Satu contoh paradoks garis pantai. Jika garis pantai
Great Britain
diukur dengan unit-unit berkepanjangan 100 km (62 bt), maka panjang garis pantai adalah kira-kira 2,800 km (1,700 bt). Dengan unit-unit berkepanjangan 50 km (31 bt), panjang garis pantai menjadi kira-kira 3,400 km (2,100 bt), kira-kira 600 km (370 bt) lebih panjang.
Paradoks garis pantai
ialah satu pemerhatian bertentangan dengan logik yang mengatakan
garis pantai
satu
daratan
tidak mempunyai satu panjang yang tepat. Ini menunjukkan bahawa pantai mempunyai sifat seperti
fraktal
. Pemerhatian fenomena ini pertama kali dibuat oleh
Lewis Fry Richardson
[1]
dan ia dikembangkan lagi oleh
Benoit Mandelbrot
.
[2]
Lebih tepat lagi, panjang satu garis pantai bergantung pada cara mengukurnya. Oleh sebab daratan mempunyai ciri-ciri istimewa pada semua skala, daripada skala ratusan kilometer sehingga pecahan kecil satu milimeter ke bawah, tidak ada satu ciri terkecil yang boleh dikira kepanjangannya, maka tidak ada perimeter tertentu daratan. Pelbagai anggaran wujud apabila anggapan tertentu dibuat berkenaan saiz ciri-ciri minimum.
Konsep dasar
panjang
terbit daripada
jarak Euclid
. Dalam geometri Euclid, satu garis lurus melambangkan
jarak terpendek antara dua titik
; garis ini hanya mempunyai satu panjang. Panjang
geodesi
di atas permukaan sfera, yang dinamakan panjang
bulatan besar
, diukur sepanjang lengkung permukaan yang terdapat di dalam satah yang mengandungi kedua-dua titik akhir laluan dan pusat sfera.
Panjang lengkung ringkas
adalah lebih rumit tetapi masih boleh dikira. Dengan menggunakan pembaris, panjang lengkung boleh dianggarkan dengan menambahkan panjang garis-garis lurus yang menghubungkan titik-titik di atas lengkung:
Dengan hanya menggunakan sejumlah kecil garis lurus, anggaran panjang lengkung akan menjadi kurang tepat. Jika panjang garis lurus yang lebih pendek digunakan, jumlah panjang-panjang garis tersebut akan lebih hampir dengan panjang sebenar lengkung tersebut. Nilai tepat bagi panjang lengkung boleh dikira dengan
kalkulus
, satu bidang matematik yang membolehkan pengiraan panjang yang teramat kecil. Animasi berikut menunjukkan bagaimana lengkung yang
licin
boleh diberikan panjang yang tepat:
Namun, tidak semua lengkung boleh dikira sebegini.
Fraktal
ialah, menurut takrifannya, satu lengkung yang akan berubah kekompleksannya mengikut skala ukuran yang berbeza. Panjang fraktal yang diukur boleh berubah dengan sangat banyak, sementara anggaran lengkung licin menjadi lebih tepat semakin tepat ukuran.
Lengkung Sierpi?ski
(sejenis
lengkung pengisi ruang
), yang mengulangi corak yang sama pada skala yang semakin mengecil, terus menaik kepanjangannya. Corak ini akan terus berulang di dalam ruang geometri yang boleh terus terbahagi secara tidak terhingga, maka panjang fraktal ini menghampiri infiniti. Pada masa yang sama,
luas
yang dirangkumi oleh lengkung ini akan mencapai satu bentuk yang tepat?serupa juga, keluasan
daratan
satu pulau lebih mudah dikira daripada panjang garis pantainya.
Panjang "fraktal sebenar" sentiasa mencapai infiniti.
[3]
Namun, nilai ini bergantung pada anggapan bahawa ruang ini boleh terus dibahagikan. Betapa benarnya anggapan ini?yang menjadi dasar geometri Euclid dan menjadi model yang berguna dalam ukuran seharian?adalah satu spekulasi bersifat falsafah, dan mungkin atau mungkin tidak menggambarkan perubahan sebenar 'jarak' dan 'ruang' pada skala
atom
(kira-kira pada skala
nanometer
).
Panjang Planck
, beberapa magnitud lebih kecil daripada atom, dikatakan adalah unit boleh diukur terkecil dalam alam semesta.
Garis pantai berbeza daripada fraktal dalam matematik kerana ia dihasilkan oleh banyak kejadian kecil yang hanya menghasilkan corak secara statistik.
[4]
Bagi tujuan-tujuan praktikal, pilihan sesuai untuk saiz ciri-ciri minimum adalah pada skala unit yang digunakan untuk mengukur. Jika garis pantai diukur dalam kilometer, maka variasi-variasi kecil yang lebih kecil daripada satu kilometer tidak akan diambil kira. Jika garis pantai dikira dalam sentimeter, variasi-variasi kecil yang bersaiz beberapa sentimeter perlu diambil kira. Namun, pada skala bebera sentimeter pelbagai anggapan tertentu dan bukan fraktal perlu dibuat, seperti di mana
muara
bertemu dengan laut, atau di mana ukuran garis pinggir perlu dibuat dalam
kukup
yang luas. Menggunakan metodologi ukuran berbeza bagi unit-unit berbeza juga menghalang unit-unit berbeza ditukar dengan pendaraban mudah.
Keadaan-keadaan ekstrem bagi paradoks garis pantai termasuklah pada garis pantai
Norway
,
Chile
dan
Barat Laut Pasifik
Amerika Utara
yang penuh dengan
fjord
.
Pantai di wilayah British Columbia di Kanada
hanya berkepanjangan linear 965 km (600 bt) dan merentang daripada takat selatan
Pulau Vancouver
sehingga takat selatan
panhandle
Alaska
, namun kerumitan garis pantai ini menyebabkan panjang garis pantai ini menjadi 25,725 km (15,985 bt)?10 peratus daripada panjang keseluruhan garis pantai Kanada (termasuk garis pantai
kepulauan Artik
) iaitu 243,042 km (151,019 bt).
[5]
- ^
Eric W. Weisstein
,
Coastline Paradox
di
MathWorld
.
- ^
Mandelbrot, Benoit (1983).
The Fractal Geometry of Nature
. W.H. Freeman and Co. 25?33.
ISBN
978-0-7167-1186-5
.
- ^
Post & Eisen, p. 550.
- ^
Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe,
Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
; Spring, 2004; p.
424
.
- ^
Sebert, L.M., and M. R. Munro. 1972. Dimensions and Areas of Maps of the National Topographic System of Canada. Technical Report 72-1. Ottawa: Department of Energy, Mines and Resources, Surveys and Mapping Branch.