Flattrykning eller elliptisitet er et mal pa hvor flattrykt en sirkel er langs en diameter slik at den tar formen til en ellipse . Tilsvarende definisjon gjelder for en flattrykt kule slik at den tar formen av en rotasjonsellipsoide med en kort akse og to like lange akser. En planet som er tilnærmet sfærisk i formen, vil bule utover langs ekvator pa grunn av sentrifugalkraften skapt av dens rotasjon.

For en ellipse med store halvakse a og mindre halvakse b defineres flattrykningen som

${\displaystyle f={a-b \over a}=1-{b \over a}}$

Den er forskjellig fra ellipsens eksentrisitet e som er gitt ved

${\displaystyle e^{2}=1-{b^{2} \over a^{2}}}$

Begge størrelsene gar mot null nar flattrykningen er liten. Den nøyaktige sammenhengen er

${\displaystyle e^{2}=2f-f^{2}}$

Dette gjelder for planeter som roterer om den korteste aksen. For de er a den ekvatoriale radius , mens b er den polare radius . Jorden har en flattrykning som i versjon WGS 84 av World Geodetic System er f = 1/298 , mens den er enda mindre for Manen og Solen . For Jupiter er den f = 1/16, mens den er f = 1/10 for Saturn .

Hvis man antar at massetettheten til planeten er konstant, kan effekten av rotasjonen nøyaktig beregnes. Hvis den har vinkelhastigheten ω = 2 π  / T hvor T er omløpstiden, vil den resultere i en flattrykning

${\displaystyle f={5\omega ^{2}a^{3} \over 4GM}}$

hvor G er gravitasjonskonstanten og M er planetens masse. Selv om antagelsen om konstant massetetthet gir et godt estimat for denne størrelsen, er fordelingen av masse i roterende planeter mer komplisert.

Fremstilling i polarkoordinater [ rediger | rediger kilde ]

Ved bruk av kartesiske koordinater ( x,y ) er ligningen for ellipsen

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$

For planeter er det vanligvis mer hensiktsmessig a benytte sfæriske koordinater . Men pa grunn av symmetrien om rotasjonsaksen, reduserer disse seg til polare koordinater ( r, φ ). Hvis vinkelen φ velges a angi breddegrad , er da

${\displaystyle x=r\cos \phi \;\;\;{\text{og}}\;\;\;y=r\sin \phi }$

Settes dette inn i ellipseligningen, kan resultatet skrives som

${\displaystyle r={a \over {\sqrt {1+k\sin ^{2}\phi }}}}$

hvor na flattrykningen opptrer i parameteren

${\displaystyle k={2f-f^{2} \over (1-f)^{2}}}$

Siden flattrykningen for planeter f << 1, vil man da med god nøyaktighet ha k = 2 f . Ligningen for den sammentrykte ellipsen forenkles dermed til

${\displaystyle r=a(1-f\sin ^{2}\phi )}$

Den polare radius for φ = 90 ^° kommer ut som a (1 - f ) = b som den skal. Planeten har samme form som en oblat sfæroide eller flattrykt rotasjonsellipsoide.

Litteratur [ rediger | rediger kilde ]

• D. Turcotte and G. Schubert, Geodynamics , Cambridge University Press, England (2002). ISBN 978-0-521-18623-0 .