Plot van de functie
![{\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}/}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f615e7a0203cbfc1b113546b2acddb795f424ad)
,
waarbij de
kleur
het argument en de
helderheid
de modulus van een waarde weergeeft.
Mandelbrotverzameling
Functietheorie
,
complexe functietheorie
of
complexe analyse
is de theorie van
complexe functies
. Het is een van de klassieke takken van de
wiskunde
. Als uitbreiding op de
reele getallen
wordt in de functietheorie, hoewel dat niet uit het woord blijkt, dus met
complexe getallen
gerekend. De functietheorie is van groot nut in vele takken van de wiskunde, waaronder de
getaltheorie
en de
toegepaste wiskunde
.
De belangrijkste
functies
in het complexe vlak die bestudeerd worden zijn bijna overal
differentieerbaar
. De
reele
en
imaginaire delen
van iedere analytische functie voldoen aan de
cauchy-riemann-differentiaalvergelijkingen
.
In tegenstelling tot de reele
analyse
, waar de
variabele
meestal
wordt genoemd, wordt in de functietheorie de complexe variabele
genoemd. De variabelen
en
staan voor het reele en imaginaire deel van
.
De functietheorie heeft haar wortels in het werk van de
18e-eeuwse
wiskundige
Euler
. Grote bijdragen zijn geleverd door
Gauss
,
Riemann
,
Cauchy
,
Weierstrass
en nog door velen in de
20e eeuw
. De theorie van de hoekgetrouwe of conforme afbeeldingen, heeft vele natuurkundige toepassingen. Zij wordt ook veel gebruikt in de
analytische getaltheorie
. De complexe analyse heeft een nieuwe impuls gekregen door de
complexe dynamica
en de plaatjes van
fractals
. Een andere belangrijke toepassing vindt de functietheorie in de
snaartheorie
, een conforme invariante
kwantumveldentheorie
. De functietheorie wordt bijvoorbeeld in de
signaalanalyse
en de
energietechniek
gebruikt.
Een
complexe functie
is een functie waarbij de
variabelen
en de daarbij horende
functiewaarde
beide complexe getallen zijn. Om precies te zijn is een complexe functie een functie, waarvan zowel het
domein
als het
bereik
een
deelverzameling
zijn van het
complexe vlak
.
Voor een willekeurige complexe functie kunnen zowel de variabele als daarbij horende functiewaarde in een
reeel
en
imaginair deel
worden gescheiden:
en
![{\displaystyle w=f(z)=u(z)+iv(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3eb7d5c4134d97920ade2ecef0745af51ca5b1)
waar
en
reeelwaardige functies
zijn.
De elementaire reele functies, zoals
polynomen
,
exponentiele functies
,
logaritmen
en
goniometrische functies
, kunnen in de functietheorie op dezelfde manier worden gebruikt. Het is dan wel een voorwaarde dat wanneer de variabele
reeel wordt gekozen, de functiewaarde dezelfde is als bij de oorspronkelijk reele functie.
Afgeleiden en de Cauchy-Riemann-differentiaalvergelijkingen
[
bewerken
|
brontekst bewerken
]
Net als in de reele analyse kan een
gladde functie
een
afgeleide
op een bepaald
punt
in haar domein
hebben. De definitie van de complexe afgeleide
![{\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa0fd60f47a86e839b8d2155bb4f91e70c6f4da)
lijkt veel op de reele afgeleide, maar er is een belangrijk verschil. De
limiet
kan in de
reele analyse
alleen worden benaderd door langs de
x-as
te bewegen, dus eendimensionaal. In de functietheorie kan de limiet worden benaderd vanuit elke richting in het
complexe vlak
, en voor het bestaan van de afgeleide moet de limiet in alle richtingen hetzelfde zijn, dus ongeacht de richting dat
naar 0 nadert. Differentieerbaarheid van een complexe functie is dus een zwaardere eis dan voor reeelwaardige functies.
Als de limiet, de afgeleide, voor ieder punt
bestaat, zegt men dat
differentieerbaar op Ω is. Het kan worden aangetoond dat een willekeurige differentieerbare functie
analytisch
is. In de berekening van de reele getallen kan een functie worden geconstrueerd die overal een eerste afgeleide heeft, maar waarvoor de tweede afgeleide in een of meer punten in het domein van deze functie niet bestaat. Aan de andere kant: als een functie eenmaal differentieerbaar is in een
omgeving
in het
complexe vlak
, dan is deze functie in diezelfde omgeving ook oneindig differentieerbaar.
Een complexe functie
kan ontleed worden in:
,
waarin
![{\displaystyle z=x+iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e90bb6b36fef59c6113eed2a08f10d77240741)
en
.
Door toepassing van de methoden van de
vectoranalyse
op de
partiele afgeleiden
van de twee reele functies
en
, kan worden aangetoond dat het bestaan van de
afgeleide
van
impliceert dat
![{\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683baf82fc20ca3a3d96962a24d0b5bef9f71cb1)
Daaruit volgt dat de
cauchy-riemann-differentiaalvergelijkingen
moeten gelden:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e296795d8858e10e7d4ded55021bf55ffa50c7)
of in andere notatie,
![{\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad u_{y}=-v_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a32eccc5da2eb419949ee0d86713ed501e2fbf)
Door differentieren van dit systeem van twee
partiele differentiaalvergelijkingen
respectievelijk naar
en naar
, kan worden aangetoond dat
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c80eed07650de0d084f57b962a8b9a53155d343)
of in een andere gebruikelijker notatie,
![{\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa702112fe9173706500aab094e10e920944d9ca)
Met andere woorden, het reele en het imaginaire deel van een differentieerbare functie van een complexe variabele zijn
harmonische functies
, omdat zij aan de
laplace-vergelijking
voldoen.
Holomorfe functies zijn complexe functies die op een
open deelverzameling
van het
complexe vlak
zijn gedefinieerd en die
differentieerbaar
zijn. Complexe differentieerbaarheid heeft veel sterkere consequenties dan de gewone (reele) differentieerbaarheid. Holomorfe functies zijn bijvoorbeeld oneindig vaak differentieerbaar, een eigenschap die zeker niet geldt voor differentieerbare reele functies. De meeste elementaire functies, met inbegrip van de
exponentiele functie
, de
goniometrische functies
en alle
polynomen
, zijn holomorf.
Een complexe functie die gedefinieerd is op een open deelverzameling van het complexe vlak en die, behalve in een aantal geisoleerde punten, differentieerbaar is, wordt
meromorf
genoemd. De punten waarin een meromorfe functie niet differentieerbaar is, zijn de
polen
van de functie.
Een functie die in het hele complexe vlak kan worden gedifferentieerd, heet
geheel
.
Een centraal instrument in de functietheorie is de
lijnintegraal
. De
integraal
langs een gesloten
pad
van een functie die overal in het omsloten gebied kan worden gedifferentieerd, is volgens de
integraalformule van Cauchy
altijd gelijk aan nul.
De functietheorie kan worden gebruikt om van twee soorten reele integralen de waarde te berekenen: voor
oneigenlijke integralen
, dan is het
domein
van de te berekenen integraal onderdeel van het gekozen pad, en voor begrensde integralen met een
sinus of cosinus
in de noemer, dan wordt na een
substitutie
het gekozen pad een complexe cirkel. Met de
residuenstelling
en de waarde van de
residuen
binnen de complexe kringintegraal kan de gegeven integraal worden berekend. De te integreren functie kan rondom een singulariteit door een
laurentreeks
worden benaderd. Het residu in de singulariteit is dan gelijk aan de
coefficient
van het product
in deze reeksontwikkeling. Het opmerkelijke gedrag van holomorfe functies in de buurt van essentiele singulariteiten wordt door de
stelling van Picard
beschreven.
De stelling van Liouville kan worden gebruikt om de
hoofdstelling van de algebra
te
bewijzen
, die stelt dat het
veld/lichaam
van de complexe getallen
algebraisch gesloten
is.
Een belangrijke eigenschap van holomorfe functies is dat, als een functie holomorf is over een
enkelvoudig samenhangend
domein, de waarden van deze functie volledig worden bepaald door de waarden ervan op een willekeurig kleiner subdomein. Van de functie op het grotere domein wordt gezegd dat deze functie
analytisch voortgezet
is van haar waarden op het kleinere domein. Dit maakt de uitbreiding van de definitie van functies mogelijk, zoals de
Riemann-zeta-functie
, die oorspronkelijk worden gedefinieerd in termen van oneindige sommen, die slechts op beperkte domeinen
convergeren
naar bijna het gehele complexe vlak. Soms, zoals in het geval van de
natuurlijke logaritme
, is het onmogelijk om een holomorfe functie analytisch voort te zetten naar een niet-enkelvoudig verbonden domein in het complexe vlak, maar is het wel mogelijk de functie uit te breiden naar een holomorfe functie op een nauw verwant oppervlak, dat bekend staat als een
riemann-oppervlak
.
Dit alles heeft betrekking op de functietheorie in een variabele. Er bestaat ook een zeer rijke theorie van de
functies met meer dan een complexe variabele
, waar bijvoorbeeld de
machtreeks
nog steeds kan worden gebruikt, terwijl de meeste van de meetkundige eigenschappen van holomorfe functies in een complexe dimensie, zoals
hoekgetrouwheid
, niet voorkomen. Een voorbeeld is de
afbeeldingstelling van Riemann
over de hoekgetrouwe relatie van zekere domeinen in het complexe vlak, misschien wel het belangrijkste resultaat in de eendimensionale theorie, deze geldt dus niet voor hogere
dimensies
.
Een
mobius-transformatie
is een
rationale functie
van de vorm
![{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1c54bc9fa6c6e6c9a0bf18de3e62b22fc8e08d)
Hierin zijn de coefficienten
complexe getallen die voldoen aan de relatie
. Mobius-transformaties zijn naar
Mobius
genoemd en worden in de
meetkunde
gebruikt.
De
complexe vermenigvuldiging
leent zich er in
twee dimensies
goed voor om meetkundige
rotaties
weer te geven. Die kunnen in drie dimensies dan weer met
quaternionen
worden weergegeven.