Een
natuurlijk getal
is een getal dat het resultaat is van een telling van een eindig aantal dingen, dus een van de
getallen
De
verzameling
natuurlijke getallen wordt aangegeven met het symbool
. Er is geen overeenstemming of het getal 0 bij de natuurlijke getallen hoort. In de traditionele definitie beginnen de natuurlijke getallen bij 1 ? van daaraf begint men immers te tellen. Vanaf de negentiende eeuw ziet men de definitie opduiken die 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent (zie
geschiedenis
). In de wiskunde wordt tegenwoordig vrij algemeen het getal 0 tot de natuurlijke getallen gerekend.
Als de verzameling van de natuurlijke getallen wordt aangevuld met de
negatieve getallen
, ontstaat de verzameling van de
gehele getallen
, aangeduid door het symbool
. De natuurlijke getallen vormen dus een strikte
deelverzameling
van de verzameling van de gehele getallen:
De notaties
en
worden ook gebruikt om de natuurlijke of gehele getallen met uitsluiting van 0, of de (al dan niet strikt) negatieve getallen weer te geven; hun precieze betekenis verschilt echter tussen auteurs.
Getallen in de vorm
(of
), waarbij
behoort tot
, noemt men
even
; dit is de verzameling {0, 2, 4, 6, 8, ...}. De overige getallen in
noemt men
oneven
; dit is de verzameling {1, 3, 5, 7, ...}. Oneven getallen kunnen voor een zeker natuurlijk getal
geschreven worden als
.
Alle verzamelingen waarvoor een
bijectie
bestaat met
, worden
aftelbaar oneindige
verzamelingen genoemd. Dit is onder meer het geval voor de verzameling van de even getallen, voor de oneven getallen en voor de priemgetallen; alle drie zijn dit deelverzamelingen van
.
Getallenverzamelingen zijn een belangrijk begrip in de tak van de
wiskunde
die
getaltheorie
wordt genoemd.
In de wiskunde zijn verschillende pogingen gedaan de natuurlijke getallen preciezer te definieren, Een van de eerste pogingen is van
Peano
.
Peano legde de natuurlijke getallen
axiomatisch
vast. De
axioma's van Peano
luiden:
- Er is een natuurlijk getal 0.
- Elk natuurlijk getal heeft een opvolger.
- 0 is niet de opvolger van enig natuurlijk getal.
- Verschillende natuurlijke getallen hebben verschillende opvolgers
- Een verzameling natuurlijke getallen die 0 bevat en met elk getal ook diens opvolger, is de verzameling van alle natuurlijke getallen zelf (inductieaxioma).
Op dit laatste axioma steunt het bewijs met behulp van
volledige inductie
.
Omdat ze refereert aan de verzameling van alle natuurlijke getallen past de hierboven gegeven formulering van het inductieaxioma binnen de tweede-orde-logica. Met een axiomaschema omvattende een oneindigheid aan axioma's die elk refereren aan een uitspraak, kan binnen de eerste-orde-logica, en zonder nog gebruik te maken van verzamelingenleer, het inductie-axioma vervangen worden door:
- Veronderstel:
- is een willekeurig natuurlijk getal
- is de opvolger van
- is een willekeurige uitspraak over
- is waar
- volgt noodzakelijk uit
- dan is
waar voor alle natuurlijke getallen
.
Voor elk predicaat
waarin
optreedt, stelt dit een axioma voor.
Van later datum is de definitie van de natuurlijke getallen met behulp van verzamelingen.
In de
verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel
(ZF) worden natuurlijke getallen gedefinieerd met behulp van verzamelingen. Elk natuurlijk getal wordt gelijkgesteld aan de verzameling van kleinere natuurlijke getallen. Dat wil zeggen:
- , de
lege verzameling
(er zijn geen natuurlijke getallen kleiner dan 0)
algemeen geldt de definitie:
Het begrip
ordinaalgetal
breidt dit uit naar grotere verzamelingen, of anders gezegd, naar getallen voorbij de natuurlijke getallen.
Eenvoudig is in te zien dat ook andere constructies mogelijk zijn, zoals:
- , de
lege verzameling
(er zijn geen natuurlijke getallen kleiner dan 0)
algemeen geldt de recursieve definitie:
Elk natuurlijk getal is de verzameling met als enig element het getal dat eraan voorafgaat.
Deze constructie, die min of meer neerkomt op het aantal openings- of sluitingsaccolades, is praktisch gelijk aan het zetten van een streepje voor elk geteld object.
Een van de axioma's van ZF is het bestaan van een opvolgerverzameling:
- .
De kleinste verzameling die hieraan voldoet is
.
De natuurlijke getallen ontstonden
op natuurlijke wijze
bij het
tellen
van voorwerpen. Bijvoorbeeld: "ik heb vier schapen", "hij is de derde zoon". Het getal
nul
komt hierbij niet voor: er wordt geteld vanaf
een
.
De
Babyloniers
en ook de
Egyptenaren
ontwikkelden een systeem met
cijfers
om getallen voor te stellen. Zo konden ook grote getallen gemakkelijker opgeschreven worden. De Egyptenaren hadden aparte
hierogliefen
voor de cijfers 1 t/m 10 en voor alle machten van 10, tot en met 1 miljoen. Op een steen in
Karnak
komen bijvoorbeeld de getallen 276 (twee
honderden
zeven
tienen
zes
enen
) en 4622 voor. Dit dateert van
1500 v.Chr.
Nog later werd in Babylonie het teken 'nul' toegevoegd, als plaatsvervangend teken voor bijvoorbeeld geen
honderdtallen
. Zo waren de tekens voor
honderdtallen
,
tientallen
, ... niet meer nodig; de
positie
van het cijfer duidt aan of er
honderdtallen
,
tientallen
, ... worden bedoeld. Zij beschouwden 0 zelf echter niet als een natuurlijk getal. De Babyloniers gebruikten vanaf ca.
450 v.Chr.
wel een geschreven teken voor een positie van een nul, maar niet wanneer dit als eerste of als laatste teken in een getal voorkwam.
De
Maya
-beschaving gebruikte 0 wel als apart getal vanaf
1e eeuw v.Chr.
De
getaltheorie
, oorspronkelijk de studie van natuurlijke getallen, begon met de
Griekse
filosofen
Pythagoras
en
Archimedes
. Ook in
Indie
,
China
en
Midden-Amerika
werden onafhankelijk daarvan rond dezelfde tijd vergelijkbare studies gemaakt.
De moderne beschouwing van de natuurlijke getallen komt van de
Indische
wiskundige
Brahmagupta
in
628 na Chr.
Pas meer dan vijf eeuwen later aanvaardden ook de Europese wiskundigen het idee dat 0 een apart getal is, meestal echter niet als
natuurlijk
getal.
In de
19e eeuw
formuleerde Peano een axiomatische
definitie
van de natuurlijke getallen, gebaseerd op de
verzamelingenleer
, waarin hij het getal 0 ook tot de natuurlijke getallen liet behoren. Dat neemt niet weg dat bij het tellen vanaf 1 geteld wordt. Echter bij gebruik van de natuurlijke getallen als
index
is het soms handig om als laagste index 0 te nemen.
Bronnen, noten en/of referenties
- Weisstein, Eric W.
Natural Number
, MathWorld--A Wolfram Web Resource.