In de algebraische meetkunde en de homologische algebra , deelgebieden van de wiskunde , zijn etale cohomologiegroepen van een algebraische varieteit of van een schema algebraische analoga van de gebruikelijke cohomologiegroepen met eindige coefficienten van een topologische ruimte . Het concept werd geintroduceerd door Alexander Grothendieck om zo de vermoedens van Weil te bewijzen . Etale cohomologietheorie kan worden gebruikt om ℓ -adische cohomologie te construeren, wat in de algebraische meetkunde een voorbeeld is van een Weil-cohomologietheorie . Dit heeft vele toepassingen, zoals het bewijs van de vermoedens van Weil en de constructie van representaties van eindige groepen van het Lie-type .

De fundamenten van deze theorie werden verder uitgewerkt door Grothendieck en Michael Artin . Grothendieck gebruikte etale cohomologie om een aantal van de vermoedens van Weil te bewijzen. Het overgebleven vermoeden werd bewezen door Pierre Deligne in 1974, gebruik maken van de ℓ -adische cohomologie. Dit was het analogon van de Riemann-hypothese.

Oorspronkelijk ontwikkelde Grothendiek de theorie in een extreem algemeen raamwerk, gebruik maken van Grothendieck-topoi en Grothendieck-universa. Achteraf gezien bleek een deel van deze middelen onnodig voor de meeste praktische toepassingen. In 1977 gaf Deligne een vereenvoudigde uiteenzetting van de etale cohomologie.

Motivatie [ bewerken | brontekst bewerken ]

Voor complexe algebraische varieteiten zijn invarianten uit de algebraische topologie zoals de fundamentaalgroep en cohomologiegroepen erg nuttig, en men zou graag analogen hiervan hebben voor varieteiten over andere velden, zoals eindige velden. (Een reden hiervoor is dat Weil suggereerde dat de vermoedens van Weil bewezen konden worden met behulp van zo'n cohomologietheorie). In het geval van cohomologie van coherente schoven liet Serre zien dat men een bevredigende theorie kon krijgen door gewoon de Zariskitopologie van de algebraische varieteit te gebruiken, en in het geval van complexe varieteiten geeft dit dezelfde cohomologiegroepen (voor coherente schoven) als de veel fijnere complexe topologie. Voor constante schoven zoals de schoof van gehele getallen werkt dit echter niet: de cohomologiegroepen gedefinieerd met behulp van de Zariski-topologie gedragen zich slecht. Weil had bijvoorbeeld een cohomologietheorie voor varieteiten over eindige velden voor ogen met dezelfde kracht als de gebruikelijke singuliere cohomologie van topologische ruimten, maar in feite heeft elke constante schoof op een irreducibele varieteit triviale cohomologie (alle hogere cohomologiegroepen zijn nul).

De reden dat de Zariskitopologie niet goed werkt is dat hij te grof is: hij heeft te weinig open verzamelingen. Er lijkt geen goede manier te zijn om dit op te lossen door een fijnere topologie te gebruiken op een algemene algebraische varieteit. Grothendiecks belangrijkste inzicht was dat hij zich realiseerde dat er geen reden is waarom de meer algemene open verzamelingen deelverzamelingen van de algebraische varieteit zouden moeten zijn: de definitie van een schoof werkt perfect voor elke categorie, niet alleen voor de categorie van open deelverzamelingen van een ruimte. Hij definieerde etale cohomologie door de categorie van open deelverzamelingen van een ruimte te vervangen door de categorie van etale-afbeeldingen naar een ruimte: ruwweg kunnen deze beschouwd worden als open deelverzamelingen van eindige onvertakte bedekkingen van de ruimte. Deze blijken (na veel werk) net genoeg extra open verzamelingen te geven om redelijke cohomologiegroepen te krijgen voor sommige constante coefficienten, in het bijzonder voor coefficienten Z / n Z als n copriem is met de karakteristiek van het veld waarover men werkt.

Enkele basisintuities van de theorie zijn de volgende:

• De etale eis is de voorwaarde die het mogelijk zou maken om de impliciete functiestelling toe te passen als het waar zou zijn in de algebraische meetkunde (maar dat is het niet - impliciete algebraische functies worden in oudere literatuur algebroid genoemd).
• Er zijn bepaalde basisgevallen, van dimensie 0 en 1, en voor een abelse varieteit , waar de antwoorden met constante schoven van coefficienten voorspeld kunnen worden (via Galoiscohomologie en Tate-modules ).