In de wiskunde zegt men dat een verzameling een structuur heeft als er, behalve de begrippen uit de verzamelingenleer , nog andere begrippen op van toepassing zijn, zoals de afstand tussen de elementen van een verzameling, de som van elementen of hun volgorde .

Een gedeeltelijke lijst van mogelijke structuren is: maten , algebraische structuren , zoals groepen , lichamen of synoniem velden , enzovoort, topologieen , metrische ruimten , meetkunden , ordeningen , equivalentierelaties en differentiele structuren.

Soms is een verzameling uitgerust met meer dan een structuur. Dit stelt wiskundigen in staat deze verzameling op meer manieren te bestuderen. Bijvoorbeeld: een orde bepaalt een topologie. Een ander voorbeeld: als een verzameling zowel een topologie heeft als een groep is en deze twee structuren op een bepaalde manier aan elkaar gerelateerd zijn, is deze verzameling een topologische groep .

Afbeeldingen tussen verzamelingen die structuren behouden, zodat structuren in het domein worden afgebeeld op equivalente structuren in het codomein , zijn in vele gebieden van de wiskunde van bijzonder belang. Voorbeelden hiervan zijn homomorfismen , die algebraische structuren behouden, homeomorfismen , die topologische structuren behouden, en diffeomorfismen , die differentiele structuren behouden.

Voorbeeld: de reele getallen [ bewerken | brontekst bewerken ]

De verzameling van reele getallen kent verschillende standaardstructuren:

• een orde: van twee verschillende elementen in de verzameling is de ene groter of kleiner dan de andere.
• algebraische structuur : er zijn bewerkingen van vermenigvuldiging en optellen die deze verzameling tot een lichaam of veld maken.
• een maat: intervallen op de getallenlijn hebben een zekere lengte , die op veel van zijn deelverzamelingen kan worden uitgebreid tot de Lebesgue-maat .
• een metriek: tussen punten in een ruimte is hun afstand gedefinieerd.
• een topologie : er bestaat een notie van open verzamelingen .

Tussen deze standaardstructuren bestaan de volgende verbindingen:

• de orde en de metriek induceren ieder apart haar topologie (dezelfde).
• de orde en algebraische structuur maken het tot een geordend lichaam.
• de algebraische structuur en topologie maken het tot een lie-groep , een type van een topologische groep .