapene ved tallene som man studerer i moderne tallteori gar helt tilbake til de greske matematikerne i
antikkens Hellas
.
Grekerne gjorde store oppdagelser innenfor
geometrien
, men de leverte ogsa viktige bidrag til tallteorien.
Euklids
Elementer
omhandler i første rekke geometri, men bok 7, 8 og 9 (av totalt 13) handler om tallteori. Her finner vi blant annet
Euklids algoritme
, som brukes for a finne den største felles faktoren til to tall. Dette regnes som en av de viktigste grunnleggende teoremene i tallteori. Her finner vi ogsa et bevis for at det fins uendelig mange
primtall
, og
Euklid
presenterer ogsa en variant av
aritmetikkens fundamentalteorem
.
Den store tallteoretikeren i det gamle
Hellas
var utvilsomt
Diofant
. Vi vet veldig lite om hans liv, men han levde antageligvis i
Alexandria
omkring ar 250 e.Kr. Hovedverket hans var
Arithmetika
, som er nesten fullstendig bevart (10 av 13 bøker er kjent).
I
India
finner vi en av
middelalderens
store tallteoretikere, Bhaskara II (1114?1185). Slik tradisjonen var i India, ble alle hans bøker utgitt i poetisk form, og en av hans viktigste bøker var dedisert til datteren Lilavati i form av et matematisk problem.
Kinesisk matematikk var ogsa pa høyden i middelalderen, og her finner vi viktige tallteoretiske resultater. Kinesiske matematikere sto blant annet for klassifiseringen av alle
pytagoreiske tripler
. Kongruensproblemer var ogsa viktige i den kinesiske matematikken. Pascals trekant brukes innenfor ulike omrader av matematikken, og kineserne var blant de aller første som oppdaget denne. Kineserne brukte blant annet trekanten i sine ligningsteorier. Ogsa araberne var tidlig ute med studier av Pascals trekant, og de var ogsa blant de første som brukte induksjon. Ellers var ikke arabiske matematikere sa opptatt av tallteori.
Pa 1600-tallet møter vi
Pierre de Fermat
, og hans arbeider markerer starten pa den moderne tallteorien. Han var
jurist
av yrke, men likevel blir han regnet som en av tidenes største matematikere. Han leverte viktige bidrag til flere grener av matematikken, og han regnes blant annet som en av opphavsmennene til
analytisk geometri
og
sannsynlighetsregning
. Likevel var det først og fremst innenfor tallteorien han leverte sine viktigste bidrag. Dagens tallteoretikere arbeider stadig med de ideene og problemene han etterlot seg. For eksempel ble det sakalte
Fermats siste teorem
først endelig bevist av matematikeren
Andrew Wiles
i 1994.
Alle
naturlige tall
som ikke er primtall kan
faktoriseres
i to eller flere faktorer. For eksempel sa er 12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3. Dersom et tall
a
kan skrives som et produkt av to tall
b
og
c
slik:
a
=
b
×
c
, sa sier vi at
b
og
c
er
faktorer
i tallet
a
.
Dette kan ogsa sies pa andre mater:
- b
gar opp i
a
- b
er en divisor i
a
- a
er delelig med
b
- a
er et multiplum av
b
Vi kan ogsa skrive dette helt kort som
b
|
a
.
Nar et tall ikke har andre faktorer enn 1 og seg selv, sier vi at tallet er et primtall. Disse tallene har fascinert matematikere i arhundrer. De ti første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Det kan være krevende a finne ut om et stort tall er primtall eller ikke, og dette er noe av arsaken til at primtall i var tid har blitt viktig innenfor
kryptering
.
Primtallene følger ikke etter hverandre i noe forutsigbart mønster slik som partall og oddetall gjør. Et av matematikkens uløste problemer er nettopp a finne noe mønster for nar primtallene dukker opp i tallrekken. Det er en stadig pagaende konkurranse i a finne det største primtallet, og dette er en aktivitet som aldri vil ta slutt. En av setningene i tallteorien sier nemlig at det er uendelig mange primtall.
Det er mange egenskaper ved tallene som tallteoretikere studerer, og mange av disse dreier seg om faktorene til et tall. Dersom vi summerer faktorene til et tall (for eksempel 1 + 2 + 3 = 6, der 1, 2 og 3 er faktorer i tallet 6), og denne summen blir mindre enn tallet selv, sa sier vi at dette er et
fattig tall
. Dersom summen av faktorene blir større enn tallet selv, sa sier vi at tallet er et
rikt tall
. Et tall hvor summen av faktorene er lik tallet selv ? slik som for tallet 6 ? kalles for et
perfekt tall
.
Analytisk tallteori tar i bruk metoder fra analysen for a behandle problemer vedrørende tall.
Primtallsteoremet
og den relaterte
Riemann-hypotesen
er eksempler pa dette. Warings problem (representere et gitt tall som en sum av potenser), hypotesen om tvilling-primtall (finne uendelig mange par av primtall med differanse 2) og Goldbachs hypotese (skrive partall som sum av to primtall) er eksempler pa problemer innenfor tallteorien hvor en ogsa har brukt analytiske metoder for a komme nærmere en løsning.
I algebraisk tallteori blir tallbegrepet utvidet til algebraiske tall (tall som er røtter av
polynomer
med rasjonale koeffisienter). I en slik setting er ikke nødvendigvis de kjente egenskapene til tallene lenger gyldige. En bruker her metoder fra
algebraen
(
Galois-teori
, teorier om
grupperepresentasjoner
og L-funksjoner osv.) for a komme nærmere en løsning
Mange problemer fra tallteorien blir forsøkt løst ved a studere dem
modulo
p
for alle primtall
p
. Dette kalles for lokalisering eller lokal analyse, og er et felt som gar ut fra den algebraiske tallteorien.
- Breiteig, Trygve og Venheim, Rolf (2005).
Matematikk for lærere 1.
(4. utgave utg.). Oslo: Universitetsforlaget.
ISBN
82-15-00761-9
.