Grondslagen van de wiskunde
zijn de aannames, de grondbeginselen en de uitgangspunten van de
wiskunde
. Grondslagenonderzoek is een deelgebied tussen de wiskunde en de
filosofie
, waar men deze fundamenten van de wiskunde bestudeert. Deze studie wordt tegenwoordig tot de
filosofie van de wiskunde
gerekend.
Er zijn vele bekende wiskundigen die sinds de 18e eeuw hebben gewerkt aan het leggen van de fundamenten van de moderne wiskunde, zoals
Leonhard Euler
,
Georg Cantor
,
Richard Dedekind
,
Gottlob Frege
,
Giuseppe Peano
en
Bertrand Russell
.
In de 18e eeuw heeft
Leonhard Euler
het
Euler-diagram
geintroduceerd om logische
syllogismen
aanschouwelijk te maken. In de 19e eeuw heeft
Georg Cantor
de basis gelegd van de moderne
verzamelingenleer
. Hij heeft deze leer uitgebreid met het begrip
transfiniet
en de
kardinaal-
en
ordinaalgetallen
. Cantor heeft verder gewerkt aan de representatie van functies door middel van een
goniometrische
reeksen
, een generalisatie van de
Fourierreeks
.
Richard Dedekind
(1831-1916) heeft gewerkt aan de beginselen van de
getaltheorie
. Hij kwam met een nieuwe definitie van de irrationale getallen, dat de
rekenkunde
gebaseerd kon worden op een verzameling
axioma
's.
Eind 19e eeuw legde
Gottlob Frege
(1848-1925) de fundamenten van de moderne,
wiskundige logica
en de
analytische filosofie
.
Giuseppe Peano
(1858-1932) werkte verder aan de formele beschrijving van de
rekenkunde
.
Begin 20e eeuw hield
Bertrand Russell
(1872-1970) zich bezig met onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde. Zijn voornaamste werk hierover is de
Principia Mathematica
(1910-1913), dat hij samen met
Alfred North Whitehead
(1861-1947) schreef en een poging was om de wiskunde te funderen op de symbolische
logica
.
In de eerste helft van de 20e eeuw heeft zich een nieuwe generatie wiskundigen gestort op het onderzoeken van de grondslagen als reactie op de paradoxen van de verzamelingenleer. Bekende wiskundigen waren de Zwitser
Paul Bernays
(1888-1977), de Nederlander
L.E.J. Brouwer
(1888-1966), de Duitser
David Hilbert
(1862-1943) en de Oostenrijks-Britse
Ludwig Wittgenstein
(1889-1951).
In Nederland waren op dit gebied
Evert Willem Beth
,
Arend Heyting
en
Gerrit Mannoury
en meer recentelijk de Fin
Jouko Vaananen
actief.
In het begin van de 20e eeuw leek de
verzamelingenleer
van Cantor de basistheorie van de gehele wiskunde te worden, waarmee alle andere takken van de wiskunde in verband gebracht zouden worden. De verzamelingenleer bleek echter tot paradoxen te leiden. Die zijn bekend geworden als de
paradoxen
van de
verzamelingenleer
. Deze paradox kwam naar voren toen men zich de
verzameling van alle verzamelingen
trachtte voor te stellen.
Men kan hierbinnen twee deelverzamelingen definieren:
- Verzamelingen die zichzelf niet als element hebben
- Verzamelingen die zichzelf wel als element hebben.
De verzameling van ALLE deelverzamelingen van de eerste soort heeft een paradoxale eigenschap. Als deze verzameling zichzelf niet als element heeft, zou hij juist wel een element van zichzelf moeten zijn. Hierdoor leek iedere verdere gevolgtrekking onmogelijk gemaakt (Combres 1973, p.16).
Deze problematiek is in 1901 door Bertrand Russell gepresenteerd en wordt nu ook wel de
Russellparadox
genoemd. Deze
paradox
heeft het grondslagenonderzoek lange tijd in z'n ban gehouden. Sindsdien is men ook andere paradoxen gaan onderzoeken.
Het grondslagenonderzoek in de 20e eeuw heeft verschillende stromingen opgeleverd, die een oplossing van het probleem van de paradoxen van de
verzamelingenleer
voorstelden:
- Cantorisme: In navolging van
Georg Cantor
willen zij de wiskunde grondvesten op de
verzamelingenleer
. Er wordt uitgegaan van het bestaan van
oneindige verzamelingen
en
transfiniete getallen
.
- Constructivisme
: Zij stelt dat het enige geldige bewijs van het bestaan van een
wiskundig object
een constructie van dat object is.
- Formalisme
:
Giuseppe Peano
en
David Hilbert
willen de wiskunde grondvesten op strenge axiomastelsels. Voor alle wiskundige begrippen willen zij een consistent axiomasysteem ontwikkelen.
- Logicisme
: de voormannen van deze stroming,
Gottlob Frege
en
Bertrand Russell
, wilden de wiskunde reduceren tot de logica.
- Intuitionisme
: Zij stellen, dat
wiskundige objecten
worden geconstrueerd in de menselijke geest en alleen hier intuitief bestaan.
L.E.J. Brouwer
en
Arend Heyting
waren hiervan de belangrijke vertegenwoordigers.
Vanaf de jaren twintig waren de geleerden het enige decennia lang grondig met elkaar oneens over de vraag wat de precieze fundamenten van de wiskunde zijn en wat geldig is in de wiskunde. Dit is bekend geworden als de grondslagencrisis in de wiskunde (Duits:
Grundlagenkrise der Mathematik
). Het idee dat de wiskunde maar een basis had die in de wiskunde zelf vastlag, werd bestreden.
Verschillende stromingen bleven werken aan hun eigen invalshoeken en hebben elkaars standpunten fel bestreden. Deze tijd wordt wel die van de grondslagenstrijd genoemd. In de jaren 1950 is er een compromis bereikt, waarbij verschillende gezichtspunten mogelijk blijven.
- L.E.J. Brouwer
(1907)
Over de grondslagen der wiskunde
.
- Evert Willem Beth
(1959).
The foundations of mathematics. A study in the philosophy of science
, Amsterdam: Standaard Boekhandel.
- Michel Combres (1971).
Fondements des Mathematiques
, Paris. Vertaald als
Grondslagen van de wiskunde
, Aulapocket 502, Utrecht: Het spectrum, 1973.
- David Hilbert
&
Paul Bernays
(1968).
Grundlagen der Mathematik, I-II
, Berlin, Heidelberg, New York.
- Alfred North Whitehead
and
Bertrand Russell
(1910-13).
Principia Mathematica
, 3 vols, Cambridge: Cambridge University Press.
- Ludwig Wittgenstein
(1984).
Bemerkungen uber die Grundlagen der Mathematik
, Suhrkamp, Frankfurt am Main.