Matematikoje , tiksliau algebroje , Vijeto teorema ? formul?s, siejan?ios polinom? koeficientus su j? ?aknimis. Teorema pavadinta jos suk?r?jo pranc?z? matematiko Fransua Vijeto vardu.

Teorema [ redaguoti | redaguoti vikitekst? ]

Pagal fundamentali?j? algebros teorem? , bet koks polinomas,

${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}$

kurio laipsnis yra n  ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skai?iai a _n  ≠ 0) turi n (neb?tinai skirting?) kompleksini? ?akn? x ₁ , x ₂ , ..., x _n .

Vijeto teorema sieja polinom? koeficientus { a _k  } su j? ?aknimis { x _i  }:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

Pavyzd?iai [ redaguoti | redaguoti vikitekst? ]

Vijeto formul?s kvadratiniam polinomui (dar vadinamas kvadratiniu trinariu ) ^[1] ${\displaystyle p(X)=aX^{2}+bX+c\,}$ ir jo ?aknims ${\displaystyle x_{1},x_{2}\,}$ kvadratin?je lygtyje ${\displaystyle p(X)=0\,}$ yra

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}}$

Pavyzd?iui, jei turime kvadratin? lygt?

${\displaystyle x^{2}-x-6=0,\,}$

j? i?spr?sti galime pasinaudoj? Vijeto teorema ir sudar? lyg?i? sistem?

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\frac {1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}}$

Jei ?i? sistem? bandytume spr?sti formaliai (pvz., i?sireik?dami vien? i? kintam?j?), v?l gautume t? pa?i? lygt?. Praktikoje, naudojant Vijeto teorem? lyg?i? sprendimui, sprendinius x ₁ ir x ₂ bandoma ?atsp?ti“ - sugalvoti tokius x ₁ ir x ₂ , kad jie tenkint? lyg?i? sistem?. ?iuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formul?s kubiniam polinomui ${\displaystyle p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,}$ ir jo ?aknims ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}$ lygtyje ${\displaystyle p(X)=0\,}$ yra

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

?altiniai [ redaguoti | redaguoti vikitekst? ]