Modeltheorie
is een deelgebied van de
wiskundige logica
en de
wiskunde
dat handelt over de relaties tussen puur
formele
uitdrukkingen en hun betekenis. Het gaat in de modeltheorie om de bestudering van de relaties tussen de eigenschappen van een formele
theorie
en de eigenschappen van een ander wiskundig
systeem
. Modeltheorie bestudeert kortgezegd
wiskundige modellen
.
Het baanbrekend werk op dit gebied is in de jaren 1920 en 1930 verricht door
Kurt Godel
,
Thoralf Skolem
en
Alfred Tarski
.
De hedendaagse wiskunde en
wiskundige natuurkunde
maken intensief gebruik van de
abstracte algebra
, de
theoretische natuurkunde
maakt bijvoorbeeld gebruik van
Lie-algebra's
. Vakgebieden zoals de
algebraische getaltheorie
,
algebraische topologie
en de
algebraische meetkunde
passen algebraische methoden toe op andere gebieden van de wiskunde.
Representatietheorie
haalt ruwweg gesproken het 'abstracte' uit de 'abstracte algebra' en bestudeert de concrete kant van een gegeven
algebraische structuur
. Dit is verwant aan modeltheorie.
Tot de vroege successen van de modeltheorie behoren Tarski's bewijzen van
kwantoreliminatie
voor verschillende algebraisch interessante klassen, zoals de reele gesloten velden,
Booleaanse algebra
's en algebraisch gesloten velden van een gegeven karakteristiek. Door kwantoreliminatie kon Tarski laten zien dat de eerste-ordetheorieen van reeel gesloten en algebraisch gesloten velden en de eerste-ordetheorie van Booleaanse algebra's
beslisbaar
zijn, de Booleaanse algebra's classificeren tot op elementaire equivalentie en laten zien dat de theorieen van reeel gesloten velden en algebraisch gesloten velden van een gegeven karakteristiek uniek zijn. Verder gaf kwantoreliminatie een nauwkeurige beschrijving van definieerbare relaties op algebraisch gesloten velden als algebraische varieteiten en van de definieerbare relaties op reeel-gesloten velden als semialgebraische verzamelingen.
In de jaren 1960 leidde de introductie van de ultraproductconstructie tot nieuwe toepassingen in de algebra. Dit omvat Ax's werk over pseudo-eindige velden, dat bewijst dat de theorie van eindige velden beslisbaar is, en Ax en Kochen's bewijs van een speciaal geval van Artin's conjectuur over
diofantische vergelijkingen
. Dit staat bekend als de
stelling van Ax-Kochen
. De ultraproductconstructie leidde ook tot
Abraham Robinson
's ontwikkeling van
niet-standaard analyse
, die tot doel heeft een rigoureuze calculus van infinitesimalen te bieden.
Het verband tussen stabiliteit en de meetkunde van definieerbare verzamelingen heeft geleid tot verschillende toepassingen in de
algebraische
en
diofantische meetkunde
, waaronder
Ehud Hrushovski
's bewijs uit 1996 van het meetkundige vermoeden van Mordell-Lang in alle karakteristieken. In 2001 werden vergelijkbare methoden gebruikt om een veralgemening van het vermoeden van Manin-Mumford te bewijzen. In 2011 paste
Jonathan Pila
technieken rond
o-minimaliteit
toe om het vermoeden van Andre-Oort voor producten van modulaire krommen te bewijzen.
In een apart deel van het onderzoek dat zich rond stabiele theorieen ontwikkelde, toonde Laskowski in 1992 aan dat
NIP-theorieen
precies die definieerbare klassen beschrijven die PAC-leerbaar zijn in de theorie van
machinaal leren
. Dit heeft geleid tot verschillende interacties tussen deze afzonderlijke gebieden. In 2018 werd de correspondentie uitgebreid toen Hunter en Chase lieten zien dat stabiele theorieen overeenkomen met online leerbare klassen.
Modeltheorie als onderwerp bestaat sinds ongeveer het midden van de 20e eeuw. De naam werd in 1954 bedacht door Alfred Tarski, een lid van de Lwow-Warschau school. Sommige eerdere onderzoeken, vooral in de wiskundige logica, worden echter achteraf vaak beschouwd als zijnde van modeltheoretische aard. Het eerste belangrijke resultaat in wat nu modeltheorie is, was een speciaal geval van de neerwaartse
stelling van Lowenheim-Skolem
, gepubliceerd door Leopold Lowenheim in 1915. De compactheidsstelling was impliciet in werk van Thoralf Skolem, maar het werd voor het eerst gepubliceerd in 1930, als een lemma in Kurt Godel's bewijs van zijn compleetheidsstelling. Het stelling van Lowenheim-Skolem en de compactheidsstelling kregen hun respectievelijke algemene vormen in 1936 en 1941 van
Anatoly Maltsev
. De ontwikkeling van modeltheorie als een onafhankelijke discipline werd op gang gebracht door Alfred Tarski tijdens het interbellum. Tarski's werk omvatte onder andere logische consequentie, deductieve systemen, de algebra van de logica, de theorie van definieerbaarheid en de semantische definitie van waarheid. Zijn semantische methoden culmineerden in de modeltheorie die hij en een aantal van zijn Berkeley-studenten in de jaren 1950 en 1960 ontwikkelden.
In de verdere geschiedenis van het vakgebied ontstonden verschillende stromingen en verschoof de focus van het onderwerp. In de jaren 1960 werden technieken rond ultraproducten een populair hulpmiddel in de modeltheorie. Tegelijkertijd onderzochten onderzoekers zoals
James Ax
de eerste-orde modeltheorie van verschillende algebraische klassen, en anderen zoals
H. Jerome Keisler
breidden de concepten en resultaten van de eerste-orde modeltheorie uit naar andere logische systemen.
Shelah
ontwikkelde de stabiliteitstheorie, geinspireerd door het
probleem van Morley
. Zijn werk rond stabiliteit gaf aanleiding tot een geheel nieuwe klasse van concepten. In de volgende decennia werd het duidelijk dat de resulterende stabiliteitshierarchie nauw verbonden is met de meetkunde van verzamelingen die definieerbaar zijn in die modellen. Dit gaf aanleiding tot de subdiscipline die nu bekend staat als meetkundige stabiliteitstheorie. Een voorbeeld van een bewijs uit de meetkundige modeltheorie is Hrushovski's bewijs van de
stelling van Mordell-Lang
voor functievelden.