|
Systemata Numerica
Mathematicae
Numeri Elementarii
|
Naturales
{0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...}
Integri
{...,-2,-1,0,+1,+2,...}
Rationales
Reales
Complexi
?
Quaterni
Octoni
Infinitas
|
Variae radices
|
|
|
|
Algebra
est
disciplina
mathematica
quae
quantitates
abstractiter a perspectiva
aequationes
solvendi considerat. In generalizatione quadam de
arithmetica
coepit, qua
symbola
loco numerorum substituta sunt. Haec
ratio
repperta est ut perutilis ad
problemata
solvenda quibus sunt relationes inter ignotas
quantitates
quasdam in
aequationum
forma.
Vocabulum
algebra
primum
Latine
usurpatum est anno
1140
, in translatione
libri
cuiusdam, cui titulus est
Arabice
?????? ????? ?????????
(
Al-Kitab
al-jabr
wa-l-Muqabala
), significans
Liber Compendiosus de Computando per Perfectionem Compensationemque
. Liber descripsit quomodo aequationes lineares vel quadraticas simples solvere possumus operationibus symbolicis utendo. Lingua Arabica,
al-jabr
significat motum quantitatis ad alterum latus aequationis subtractae. Sed haec est sola una pars totius artis algebraicae.
Algebra elementaris est congeries regularum quibus aequationes solvendae sunt. Exempli gratia, si
possumus de ambobus lateribus
1
subtrahere:
Solutio huius simplicissimae aequationis est ergo
3.
Regulae algebrae elementaris nobis dicunt licere quantitates aequales ad ambo aequationis latera
addere
,
subtrahere
,
multiplicare
,
dividere
.
In antiquitate omnes quantitates originabant in geometria et mathematici aequationes solvebant methodis geometricis.
Saeculo quarto
, librum
Arithmetica
a
Diophanto
scriptum notissimum fuit tantum pro numeros considerando sine iustificatione geometrica quantum pro usu symboli permonodico ad quantitatem ignotam designandam.
[1]
Diophantus, sicut alii mathematici suae aetatis, ad aequationes solvendas solos numeros naturales intuitur. Et notationes eius erant perprimitivae. Methodos subsequenter mathematici excoluerunt. Saeculo VIII liber celeber de algebra a
Machometo ibn Musa al-Kwarizmi
scriptus methodos de aequationes gradus secundi solvendo simplices ostendit, systema notationis algebraicum melius monstrans. Etiam ea aetate systema decimale Arabicum magnopere progressum mathematicae adiuvit.
Mille annis postea, ad aequationes magis intricatas solvendas, mathematicis oportuit novos
numeros
comperiri, sicut
numeros irrationales
et
numeros complexos
. Aequatio celeberrima, quae multos tales numeros simul proponit, est
aequatio Euleri
[2]
ubi
e
= 2.71828... est
numerus Euleri
,
i
=
unitas imaginaria
,
π
= 3.14159...
numerus pi
, et
-1
unitas negativa
. Deinde anno
1806
Ioannes Robertus Argand
demonstravit
theorema fundamentale algebrae
, quod dixit esse exactiter
n
solutiones distinctas cuique aequationi polynomiali gradus
n
ubi
sunt coefficientes valoribus complexis. Independenter postea
Gauss
ea theorema quoque demonstravit annis
1816
et
1849
.
Saeculo undevicensimo
, mathematici etiam novas structuras algebraicas e numeris factas comminiscerunt sicut
quaterniones
,
vectores
,
matrices
, et
tensores
. Tales sunt perutiles non modo ad simultanea aequationum systemata solvenda, sed hodie etiam ad computationes numericas computatris facendas.
Postquam tanti numeri novi definiuntur, nova
algebrae abstractae
disciplina incepta est ut numeri suarum operationum, sicut
+
et
*
, arithmeticarum contextu abstractiter meditetur et ut condiciones determinentur quibus aequationes algebraicas solvantur.
Res algebrae abstractae sunt numerorum generalizationes classificatae modo axiomatico secundum earum operationes:
- Copia
= rerum elementalium collectio quaedam sine aut cum operationibus inter
elementa
definitis.
- Grex
= copia clausa sub operatione invertibili associativaque, symbolo "+".
- Grex abelianus
vel commutativus = copia clausa sub operatione invertibili associativaque commuativaque, symbolo "+".
- Anellus
= grex abelianus etiam clausus sub secunda operatione symbolo "*" associativa, commutativa, invertibilique quae se distribuit super illam "+".
- Corpus
= anellus cuius elementa (zeri "0" excepto) sub operatione "*" quoque formant gregem abelianum.
His in definitionibus, oportet greges esse clausos sub operationibus definitis, id est, si 1 est in grege quodam oportet 1 + 1 quoque esse in eodem grege, et sic itidem alia gregis membra.
Mathematicus Francogallicus
Evaristus Galois
, qui primus fuit qui nomine
grex
(
Francogallice
groupe
) usus est ad collectionem permutationum designandam, anno
1832
difficultatem magnam superavit, cum illas condiciones determinaret necessarias sufficientesque ad omnes aequationes polynomiales solvendas solo numeris realibus utendo.
[3]
Sui labores nobis dederunt fundamentum theoriae Galois, quae pars maior algebrae abstractae hodie est. Tragice Galois solos duo et viginti annos vixit, in monomachia interfectus.
Res algebrae abstractae non sunt soli numeri et structurae numeris factae. Res quoque possumus definire e quoque collectione de qua operationes possumus definere sine contradictione. Specialiter, gregis membra possunt esse operationes logicae vel rerum symmetriae sicut circuitationes. Tales greges habent maximos usus in aliis partibus mathematicae,
physicae
, machinarum scientiaeque. Greges bene graves sunt ad aequationes differentiales solvendas, multas quaestiones physicales repraesentantes.
- p. 155
Leibnitii
Monitum de Characteribus Algebraicis
prima pagina
[
nexus deficit
]
- p. 160
Leibnitii
Symbolismus memorabilis calculi Algebraici et Infinitesimalis, in comparatione potentiarum et differentiarum; et de Lege Homogeneorum Transcendentali
:
prima pagina
- p. 166
Philippi Naudaei Iunioris
Regulae, qua inveniuntur omnes cuiuslibetcunque producti Algebraici divisores...
prima pagina
- 1723
Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum II
- p. 66
Philippi Naudaei Iunioris
Regula, qua inveniuntur, omnes divisores cuiuscunque producti Algebraici...
prima pagina
Nexus interni