Elektrodinamika

Maksvela diferenci?lvien?dojumi
Integr?lie Maksvela vien?dojumi
Elektriskais lauks
Gausa teor?ma (elektrisk? lauka pl?sma) Elektrisk? lauka cirkul?cija Kulona likums Elektrisk? str?va Str?vas nep?rtraukt?bas vien?dojums Piln?s str?vas nep?rtraukt?bas vien?dojums Nob?des str?va Elektrisk? l?di?a nez?dam?bas likums Elektromagn?tisk?s indukcijas likums
Magn?tiskais lauks
Magn?tisk?s indukcijas pl?sma Magn?tisk?s indukcijas cirkul?cija Lorenca sp?ks
Elektromagn?tisk? lauka avoti
Elektromagn?tisk? lauka ener?ija
Delta funkcija
s d l

Fizik? Maksvela vien?dojumi ir ?etru diferenci?lvien?dojumu sist?ma, kas apraksta elektromagn?tisko lauku vakuum? . Tie raksturo elektrisk? un magn?tisk? lauka savstarp?jo mijiedarb?bu, k? ar? to saist?bu ar elektrisko l?di?u un str?vas bl?vumu . ?os vien?dojumus 1861 . gad? atkl?ja skotu fizi?is un matem?ti?is D?eimss Maksvels .

Integr?lie Maksvela vien?dojumi [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Integr?lie Maksvela vien?dojumi ir elektromagn?tisk? lauka teorijas postul?ti.

1. ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\ }$ un ${\displaystyle \Phi =\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$
2. ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=0\ }$
3. ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}(I+I_{D})\ }$ un ${\displaystyle N=\int _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$
4. ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}}$

?iem integr?lajiem vien?dojumiem m?dz pievienot v?l ar? elektrisk? l?di?a nez?dam?bas likumu

1. ${\displaystyle I=-{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\ }$

Vien?dojumu sist?mas p?ri [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Vien?dojumu sist?ma sast?v no diviem vien?dojumu p?riem.

• Pirmais vien?dojumu p?ris (1. un 2.) ir homog?ni vien?dojumi vektoriem ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$ un ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$. ?ie vien?dojumi ir sp?k? visiem elektromagn?tiskajiem laukiem neatkar?gi no t?, k?di ir to avoti (t.i., l?di?i un str?vas )
• Otrs vien?dojumu p?ris (3. un 4.) ir nehomog?ni vien?dojumi: tie satur lauka avotus ${\displaystyle q\ }$ un ${\displaystyle I\ }$, kurus savstarp?ji saista l?di?a nez?dam?bas likums (5.).

Maksvela vien?dojumu fizik?lais saturs [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

• Pirmaj? un tre?aj? vien?dojum? ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$ un ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$ cirkul?ciju apr??ina pa jebkuru patva??gu sl?gtu kont?ru ${\displaystyle l\ }$, bet magn?tisk?s indukcijas pl?smu ${\displaystyle \Phi \ }$, elektrisk?s intensit?tes pl?smu ${\displaystyle N\ }$ un l?di?nes?ju pl?smu ${\displaystyle I\ }$ apr??ina pa atv?rtu virsmu ${\displaystyle S\ }$.
• Otraj? un ceturtaj? vien?dojum? ir apr??in?ts magn?tisk?s indukcijas ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$ un elektrisk?s intensit?tes ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$ pl?smas caur jebkuru sl?gtu viensakar?gu virsmu ${\displaystyle S\ }$, bet ${\displaystyle q\ }$ ir pilnais elektriskais l?di?? virsmas ${\displaystyle S\ }$ ierobe?otaj? tilpum? . (?? virsma ${\displaystyle S\ }$ t?tad nav un nevar b?t t? pati, kas pirmaj? un tre?aj? vien?dojum?!)

Maksvela vien?dojumu emp?riskie fakti vai likumsakar?bas [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Katrs no postul?tajiem integr?lajiem vien?dojumiem atbilst konkr?tam emp?riskajam faktam vai likumsakar?bai, kurus apstiprina eksperimenti .

• Pirmais vien?dojums izsaka elektromagn?tisk?s indukcijas likumu .
• Otrais vien?dojums izsaka apgalvojumu, ka magn?tisk?s indukcijas l?nijas vienm?r ir nosl?gtas.
• Tre?ais vien?dojums saista magn?tisko lauku ar t? iesp?jamiem avotiem - str?vu ${\displaystyle I\ }$ un nob?des str?vu ${\displaystyle I_{D}\ }$.
• Ceturtais vien?dojums ir Gausa teor?ma elektriskajam laukam .

Maksvela diferenci?lvien?dojumi [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

No Maksvela integr?lajiem vien?dojumiem , kuri ir sp?k? gal?gam tilpumam ${\displaystyle V\ }$, virsmai ${\displaystyle S\ }$ un kont?ram ${\displaystyle l\ }$ var ieg?t atbilsto?us diferenci?lvien?dojumus . Tie saista vektorus ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$ un ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$ katr? telpas punkt?, jebkur? laika moment? un t?p?c ir noteikt? noz?m? visp?r?g?ki nek? integr?lie vien?dojumi.

Lai ieg?tu Maksvela diferenci?lvien?dojumus ${\displaystyle {\begin{cases}\ rot{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\\\ div{\vec {B}}=0\end{cases}}\ }$ ${\displaystyle {\begin{cases}\ rot{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\\\ div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\end{cases}}\ }$ , integr?lie vien?dojumi j?p?rveido t?, lai to ab?s pus?s b?tu integr??i pa vienu un to pa?u apgabalu - virsmu vai tilpumu. ??di p?rveidot?m zemintegr??a izteiksm?m integr?lo vien?dojumu kreisaj? un labaj? pus? j?b?t vien?d?m, jo integr??anas apgabals ir patva??gs. Zemintegr??u izteiksmju vien?d?bas ir mekl?tie diferenci?lvien?dojumi. Integr?lo vien?dojumu p?rveido?anai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teor?mas .

Pirmais Maksvela diferenci?lvien?dojums [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Pirmo Maksvela diferenci?lvien?dojumu ieg?st no integr?l? vien?dojuma ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\ }$. ?eit pl?sma ${\displaystyle \Phi =\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$ ir apr??in?ta virsmai ${\displaystyle S\ }$, kuru aptver nosl?gts kont?rs ${\displaystyle l\ }$. Vien?dojuma kreiso pusi p?rveido , izmantojot Stoksa teor?mu : ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{S}rot{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$ Labaj? pus? mainam atvasin??anas un integr??anas sec?bu, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$. ?o p?rveidojumu rezult?t? ieg?stam, ka ${\displaystyle \int _{S}rot{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}=-\int _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$

Piel?dzinot zemintegr??a izteiksmes vienu otrai, ieg?st pirmo Maksvela diferenci?lvien?dojumu ${\displaystyle rot{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\ }$

Otrais Maksvela diferenci?lvien?dojums [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Otr? Maksvela diferenci?lvien?dojuma uzrakst??anai izmanto Ostrogradska - Gausa teor?mu integr?lam vien?dojumam ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=0\ }$, proti, nosac?jumam, ka magn?tisk? pl?sma caur jebkuru nosl?gtu virsmu ${\displaystyle S\ }$ ir vien?da ar nulli . Patva??gam tilpumam ${\displaystyle V\ }$ ${\displaystyle \int _{V}div{\vec {B}}\mathrm {d} V=0\ }$. No t? izriet otrais Maksvela diferenci?lvien?dojums

${\displaystyle div{\vec {B}}=0\ }$

Tre?ais Maksvela diferenci?lvien?dojums [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Tre?o Maksvela diferenci?lvien?dojumu ieg?st analogi pirm? diferenci?lvien?dojuma p?rveido?anai ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}(I+I_{D})\ }$, kur str?va ${\displaystyle I=\int _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$ un vektora ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$ pl?sma ${\displaystyle N=\int _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$ ir sa??d?ta ar kont?ru ${\displaystyle l\ }$, kas savuk?rt ietver virsmu ${\displaystyle S\ }$. Izmantojot Stoksa teor?mu magn?tisk?s indukcijas cirkul?cijai , ${\displaystyle \oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{S}rot{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}}$. Lietojot str?vas tilpuma bl?vuma formulu ${\displaystyle {\vec {j}}=\rho {\vec {v}}\ }$, str?vu var uzskat?t par l?di?nes?ju pl?smu caur virsmu ${\displaystyle S\ }$, kuras robe?kont?rs ${\displaystyle l\ }$. Mainot atvasin??anas un integr??anas sec?bu vien?dojuma lab?s puses otraj? saskait?maj?, var atrast, ka ${\displaystyle \int _{S}rot{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}+\epsilon _{0}\mu _{0}\int _{S}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\ }$ un t?tad ieg?stam tre?o Maksvela diferenci?lvien?dojumu

${\displaystyle rot{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\ }$

Ceturtais Maksvela diferenci?lvien?dojums [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Ceturto Maksvela diferenci?lvien?dojumu uzraksta, izmantojot Gausa teor?mu ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\ }$. Nosl?gtas virsmas ${\displaystyle S\ }$ ierobe?ot? tilpum? ${\displaystyle V\ }$ l?di?? ${\displaystyle q=\int _{V}\rho \mathrm {d} V\ }$ ( ${\displaystyle \rho \ }$ ir tilpuma l?di?a bl?vums ). P?rveidojot elektrisk?s intensit?tes pl?smu p?c Ostrogradska-Gausa teor?mas , ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{V}div{\vec {E}}\mathrm {d} V\ }$, varam uzrakst?t, ka ${\displaystyle \int _{V}div{\vec {E}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\frac {\rho \mathrm {d} V}{\epsilon _{0}}}\ }$.

T?tad, rezult?t? ieg?stam p?d?jo, ceturto Maksvela diferenci?lvien?dojumu : ${\displaystyle div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\ }$

Maksvela diferenci?lvien?dojumu interpret?cija vektorlauka teorijas j?dzienos [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

• Pirmais vien?dojums elektrisk? lauka intensit?tes rotoram ir elektromagn?tisk?s indukcijas likums diferenci?l? form?: laik? main?gs magn?tiskais lauks ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$ induc? elektrisko virpu?lauku ${\displaystyle {\vec {E}}\ }$. Ja magn?tisk? lauka nav vai ar? ja tas ir stacion?rs , tad ${\displaystyle rot{\vec {E}}=0\ }$ un elektriskais lauks ir potenci?ls lauks . Potenci?lu elektrisko lauku rada nekust?gi elektriskie l?di?i . Ja tie izvietoti tilpum? t?, ka to bl?vums ir ${\displaystyle \rho \ }$, elektrisk? lauka intensit?ti nosaka ceturtais Maksvela vien?dojums, ${\displaystyle div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\ }$. Saska?? ar ?o vien?dojumu intensit?tes l?nijas izpl?st no telpas punktiem, kuros l?di?a bl?vums ir pozit?vs ( ${\displaystyle \rho >0\ }$), bet iepl?st punktos, kuros tas ir negat?vs ( ${\displaystyle \rho <0\ }$).
• Otrais Maksvela vien?dojums, ${\displaystyle div{\vec {B}}=0\ }$, ir magn?tisk? lauka solenoidalit?tes nosac?jums ; ${\displaystyle {\vec {B}}\ }$ l?nijas vienm?r ir nosl?gtas: t?m nav izte?u un note?u.
• Tre?ais Maksvela vien?dojums saista magn?tisko lauku ar t? avotiem : 1) str?vu , kuras bl?vums ir ${\displaystyle {\vec {j}}\ }$, un 2) laik? main?ga elektrisk? lauka atvasin?jumu ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\ }$.
• Ceturt? Maksvela vien?dojumu interpret?ciju skat?t pie pirm? Maksvela vien?dojuma interpret?cijas.

Maksvela vien?dojumi koordin?t?s [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Maksvela vien?dojumus var uzrakst?t ar? koordin?t?s. Piem?ram, Dekarta koordin?t?s ieg?stam asto?us parci?los diferenci?lvien?dojumus trim elektrisk?s intensit?tes koordin?t?m ${\displaystyle E_{x}\ }$, ${\displaystyle E_{y}\ }$, ${\displaystyle E_{z}\ }$ un trim magn?tisk?s indukcijas koordin?t?m ${\displaystyle B_{x}\ }$, ${\displaystyle B_{y}\ }$, ${\displaystyle B_{z}\ }$:

${\displaystyle {\begin{cases}\ {\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}\end{cases}}\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0\ }$

${\displaystyle {\begin{cases}\ {\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}=\mu _{0}j_{x}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}=\mu _{0}j_{y}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}=\mu _{0}j_{z}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}\end{cases}}\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\ }$

Maksvela vien?dojumi nav jebkuru elektromagn?tisko procesu vien?dojumi [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

Maksvela vien?dojumi ir elektromagn?tisk? lauka dinamikas vien?dojumi. Tom?r tie nav jebkuru elektromagn?tisko vai elektrodinamisko procesu vien?dojumi, un, piem?ram, no tiem neizriet lauka avotu - l?di?u (vai, prec?z?k sakot, l?di?nes?ju) kust?bas likumi elektriskaj? un magn?tiskaj? lauk?. Tie j?formul? ?pa?i, iepriek? noskaidrojot, k?di ir sp?ki un momenti , kuri uz l?di?nes?jiem un str?vas vad?t?jiem darbojas elektriskaj? un magn?tiskaj? lauk?.

Papildu literat?ra [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

• Platacis, J?nis (1974), Elektr?ba, Zvaigzne .
• Fleisch, Daniel A. (2008), A student's guide to Maxwell's equations, Cambridge University Press, ISBN   978-0-52-170147-1 .
• Huray, Paul G. (2009), Maxwell's Equations, John Wiley & Sons, ISBN   978-0-47-054276-7 .

?r?j?s saites [ labot ?o sada?u | labot pirmkodu ]

• Eric W. Weisstein, Maxwell Equations , scienceworld.wolfram.com (angliski)
• Maxwell's Equations , Hyperphysics (angliski)

s d l Relativit?tes teorija Visp?r?g? Ekvivalences princips Gravit?cijas l?ca Gravit?cijas vi??i Notikumu horizonts Singularit?te Melnais caurums Fridmana vien?d?bas Kvantu gravit?cija Speci?l? Maksvela vien?dojumi Nov?rot?js Kinem?tika Gaismas ?trums Noz?m?gi cilv?ki Ein?teins Lorencs Hilberts Puankar? Veils G?dels ?andrasekars Hokings ?entuns

Autoritat?v? vad?ba WorldCat LCCN : sh85082387 GND: 4221398-8 BNF: cb12043257h (data) NKC: ph218895