Een
transfiniet getal
is een
kardinaalgetal
of
ordinaalgetal
dat groter dan alle
eindige
getallen is, maar niet noodzakelijkerwijs wat
Georg Cantor
noemde "
absoluut oneindig
". De term
transfiniet
werd bedacht door Cantor, die sommige van de implicaties van het woord
oneindig
wilde vermijden, dit in verband met die
objecten
die niet
eindig
zijn. Weinig wiskundigen schrikken heden ten dage nog terug voor het begrip oneindigheid; het is nu algemeen aanvaard gebruik om aan transfiniete kardinaal- en ordinaalgetallen als "oneindig" te refereren. De term "transfiniet" blijft echter ook in gebruik.
De transfiniete ordinalen en kardinalen vallen niet samen, zoals de eindige ordinalen en kardinalen. De eerste transfiniete ordinaal wordt aangeduid met ω; hierop volgt ω+1, ω+2, ..., ω+ω = 2ω, 3ω, 4ω, ..., ωω = ω
2
, ω
3
, ..., ω
ω
, ...
De eerste transfiniete kardinaal is
(spreek uit:
alef
-nul), deze is de kardinaliteit van de
natuurlijke getallen
, en meer in het algemeen van alle
aftelbaar oneindige
verzamelingen.
heeft de volgende eigenschappen, voor
:
En, voor eindige
:
Om een grotere kardinale oneindigheid dan
te bereiken, moet men verheffen tot de macht
:
Het transfiniete getal
is de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, van de
gehele getallen
, van de rationale getallen en van de algebraische getallen.
Onder de
continuumhypothese
is
de kardinaliteit van de
reele getallen
, van de transcendente getallen, van de
complexe getallen
, van de punten op een rechte of een lijnstuk en ook van de punten in het heelal. Onder meer is dus:
Dan is
de kardinaliteit van de reele functies van een reele veranderlijke.
Voor
en volgende wordt interpretatie steeds lastiger.
Bronnen, noten en/of referenties