Deel van een serie artikelen over Wiskunde
Formules van een stochastisch proces
??? Kwantiteit ???
Complex getal · Geheel getal · Natuurlijk getal · Oneindigheid · Reeel getal · Rekenkunde
??? Structuur en ruimte ???
Algebra · Functie · Getaltheorie · Goniometrie · Groepentheorie · Meetkunde · Topologie
??? Verandering ???
Analyse · Chaostheorie · Differentiaalrekening · Dynamische systemen · Vectoren
??? Toegepaste wiskunde ???
Discrete wiskunde · Grafentheorie · Informatietheorie · Kansrekening · Statistiek · Wiskundige natuurkunde
Portaal Wiskunde

Algebraische meetkunde is een deelgebied van de wiskunde dat technieken uit de abstracte algebra , vooral de commutatieve algebra , combineert met de taal en de problemen van de meetkunde . Algebraische meetkunde neemt een centrale plaats in de moderne wiskunde in en heeft verschillende verbindingen met uiteenlopende gebieden als de functietheorie , topologie en getaltheorie . Als er meer dan een variabele is, komt de meetkunde eraan te pas. Het onderwerp van de algebraische meetkunde is het oplossen van vergelijkingen , maar het gaat verder dan het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen . De betrokken vergelijkingen zijn niet noodzakelijk lineaire vergelijkingen , maar mogen ook polynomiale vergelijkingen in meer variabelen zijn. Het gaat er in de algebraische meetkunde zowel om om algemene methoden te verzinnen, als om oplossingen voor specifieke problemen te vinden.

Het fundamentele studieobject in de algebraische meetkunde zijn algebraische varieteiten . Dat zijn wiskundige structuren die zijn bedacht bij het zoeken naar oplossingen van systemen van veeltermvergelijkingen . Algebraische vlakkrommen , waaronder lijnen , cirkels , parabolen , lemniscaten en ovalen van Cassini , vormen een van de best bestudeerde klassen van algebraische varieteiten. Een punt in het vlak behoort bij een algebraische kromme , indien zijn coordinaten voldoen aan een gegeven veeltermvergelijking. Fundamentele vragen gaan over de relatieve positie van de verschillende krommen en de relaties tussen de krommen, die door verschillende vergelijkingen gegeven worden.

De algebraische meetkunde vindt nu toepassing in de statistiek , de meet- en regeltechniek , de robotica , foutverbeterende codes , de fylogenetica en meetkundige modellering. Er zijn ook verbindingen naar de snaartheorie , de speltheorie , het matchen van grafen, solitonen en geheeltallige programmering . Google Scholar laat honderden studies over de algebraische meetkunde zien op de gebieden van de biologie, de scheikunde, de economie, de natuurkunde en natuurlijk ook in andere deelgebieden van de wiskunde.

Geschiedenis [ bewerken | brontekst bewerken ]

Voor de 19e eeuw [ bewerken | brontekst bewerken ]

Sommige van de fundamenten van de algebraische meetkunde gaan terug tot werk dat werd gedaan in het klassieke Griekenland uit de 5e eeuw v.Chr. Het Delische probleem bestond er bijvoorbeeld uit de zijde ${\displaystyle x}$ te construeren van de kubus met dezelfde inhoud ${\displaystyle a^{2}b}$ als de rechthoekige doos met zijden ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$. Menaechmus (ca. 350 v.Chr.) beschouwde het probleem meetkundig door de twee kegelsneden ${\displaystyle ay=x^{2}}$ en ${\displaystyle xy=ab}$ in het vlak met elkaar te snijden ^[1]

In het latere werk in de Hellenistische tijd (3e eeuw v.Chr.) van Archimedes en Apollonius werden problemen met kegelsneden op meer systematische wijze geanalyseerd, ^[2] waarbij zij al gebruikmaakten van coordinaten ^[1] De Arabische wiskundigen waren in staat louter door gebruik te maken van algebraische middelen bepaalde derdegraadsvergelijkingen op te lossen en de behaalde resultaten vervolgens meetkundig te interpreteren. Dit werd bijvoorbeeld in de 10e eeuw na Chr. door Ibn al-Haytham gedaan ^[3] Vervolgens ontdekte de Perzische wiskundige Omar Khayyam (geboren in 1048) de algemene methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen door een parabool te doorsnijden met een cirkel ^[4] Elk van deze vroege ontwikkelingen in de algebraische meetkunde hield zich bezig met vragen hoe de doorsneden van algebraische krommen te vinden en te beschrijven.

Dergelijke technieken om meetkundige constructies toe te passen op algebraische problemen werden ook door een aantal Renaissance wiskundigen, zoals Gerolamo Cardano en Niccolo "Tartaglia" , overgenomen bij hun studies van de derdegraadsvergelijking . De meetkundige, in plaats van algebraische benadering bij constructieproblemen werd voorgestaan door de meeste 16e- en 17e-eeuwse wiskundigen, zoals Blaise Pascal die zich tegen het gebruik van algebraische- en analytische methoden in de meetkunde uitsprak. ^[5] De Franse wiskundigen Francois Viete en later Rene Descartes en Pierre de Fermat brachten een revolutie teweeg in de conventionele manier van denken over constructieproblemen. Zij introduceerden de "coordinaten"-meetkunde . Ze waren in de eerste plaats geinteresseerd in de eigenschappen van algebraische krommen , zoals die worden gedefinieerd door diofantische vergelijkingen (in het geval van Fermat), en de algebraische herformulering van de klassieke Griekse werken over kegelsneden en kubusvormen (in het geval van Descartes).

In dezelfde periode benaderden Blaise Pascal en Girard Desargues de meetkunde vanuit een ander perspectief. Zij ontwikkelden de synthetische begrippen van de projectieve meetkunde . Pascal en Desargues bestudeerden ook krommen , maar vanuit een zuiver meetkundig gezichtspunt: het analogon van de klassiek Griekse constructie met passer en liniaal . Uiteindelijk won de analytische meetkunde van Descartes en Fermat, dit omdat de 18e eeuw wiskundigen van concrete kwantitatieve instrumenten voorzag die zij nodig hadden om de natuurkundige problemen met behulp van de nieuwe differentiaal- en integraalrekening van Newton en Leibniz te bestuderen. Aan het einde van de 18e eeuw, werd het grootste deel van het algebraische karakter van de "coordinaten"-meetkunde overgenomen door de infinitesimaalrekening van Lagrange en Euler .

Negentiende en vroege 20e eeuw [ bewerken | brontekst bewerken ]

Het idee van coordinaten volgens Rene Descartes staat in de algebraische meetkunde centraal, maar de notie van coordinaten heeft beginnend in de vroege 19e eeuw een reeks van opmerkelijke veranderingen ondergaan. Voor die tijd werd ervan uitgegaan dat coordinaten tupels van reele getallen waren, maar dit veranderde toen eerst complexe getallen , en later ook elementen van een willekeurig veld ook aanvaardbaar werden. Homogene coordinaten uit de projectieve meetkunde boden een uitbreiding van de notie van een coordinatenstelsel in een andere richting, en verrijkte de werkingssfeer van de algebraische meetkunde. Veel van de ontwikkeling van de algebraische meetkunde in de 20e eeuw kwamen tot uiting binnen een abstract algebraisch raamwerk, waar steeds meer nadruk werd gelegd op 'intrinsieke' eigenschappen van algebraische varieteiten, eigenschappen die niet afhankelijk zijn van een bepaalde wijze van inbedding van de varieteit in een ambiente coordinatenruimte ; dit komt overeen met parallelle ontwikkelingen in de topologie en de complexe meetkunde .

Er waren twee gelijktijdige 19e-eeuwse ontwikkelingen van de niet-euclidische meetkunde en de Abelse integralen voor nodig om de oude algebraische ideeen terug te brengen in de mainstream van de meetkundige wereld. De eerste van deze nieuwe ontwikkelingen werd door Edmond Laguerre en Arthur Cayley opgepakt. Zij probeerden de algemene metrische eigenschappen van projectieve ruimten vast te stellen. Cayley introduceerde het idee van homogene veeltermvormen, en meer specifiek kwadratische vormen over de projectieve ruimte.

Vervolgens bestudeerde Felix Klein de projectieve meetkunde (samen met andere soorten van meetkunde) vanuit het oogpunt dat de meetkunde op een ruimte is gecodeerd in een bepaalde klasse van transformaties op deze ruimte. Tegen het einde van de 19e eeuw bestudeerden projectieve meetkundigen algemene soorten transformaties op figuren in de projectieve ruimte.

In plaats van projectieve lineaire transformaties, die normaal werden gezien als de fundamentele Klein-meetkunde gevend op projectieve ruimte, hielden de projectieve meetkundigen zich ook met hogere graads birationale transformaties bezig. Deze zwakkere notie van congruentie zette leden van de 20e eeuw Italiaanse school van de algebraische meetkunde er later toe aan een poging te ondernemen om algebraische oppervlakken op en naar ("upto") birationaal isomorfisme te classificeren.

De tweede begin-19e-eeuwse ontwikkeling, die van de Abelse integralen , zou Bernhard Riemann aanzetten tot de ontwikkeling van de Riemann-oppervlakken .

Twintigste eeuw [ bewerken | brontekst bewerken ]

Bartel Leendert van der Waerden , Oscar Zariski , Andre Weil en anderen probeerden om een strikte basis voor de algebraische meetkunde te leggen, dit gebaseerd op de hedendaagse commutatieve algebra , waaronder de waarderingstheorie en de theorie van de idealen .

In de jaren 1950 en 1960 herschikten Jean-Pierre Serre en Alexander Grothendieck deze grondslagen. Een belangrijk onderscheid tussen de klassieke projectieve meetkunde van de 19e eeuw en moderne algebraische meetkunde, in de vorm die eraan werd gegeven door Grothendieck en Serre, is dat de klassieke projectieve meetkunde gericht is op de meer meetkundige notie van een punt , terwijl de moderne algebraische meetkunde de meer analytische concepten van een reguliere functie en een reguliere afbeelding benadrukt en zich daarbij uitgebreid baseert op de schoventheorie . Een ander belangrijk verschil ligt in de reikwijdte van het onderwerp. Grothendiecks idee van een schema biedt de taal en de hulpmiddelen voor een meetkundige behandeling van willekeurige commutatieve ringen en overbrugt, in het bijzonder, de verschillen tussen de algebraische meetkunde en de algebraische getaltheorie . Het bewijs van Andrew Wiles van de laatste stelling van Fermat is een voorbeeld van deze aanpak.

Andre Weil , Grothendieck en Pierre Deligne lieten zien dat de fundamentele ideeen van de topologie van gladde varieteiten diepe analogieen hebben in de algebraische meetkunde van eindige velden . Zij maakten hierbij gebruik van de schoventheorie . Later, vanaf ongeveer 1960, en grotendeels aangevoerd door Grothendieck, werd het idee van schema 's uitgewerkt, dit in samenhang met de zeer verfijnde apparatus van de homologische technieken . Na een decennium van snelle ontwikkeling stabiliseerde het veld zich in de jaren 1970. Nieuwe toepassingen werden gevonden, zowel in de getaltheorie als ook bij meer klassieke meetkundige vragen over algebraische varieteiten en moduli .

Een belangrijke klasse van varieteiten , die niet gemakkelijk direct valt te begrepen uit de definitie van haar vergelijkingen, zijn de abelse varieteiten , eigenlijk projectieve varieteiten, waarvan de punten een abelse groep vormen. Prototypische voorbeelden zijn de, een rijke theorie kennende elliptische krommen . Elliptische krommen waren instrumentaal in het bewijs van de laatste stelling van Fermat en worden tegenwoordig ook gebruikt in de cryptografie , die van elliptische krommen gebruikmaakt.

Terwijl een groot deel van de algebraische meetkunde zich bezighoudt met abstracte- en algemene uitspraken over varieteiten, zijn er ook methoden voor de effectieve berekening met concreet gegeven veeltermen ontwikkeld. De belangrijkste is de techniek van Grobner-basissen , die in alle computeralgebrasystemen worden gebruikt. Op basis van deze methoden kunnen verschillende oplossers alle oplossingen van een stelsel van veeltermvergelijkingen berekenen, waarvan de geassocieerde varieteit een dimensie nul heeft en dus uit een eindig aantal punten bestaat.

Nulpunten van stelsels polynomen [ bewerken | brontekst bewerken ]

De klassieke algebraische meetkunde richt zich vooral op de nulpunten van stelsels van polynomen , dus de verzameling van alle punten die voldoen aan een of meer polynoomvergelijkingen. Zo kan de tweedimensionale bol in de driedimensionale euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ worden gedefinieerd als een verzameling van alle punten ${\displaystyle (x,y,z)}$ die voldoen aan

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

De cirkel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ in het ${\displaystyle (x,y)}$-vlak met straal 1, kan worden gedefinieerd als de verzameling van alle punten ${\displaystyle (x,y,z)}$ die voldoen aan de twee polynoomvergelijkingen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

${\displaystyle z=0}$

Een kegelsnede is de verzameling nulpunten van een polynoom van de tweede graad in twee variabelen. Een kwadriek is de verzameling nulpunten van een polynoom van de tweede graad in drie variabelen. Een voorbeeld van een algebraische kromme van de derde graad is een elliptische kromme .

Algebraisch gesloten lichaam [ bewerken | brontekst bewerken ]

Het bestaan van oplossingen, en als ze bestaan de structuur van de nulpuntsverzameling, wordt sterk beinvloed door het getallenlichaam waarin de oplossingen a priori worden toegelaten. Dit is reeds duidelijk bij het zoeken naar nulpunten van polynomen in een veranderlijke. De vergelijking

${\displaystyle x^{2}-2=0}$

heeft twee oplossingen in de reele getallen , maar geen enkele in de rationale getallen . In twee veranderlijken heeft de vergelijking

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$

geen oplossingen, als ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ reeel verondersteld worden, maar een (complexe) cirkel als oplossing als complexe oplossingen worden toegelaten.

De algebraische meetkunde wordt overzichtelijker als men zich beperkt tot stelsels van vergelijkingen over algebraisch gesloten lichamen , zoals de complexe getallen . De studie van algebraische varieteiten over andere lichamen, bijvoorbeeld de reele algebraische meetkunde, kan dan worden opgevat als een voortgezette studie.

Affiene varieteit [ bewerken | brontekst bewerken ]

In de klassieke algebraische meetkunde was het getallenlichaam steeds het lichaam ${\displaystyle \mathbb {C} }$ van de complexe getallen. Veel van de resultaten gelden ook voor een willekeurig algebraisch gesloten lichaam ${\displaystyle K}$. De ${\displaystyle n}$-dimensionale affiene ruimte over ${\displaystyle K}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}(K)}$, of eenvoudigweg als ${\displaystyle K^{n}}$. Het doel van deze schijnbaar overbodige notatie is te benadrukken dat de vectorstructuur van ${\displaystyle K^{n}}$ even vergeten moet worden. In abstracte bewoordingen is ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}(K)}$ voor het moment slechts een verzameling punten. Voor het gemak wordt zelfs in het vervolg slechts ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$ genoteerd en de referentie aan het lichaam ${\displaystyle K}$ weggelaten.

Reguliere functies op een affiene ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$ zijn hetzelfde als polynomen over ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle n}$ variabelen. Na de keuze van een coordinatenstelsel kunnen de reguliere functies op ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$ geidentificeerd worden met de ring ${\displaystyle K[\mathbb {A} _{n}]}$ van polynomen in ${\displaystyle n}$ variabelen over ${\displaystyle K}$.

Voor een verzameling ${\displaystyle S}$ van polynomen in ${\displaystyle k[\mathbb {A} _{n}]}$ definieert men de deelverzameling ${\displaystyle V(S)}$ van alle punten in ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$ waarin elk polynoom in ${\displaystyle S}$ de waarde 0 heeft. In formule:

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbb {A} _{n}\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\ {\text{voor alle}}\ p\in S\}}$,

en noemt deze verzameling een affiene algebraische verzameling genoemd.

Een interessant vraagstuk is of bij een gegeven affiene algebraische verzameling ${\displaystyle V}$ van ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$, de verzameling ${\displaystyle S}$ van polynomen teruggevonden kan worden waarvoor ${\displaystyle V=V(S)}$.

Definieer daartoe voor een willekeurige deelverzameling ${\displaystyle W}$ van ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$, de verzameling polynomen ${\displaystyle I(W)}$ die ${\displaystyle W}$ als gemeenschappelijke nulpunten hebben, waarvoor dus ${\displaystyle W=V(I(W))}$:

${\displaystyle I(W)=\{p\in K[\mathbb {A} _{n}]\mid p(x)=0{\text{ voor alle }}x\in W\}}$

De verzameling ${\displaystyle I(W)}$ is een ideaal in ${\displaystyle k[\mathbb {A} _{n}]}$, want als twee polynomen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ beide verdwijnen op ${\displaystyle V}$, dan is ook ${\displaystyle p(x)=q(x)=0}$ voor alle ${\displaystyle x\in W}$ en als ${\displaystyle r}$ een willekeurig polynoom is, dan is ook ${\displaystyle (rp)(x)=0}$ voor alle ${\displaystyle x\in W}$.

De oplossing van het gestelde vraagstuk wordt gegeven door de introductie van de zogeheten Zariski-topologie , een topologie voor ${\displaystyle \mathbb {A} _{n}}$, die de algebraische structuur van ${\displaystyle K[\mathbb {A} _{n}]}$ weerspiegelt. Het blijkt dat ${\displaystyle W=V(I(W))}$ dan en slechts dan , als ${\displaystyle W}$ een gesloten verzameling is in de Zariski-topologie.

Een algebraische verzameling wordt irreducibel genoemd als ze niet de vereniging is van twee kleinere algebraische verzamelingen. Een irreducibele algebraische verzameling wordt een varieteit genoemd. Elke algebraische verzameling is een eindige vereniging van irreducible algebraische verzamelingen, en deze decompositie is uniek. De elementen van de decompositie worden de irreducible componenten van algebraische verzameling genoemd.

Het blijkt dat een algebraische verzameling alleen dan irreducibel is, als de polynomen die het definieren een priemideaal van de polynoomring voortbrengen.

Projectieve ruimte [ bewerken | brontekst bewerken ]

De varieteit ${\displaystyle V(y-x^{2})}$ is een parabool . Met toenemende waarden van ${\displaystyle z}$ zal de hellingshoek van de lijn door de oorsprong naar het punt ${\displaystyle (x,x^{2})}$ groter worden. Naarmate ${\displaystyle x}$ in waarde afneemt, wordt de hellingshoek van de lijn kleiner.

De varieteit ${\displaystyle V(y-x^{3})}$ is een derdegraadskromme . Naarmate ${\displaystyle x}$ in waarde toeneemt, wordt de hellingshoek van de lijn door de oorsprong naar het het punt ${\displaystyle (x,x^{3})}$ groter en groter. Maar afwijkend van wat er gebeurt bij een parabool wordt naarmate ${\displaystyle x}$ in waarde afneemt de hellingshoek van dezelfde lijn groter en groter. Het gedrag "op oneindig" van ${\displaystyle V(y-x^{3})}$ is verschillend van het gedrag "op oneindig" van ${\displaystyle V(y-x^{2}).}$ Wanneer men zich beperkt tot het werken in de affiene ruimte, is het echter moeilijk om het concept "op oneindig" een betekenisvolle inhoud te geven.

De remedie hiertegen is om in de projectieve ruimte te werken. De projectieve ruimte heeft eigenschappen die analoog zijn aan die van een compacte Hausdorff-ruimte . Naast andere dingen dwingt de projectieve ons om het begrip "op oneindig" concreet te maken door er extra punten in op te nemen. Het gedrag van een varieteit op die extra punten geeft ons dan meer informatie over die varieteit. Zo blijkt dat ${\displaystyle V(y-x^{3})}$ op een van deze extra punten een singulariteit heeft, maar dat ${\displaystyle V(y-x^{2})}$een gladde functie is.

Hoewel de projectieve meetkunde oorspronkelijk was gefundeerd op een synthetisch meetkundig fundament, stond het gebruik van homogene coordinaten de invoering van algebraische technieken toe. Verder heeft de invoering van projectieve technieken vele stellingen in de algebraische meetkunde eenvoudiger en scherper: de stelling van Bezout over het aantal snijpunten tussen twee varieteiten kan in zijn scherpste vorm bijvoorbeeld alleen in de projectieve ruimte worden gesteld. Om deze reden speelt de projectieve ruimte een fundamentele rol in de algebraische meetkunde.