Een
metrische tensor
is een
symmetrische tensor
van
type (0,2)
op een
gladde varieteit
. Dat wil zeggen dat in elk
punt
van deze
ruimte
, de metrische tensor een
symmetrische bilineaire vorm
bepaalt op de
raakruimte
:
De metrische tensor bepaalt de lokale meetkundige structuur van de varieteit volledig. Het kan onder meer een
riemann-varieteit
of een
lorentz-varieteit
betreffen. De
krommingstensor van Riemann
kan uit de metrische tensor afgeleid worden. De tensor is een entiteit op zichzelf, onafhankelijk van de gebruikte coordinaten. Een beschrijving in termen van coordinaten verandert dus bij een
coordinatentransformatie
.
Een metrische tensor op een eindig-dimensionale
vectorruimte
is in elk punt van de ruimte dezelfde symmetrische bilineaire vorm op de
raakruimte
, dus wordt door een bilineaire vorm op de ruimte zelf gegeven. Dit is enerzijds een bijzonder geval van een gladde varieteit, en is anderzijds van toepassing op elke raakruimte van een gladde varieteit.
Als
positief-definiet
is, dan is
een
inwendig product
, dus is de wortel een
norm
en een
metriek
in de strikte zin van een
metrische ruimte
. Er is dan een
basis
ten opzichte waarvan de
coordinatenruimte
de
euclidische ruimte
van de betreffende dimensie is, dus de metriek de euclidische metriek. Er geldt dan voor basisvectoren
, de
kroneckerdelta
. De
lengte van een kromme
in termen van de betreffende metriek is dan de lijnintegraal
. Dit kan worden genoteerd als
, met
de lengte van een lijnelement.
[1]
Een ander belangrijk geval is de
minkowski-ruimte
, dat is in de
speciale relativiteitstheorie
de ruimte van
positieviervectoren
met de bilineaire vorm
, hier met tijdachtige
tekenconventie
, dat wil zeggen dat de bilineaire vorm op een
wereldlijn
positief is. De metrische tensor is hier de
minkowskitensor
. Bij een tijdachtige scheiding geldt
, met
de
eigentijd
. Deze
is dus
lorentzinvariant
, ook bij een ruimteachtige scheiding.
De tweedimensionale variant is een vereenvoudigde versie van de minkowskitensor waarbij een tweedimensionaal
minkowski-diagram
duidelijk kan zijn. Er is symmetrie tussen de coordinaten
en
, in de zin dat bij verwisseling alleen het teken van de bilineaire vorm wisselt. Er is dus, wiskundig gezien, vergaande symmetrie tussen tijd en ruimte. Natuurkundig is er nog steeds het verschil dat een tijdachtige ruimtetijdkromme in principe een mogelijke wereldlijn van een object is, een andere kromme niet.
De driedimensionale variant is een meer geavanceerde, iets minder vereenvoudigde versie van de minkowskitensor, waarbij de ruimte een tijdas en twee ruimteassen heeft. Deze ruimte is gemakkelijker om zich voor te stellen dan de vierdimensionale ruimtetijd, maar wel voldoende om bepaalde eigenschappen en formules die in een tweedimensionale ruimtetijd niet voorkomen duidelijk te maken.
De metrische tensor is zoals gezegd gedefinieerd op een
gladde varieteit
, met
raakruimtes
, die
vectorruimtes
zijn, maar is zelf in het algemeen geen vectorruimte.
Bij een
riemann-varieteit
is de symmetrische bilineaire vorm op elke raakruimte
positief-definiet
, dus is iedere raakruimte een
metrische ruimte
. De
booglengte van een kromme
is weer de lijnintegraal
, of ook weer
, met
de lengte van een lijnelement. De afstand tussen twee punten kan dan in principe worden gedefinieerd als de lengte van de kortste kromme tussen de punten, waarmee de varieteit zelf een metrische ruimte wordt.
Verschillende andere meetkundige noties, zoals de
hoek
,
oppervlak
of
inhoud
,
kromming
, de
gradient
van een functie en
divergentie
van een
vectorveld
kunnen ook op een riemann-varieteit worden gedefinieerd.
Een voorbeeld is de
eenheidscirkel
in
. De raakruimte van
in een punt
is de raaklijn aan
in
. Als de
oorsprong
van de vectorruimte
nemen we het raakpunt
zelf. De metriek is die van de euclidische ruimte
, een deelverzameling van een metrische ruimte is met daarbinnen dezelfde afstanden zelf een metrische ruimte. De afstand tussen twee punten op de cirkel wordt nu gedefinieerd als de lengte van de kortste kromme langs de cirkel tussen de punten. Dit is een andere metriek dan rechtstreeks volgens de metriek van
.
De tensor heeft twee
covariante
indices, genoteerd als onderindices. Hij kan worden voorgesteld als een vierkante, niet-singuliere
symmetrische
-
matrix
, waarbij
de
dimensie
is van de ruimte, niet te verwarren met de dimensie van een eventuele hogerdimensionale ruimte waarin de ruimte ingebed wordt gedacht om de kromming te illustreren. De matrix is een functie van het punt in de ruimte. De componenten worden aangeduid met
, waarbij de indices
en
lopen van 1 tot en met
; in de relativiteitstheorie worden vaak Griekse letters voor de indices gebruikt. De componenten vormen dus een vierkante
-matrix. Ze zijn de waarden van de bilineaire vorm bij toepassing op twee
eenheidsvectoren
in een gegeven lokaal
coordinatenstelsel
, en dus afhankelijk van de keuze daarvan. In
einstein-
/tensornotatie is de bilineaire vorm
of
. In de natuurkunde geldt dat als
en
positieviervectoren
zijn,
de
dimensie
lengte in het kwadraat heeft. De dimensie van
is in het algemeen afhankelijk van
. De dimensie is bijvoorbeeld lengte of tijd, of het gaat bijvoorbeeld om een dimensieloze grootheid. Uit het voorgaande volgt dat de dimensie van
is: lengte in het kwadraat, gedeeld door de dimensie van de
'de coordinaat, en gedeeld door de dimensie van de
-de coordinaat (zie bijvoorbeeld de
schwarzschildmetriek
in
bolcoordinaten
). De notatie van covariante en contravariante indices sluit hierbij aan: een bovenindex betekent vermenigvuldigen met, een onderindex delen door de betreffende dimensie om de dimensie van het resultaat te bepalen. Bij toepassing op een positieviervector en zichzelf krijgen we
met dimensie lengte in het kwadraat. De metrische tensor kan niet alleen op positieviervectoren, maar ook op andere
viervectoren
worden toegepast, mede omdat de dimensies van de componenten van een viervector een vaste verhouding hebben met de dimensies van de componenten van de positieviervector. Voor bijvoorbeeld de
viersnelheid
van een object heeft
de dimensie van de
-de coordinaat van de positieviervector, gedeeld door tijd, en geldt
. De dimensie van een viervector
is de wortel van de dimensie van
.
, dus zonder de exponent -1, is de notatie voor de
inverse matrix
van de metrische tensor. Het
verhogen van de twee indices van een matrix
betekent echter alleen bij de metrische tensor het inverteren van de matrix. In het algemeen geldt voor een door een matrix gegeven tensor:
. Verder geldt
(dimensieloos).
De
metrische tensor in de relativiteitstheorie
is een symmetrische 4×4-matrix, die dus door 10 reele functies van de vier ruimtetijdvariabelen is gegeven.
Een lijnelement van een ruimtetijdkromme is tijdachtig als bij de
mostly minus conventie
(einsteinnotatie, dus de som over de indices) positief is. Anders gezegd: een ruimtetijdkromme is tijdachtig in een punt van de kromme als voor de
raaklijn
door dat punt aan de kromme geldt dat
positief is. Het lijnelement is 'lichtachtig' als
nul is. Het lijnelement is 'ruimteachtig' als
negatief is. Een ruimtetijdkromme is 'tijdachtig' enzovoort. als elk lijnelement dat is (in de andere formulering: als de ruimtetijdkromme dat in elk van zijn punten is). Een tijdachtige ruimtetijdkromme is in principe een mogelijke
wereldlijn
van een object, afhankelijk van de niet-gravitatiekrachten die erop werken. Een wereldlijn van een object waarop geen niet-gravitatiekrachten werken is niet alleen tijdachtig, maar ook een
geodeet
.
De lengte van een tijdachtige of ruimteachtige kromme is de lijnintegraal
, en is resp.
maal de
eigentijd
, of de eigenafstand (bij een riemann-varieteit kunnen de absolute-waardestrepen weggelaten worden en krijgen we
, de
afstand langs de kromme
). Bij een tijdachtige scheiding en een tijdachtige
tekenconventie
kan de metrische tensor dus beschreven worden met een notatie van de vorm
. Daarmee ligt de tensor vast en kan die ook worden toegepast bij een ruimteachtige scheiding.
[2]
Voor een gladde varieteit zijn niet altijd globale coordinaten mogelijk. Bij de genoemde integraal kan het coordinatenstelsel dus wisselen langs de kromme. Dit gebeurt zo dat de integraal eenduidig bepaald blijft, zie ook onder.
Voor de minkowskiruimte is er naast de tekenconventie en de conventie voor de positie van de coordinaat die de tijd representeert (op de eerste of laatste plaats) nog de keuze of deze inderdaad dimensie tijd heeft, en het diagonaalelement in absolute waarde de lichtsnelheid
in het kwadraat is, of dat deze dimensie lengte heeft, door de tijd te vermenigvuldigen met
, en het diagonaalelement in absolute waarde het dimensieloze getal 1 is.
wordt hier genoteerd
Een
coordinatentransformatie
met bijbehorende verandering van de matrix van grootheden
levert dezelfde
op, zodat de nieuwe matrix dezelfde meetkundige structuur bepaalt. Er geldt:
Dit komt neer op het toepassen van de metrische tensor op paren kolommen van de
jacobiaan
van de coordinatentransformatie, vergelijk de
jacobiaan bij overgang op poolcoordinaten
.
Voorbeeld: de
minkowskitensor
= diag (1,-1,-1,-1) gebruikt coordinaat
, terwijl
= diag (c
2
,-1,-1,-1) met coordinaat
dezelfde meetkundige structuur bepaalt. In dit geval heeft
de dimensie snelheid in het kwadraat en zijn
,
en
dimensieloos, zodat
zoals steeds de dimensie lengte in het kwadraat heeft.
In elk punt van het vlak met de gewone metriek is de metrische tensor het standaardinproduct op de raakruimte:
met
de hoek tussen
en
.
hangt dus niet van
af (de ruimte is vlak).
De keuze van de basis van de raakruimte kan echter wel van
afhangen. Zo geldt in
poolcoordinaten
(als eenvoudig voorbeeld van
kromlijnige coordinaten
)
waarbij de kolommen van de matrix de basisvectoren in de raakruimte in
zijn, en:
dat kortweg kan worden genoteerd
De matrix van waarden
is dus
en hangt dus van
af.
Het voorbeeld illustreert ook dat de dimensie van
afhankelijk kan zijn van
. Deze dimensies zijn hier lengte en dimensieloos. De dimensie van
is lengte in het kwadraat, gedeeld door de dimensie van de
-de coordinaat, en gedeeld door de dimensie van de
-de coordinaat, hier dimensieloos en lengte in het kwadraat.
De
christoffelsymbolen
worden als volgt gedefinieerd in termen van de metrische tensor:
De dimensie van
is de dimensie van de
-de coordinaat, gedeeld door de dimensie van de
-de coordinaat, en gedeeld door de dimensie van de
-de coordinaat.
Enkele speciale gevallen:
- hangt niet van het punt in de ruimte af. In dat geval geldt
.
- De ruimte is eendimensionaal. In dat geval geldt:
Voor een contravariante tensor
wordt de
covariante afgeleide
in de
-richting gegeven door
en voor een covariante tensor door
Enkele speciale gevallen:
- hangt niet van het punt in de ruimte af. In dat geval geldt
- De ruimte is eendimensionaal. In dat geval geldt: