프랙탈의 歷史는 主로 理論的 硏究에서 컴퓨터 그래픽의 現代的인 適用에 이르는 길을 따르며, 그 過程에서 몇몇 有名한 사람들이 公式的인 프랙탈 形態를 만들었다. Pickover에 따르면, 프랙탈의 數學은 數學者이자 哲學者인 Leibniz가 反復的인 自己類似性 을 생각했을 때인 17世紀에 形成되기 始作했지만, 그는 直線만이 自己 類似라고 생각한 失手를 저질렀다. 그의 著書에서, Leibniz는 "fractional exponents(噴水的인 指數)"라는 用語를 使用했지만, 幾何學을 잘 알지 못하는 것을 아쉬워했다. 事實, 다양한 歷史的 說明에 따르면, 그 以後로는 몇 名의 數學者들이 이 問題에 對해 苦心했고, 그들에 依해 때로는 數學的 "怪物"이라고도 불리는, 낯설게 떠오르는 槪念에 對한 抵抗으로 因해 不分明했던 作業들이 主로 이루어졌다. 結局, 1872年 7月 18日 Karl Weierstrass가 王立 프러시안 科學 아카데미에서 오늘날 프랙탈이라고 看做될 수 있는 모든 곳에서 連續 이지만 모든 곳에서 微分 不可能한, 非直觀的인 特性을 가진 函數의 첫 番째 定義를 나타낸 것은 2世紀가 지난 後였다. 또한 加算 指標가 커짐에 따라서 階次는 任意로 커진다. 그 뒤 1883年에 바이어 슈트라스의 講義에 參席한 Georg Cantor는 特異한 特性을 가지고 있었으며 只今은 프랙탈로 認識되는, 只今은 칸토어 먼지로 알려진 實際 善意 下位 集合들의 例를 出版하였다. 또한, 世紀 末에 펠릭스 클라인 과 앙리 푸앵카레 는 "self-inverse“ 프랙탈이라는 하나의 範疇를 導入했다. 다음 重要한 發展 中 하나는 1904年에 온 것인데, 이 때, 푸앵카레의 아이디어를 擴張하고 바이어 슈트라스의 抽象的이고 分析的인 定義에 不滿을 품은 헬 폰 코흐 는, 只今은 코흐 눈꽃송이라고 불리는 비슷한 函數에 對해 손으로 그린 이미지를 包含한 더 幾何學的인 定義를 내렸다. 또 다른 劃期的인 事件은 10年 後인 1915年에 왔는데, 그 때 바츠와프 時에르핀스키 는 그의 有名한 三角形을 만들었고, 그 1年 後에, 시어핀스키의 洋탄자를 만들었다. 1918年까지, 두 名의 프랑스 數學者, 피에르 破鬪와 가스桶 쥘리아 는, 獨立的으로 硏究했긴 했으나 複素數 와 反復的 函數를 構造化하고, 더 나아가 끌개 에 對한 아이디어를 提供하는, 現代에는 프랙탈의 特性으로 불리는 結果에 同時에 到着했다. 그 硏究가 發表된 直後 1918年 3月에 펠릭스 하우스 도프는 프랙탈이라는 正義의 發展을 위해 " 次元 "의 定義를 相當히 擴大하여 프랙탈들이 精髓 次元 이 아닌 次元 을 가질 수 있도록 했다. 自己 類似 曲線에 對한 아이디어는, 그의 1938年 종이 平面이나, 空間 曲線 그리고 새로운 프랙탈 曲線과 類似한 部品들로 이루어진, 폴 레비에 依해 더 나아갔다. 다른 硏究員들은 현대 컴퓨터 그래픽의 도움 없이, 初期 硏究員들이 그들이 手動 그림으로 描寫할 수 있는 것에 制限되었기 때문에, 그들이 發見한 많은 패턴들은 簡單하게 사람의 손으로 그리는 反復 作業들로 만들 수 있는 것들로 制限되었고, 그들이 發見한 많은 패턴의 意味를 視覺化하고 높이 評價할 手段이 不足했다. (例를 들어, 쥘리아 集合 은 簡單한 그림들에 對한 反復的인 遂行으로 視覺化될 수밖에 없었다.) 하지만 브누아 망델브로 가 리차드손의 初期 硏究에서 나아간 "英國의 海岸은 얼마나 길까? 프랙탈 次元과 統計學的 自己 類似性“와 같은 論文에 自己 類似性에 對해 쓰기 始作한 1960年代에 이러한 狀況은 바뀌었다. 1975年에 만델브로는 "프랙탈"이라는 單語로 數百年에 걸친 思考와 數學的 發展을 굳히고, 印象的인 컴퓨터 建築 視覺化로 그의 數學的 正義를 描寫했다. 망델브로 集合 과 같은 그의 公式的인 이미지들은 많은 想像力을 사로잡았다; 그것들 中 많은 것들은 反復에 起草해서 만들어졌고, 프랙탈이라는 用語의 大衆的인 意味로 이끌었다. 1980年 로렌 카펜터는 SIGGRAPH 에서 프랙탈로서 風景을 만들고 表現하는 소프트웨어를 紹介하였다.

프랙탈을 네 가지 生成 技法에 따라 分類할 수 있다.

• 時間媒介型 프랙탈(Escape-time fractals, 軌道 프랙탈): 大槪 複素平面 床에서, 各各의 點이 發散하는 速度를 色으로 나타낸 이미지. 망델브로 集合
• 反復函數界(Iterated function system): 幾何學的 代替 規則에 依해 만들어진 圖形. 칸토어 集合 , 時에르핀스키 三角形 과 時에르핀스키 카펫 , 코흐 曲線 , 페아노 曲線 等이 이에 該當한다.
• 奇異한 끌개 (Strange attractors): 주어진 思想이나 方程式의 害를 利用해 初期값을 反復的으로 變換한 것이며 混沌 理論 과 관계된다.
• 無作爲的 프랙탈(Random fractals): 決定論 적이지 않고 推測 統計學 敵으로 만들어진 것.

이들 中 幾何學的 프랙탈만이 完璧한 自己類似性을 가지고 있다. 反面 망델브로 集合 은 느슨하며, "統計的인" 自己 類似性을 가지고 있는데, 擴大할 때마다 自己 自身의 모습이 變形된 形態로 나타난다. 또한, 프랙탈은 自己 類似性의 强度에 따라 두 가지로 나뉠 수도 있다.

• 준-자기유사적 프랙탈 (統計學的 프랙탈): 自己 類似性의 强度가 가장 낮은 것이며 自然에서 찾은 프랙탈처럼 部分과 全體가 大略的으로 비슷한 것이다.
• 完全-自己類似的 프랙탈 (規則的 프랙탈): 自己 類似性의 强度가 가장 높은 것이며, 部分과 全體의 模樣이 正確하게 같다. 規則的 프랙탈의 例로서 時에르핀스키 三角形 과 코흐 曲線 이 있다.

망델브로 集合 과 쥘리아 集合 은 아래 漸化式으로 만들어진다. ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$  여기서 z와 c는 複素數 이다. 쥘리아 集合은 定해진 c에 對해 위 漸化式을 收斂시키는 z의 初期값을, 망델브로 集合은 定해진 z의 初期값에 對해 위 漸化式을 收斂시키는 c를 意味한다. 發散 速度에 따라 點의 色을 다르게 한 그림을 그릴 수 있다.

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c(z=x+yi,c=c_{1}+c_{2}i)}$  에 對해 생각해보자.

${\displaystyle M=\left\{c~|~z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,\lim |z_{n}|<\infty \right\}}$ 

의 初期값을 ${\displaystyle z=0+0i}$  로 하여 漸化式을 反復하여 計算한다. 그 結果는 ${\displaystyle c}$  값에 依存한다. 卽 ${\displaystyle c}$  값에 따라 ${\displaystyle z}$  가 하나의 값으로 收斂하기도 하고 여러 값 사이를 循環的으로 맴돌기도 하고 아주 큰 값으로 發散하기도 한다. 만델브로트 集合은 初期값을 ${\displaystyle z=0+0i}$  로 했을 때 ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$  을 發散시키지 않는 複素數 들의 모임이다.

${\displaystyle c}$ 
를 固定했을 때 發散하지 않는 
${\displaystyle z}$ 
를 充滿한 쥘리아 集合(filled-in julia set)

${\displaystyle J=\left\{z|z_{n+1}=z_{n}^{2}+c~,\lim |z_{n}|<\infty \right\}}$ 

理라 한다. 쥘리아 集合은 充滿한 쥘리아 集合의 境界이다.

① ${\displaystyle c\in C}$  가 만델브로트 集合이면, ${\displaystyle z_{n}+c}$  가 收斂하는 ${\displaystyle z}$  는 充滿한 쥘리아( ${\displaystyle K_{c}}$  : filled in Julia set) 集合이다.

② ${\displaystyle c\in C}$  가 만델브로트 集合에 屬하지 않으면, 비連結 쥘리아 集合 ${\displaystyle J_{c}}$  이다.

③ 쥘리아 集合은 充滿한 쥘리아 集合의 境界이다.

④ 쥘리아 集合이 비連結이면 充滿한 쥘리아 集合( ${\displaystyle K_{c}}$  )과 쥘리아 集合( ${\displaystyle J_{c}}$  )은 같아진다.

⑤ 만델브로트集合에서 나타나는 週期는 쥘리아 集合에서도 그대로 나타난다.

⑥ 만델브로트 集合은 한 個이지만, 쥘리아 集合은 여러 個이다.

⑦ 쥘리아 集合은 內部가 空集合이다.

⑧ 複素數 ${\displaystyle c\in C}$  에 對하여, 모든 쥘리아 集合은 各各 다르다.

規則的 프랙탈. 自然에서 찾을 수 있는 프랙탈의 境遇 大部分 部分과 全體의 模樣이 大略的으로 비슷할 뿐이나 反復函數系의 境遇 全體와 部分의 形態가 完全히 一致한다.

統計學的 프랙탈.

自己類似性이 核心 槪念인 프랙탈 理論은 位相數學 分野에 屬하고, 初期條件의 敏感性이 核心인 카오스 理論 은 微分方程式 分野에 屬한다고 할 수 있다. 그런데 프랙탈 圖形은 가까운 두 點이 가진 情報가 全혀 다르다는 點에서 初期條件의 敏感性을 가지고 있고, 카오스 理論의 끌개는 프랙탈 構造를 가지고 있다는 點에서 서로 密接한 關聯을 가지고 있다.

프랙탈에서의 次元은 自家複製를 하기 위해 必要한 圖形의 數字로 定義된다.

卽, 어떤 圖形의 길이를 x 배 크게 하였을 때 그 圖形의 面積이 n 倍 增加한다면 그 圖形의 次元은 log _x n 으로 定義된다. 하우스도르프 次元의 槪念.

이에 따라 自然數가 아닌 次元이 存在할 수 있으며, 時에르핀스키 三角形 의 境遇 프랙탈에서의 次元의 값은 log ₂ 3으로 나타난다.

自然에서 發見되는 프랙탈은 쉽게 찾아볼 수 있다.

自然에서는 自己 닮음으로 表現될 수 있는 有限한 構造物들이 자주 發見된다.

• 번개: 번개는 같은 길을 反復해서 階段을 이루듯이 妨電한다. 濕度,氣壓,溫度 等 여러 條件에 依해 複雜하게 經路가 決定되기 때문에, 一直線이 아니고 구불구불한 形態를 지닌다. 不規則해 보이지만, 全體的인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 構造를 이루고 있다. 卽, 自己닮음의 프랙탈 構造를 가지고 있다.
• 江줄기: 講義 部分과 全體는 닮았다. 나일江의 모습과 漢江의 모습이 全體的으로 비슷하고, 어느 地域에서건 江의 모습은 비슷한 形態를 지닌다. 支流와 全體的인 江줄기의 모습은 닮았다. 수많은 비가 내리면서 山에 많은 分岐點이 생긴다. 이 하나하나가 작은 江이 되어 큰 줄기로 만났다가 작은 줄기로 뻗어나가는 行爲를 反復한다.
• 나무: 나무는 큰 가지가 나뉘면서 여러 가지가 생기고, 이 작은 가지에 또 여러 작은 가지들이 갈라 진다. 나무는 저마다의 프랙탈 次元을 가지고 있다. 이런 나무의 프랙탈 形態는 물과 營養分의 運搬을 全體에 고르게 보내는 役割을 한다.
• 珊瑚: 群體들이 凝集을 통해 밖으로 成長하면서 바깥쪽으로 자라나는 表面에 物質이 連續的으로 쌓인다. 나무뿌리와 비슷한 原理로 프랙탈 次元을 가진다.
• 구름: 매우 均一한 프랙탈로, 뭉게구름의 境遇 大略 1.35次元을 가진다. 無作爲的으로 일어난 凝結過程에서 生成된 구름은 生成된 물방울들이 周圍 물방울들을 끌어모으면서 프랙탈의 形態를 띠게 된다.
• 로마네스코 브로콜리: 로마네스코 브로콜리가 자랄때 가시같은 모습으로 자라는데, 그 가시의 한 部分은 全體의 모습과 똑같은 自己 類似性을 보인다.

프랙탈이나 混沌 理論 을 適用한 技術들은 人工 知能 , 시뮬레이션, 宇宙 分野 等 多樣한 分野에 應用되고 있을 뿐만 아니라 實驗的 藝術 等에도 適用되고 있다. 最近에는 렌더링 技術을 利用하여 부다브로 같은 것도 이미지를 合成하여 만들수 있다.

프랙탈의 形態的 特徵을 幾何學的 造形性으로 利用하여 만든 디자인이다. 프랙탈의 性質은 形態的으로 '反復', '自己類似性', '回轉'이며, 秩序, 統一, 反復, 調和같은 基本的인 디자인 原則下에 프랙탈의 形態的 特性이 나타난다.

프랙탈 디자인에서의 自己類似性은 基本的 形態要素의 크기를 늘리거나 줄이면서 配列되는 데에서 드러난다. 이런 基本形態要素는 끝없이 反復되며, 이 가운데서 統一性과 秩序 調和를 보는 이로 하여금 느끼게 해준다.

프랙탈 디자인은 포토샵이나 일러스트 같은 컴퓨터 그래픽 툴로 만들 수 있다. 그래픽 툴로 프랙탈 디자인을 만드는 方法은 基本形態를 複寫해서 크기를 漸漸 줄이거나, 漸漸 늘리면서 反復해서 擴張시키는 것이다.

프랙탈 디자인이 適用된 代表的인 例로 존 마에다 가 디자인한 Morisawa poster가 있다.

Richard F.Voss와 John Clarke가 物質的인 소리 信號에 對한 數學을 硏究하였다. 그들은 硏究에서 파워 스펙트럼(노이즈) 中에서 周波數 變化量 f에 따라 1/f 特性을 가진 pink noise가 規則的이면서도 不規則的인 自然現象과 類似한 形態를 가짐을 發見하였다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 音樂을 프랙탈 音樂이라 한다.

Voss와 Clarke는 pink noise(프랙탈 音樂)李 適切한 普通의 音樂이 될 수 있다고 보았다. 프랙탈 音樂도 自然에서의 프랙탈처럼 全體 構造와 類似한 작은 構造가, 全體 안에서 反復되는 特徵을 갖고 있다. 프랙탈的인 空間 채움과 調和로운 音 連結도 프랙탈 音樂의 特性이다. 最近에는 自然의 패턴을 音樂으로 만들어 作曲하는 境遇도 늘어났다.

프랙탈 音樂에는 바흐가 作曲한 클래식부터 컴퓨터로 作曲한 現代 音樂 等이 있다. 또 어떤 사람은 로키 山脈의 山봉우리의 높낮이를 音樂으로 變換하여 그럴듯한 曲을 만들기도 하였다.

• 프랙탈과 카오스 , 안대영?; 敎友社?; ISBN  978-89-8172-947-9 (2015.3.5)
• ¹ Fractal Geometry , by Kenneth Falconer; John Wiley & Son Ltd; ISBN  0-471-92287-0 (March 1990)
• The Fractal Geometry of Nature , by Benoit Mandelbrot; W H Freeman & Co; ISBN  0-7167-1186-9 (hardcover, September 1982).
• The Science of Fractal Images , by Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe (Editor); Springer Verlag; ISBN  0-387-96608-0 (hardcover, August 1988)
• Fractals Everywhere , by Michael F. Barnsley; Morgan Kaufmann; ISBN  0-12-079061-0
• 정재승의 科學 콘서트: 複雜한 世上, 明快한 科學, 정재승; 어크로스; ISBN  978-89-965887-3-3

• 네이버 캐스트 - 갈대도 프랙탈
• 프랙탈 아트 갤러리
• 프랙탈을 찾는 사람들
• Fractal Properties
• more information on fractals from FAQS.org
• Many good Fractal examples
• Fractal Landscapes
• Ultra Fractal - fractal software for Windows
• Fractal Dimensions
• Archive of Fractals published on USENET
• IFS Illusions 프랙탈 갤러리
• Sterling2 freeware fractal generator: including download, instructions and sample images.
• 만델브로 集合 _ 複素數와 프랙탈 Archived 2018年 4月 3日 - 웨이백 머신
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