뫼비우스 函數

${\displaystyle \mu \colon \mathbb {Z} ^{+}\to \{-1,0,+1\}}$ 

는 陽의 精髓 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  을 다음과 같이 ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$  가운데 하나에 對應시킨다.

• ${\displaystyle n}$  이 ${\displaystyle k}$  個의 素因數를 갖는 제곱 引受가 없는 淨水 라면 ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$  이다. (특수한 境遇로, ${\displaystyle n=1}$  은 0個의 素因數를 가지므로 ${\displaystyle \mu (1)=1}$  이다.)
• ${\displaystyle n}$  이 제곱 引受 가 없는 整數가 아니라면, ${\displaystyle \mu (n)=0}$  이다.

卽, ${\displaystyle n}$  의 素因數 分解 가

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}$ 

라면, 뫼비우스 函數는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\sum _{p}n_{p}}\prod _{p}[n_{p}\leq 1]}$ 

여기서 ${\displaystyle [\cdots ]}$  는 아이버슨 括弧 (條件이 참이면 1, 아니면 0)이다.

뫼비우스 函數 ${\displaystyle \mu (n)}$  은 또한 1의 原始的 ${\displaystyle n}$  제곱根 의 합이다.

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\scriptstyle 1\leq k\leq n \atop \scriptstyle \gcd\{k,n\}=1}\exp(2\pi ik/n)}$ 

그렇기 때문에, 1보다 큰 任意의 自然數 n의 모든 藥水에 對해서 ${\displaystyle \mu }$  函數값을 計算해서 더하면 언제나 0이 된다는 事實도 알 수 있다. 이 事實은 오일러 ${\displaystyle \phi }$  函數에 對해, 任意의 自然數 n의 모든 藥水의 ${\displaystyle \phi }$  函數값의 合은 언제나 n이 된다는 定理와 類似하다.

${\displaystyle \mu }$  는 量이 아닌 整數에 對하여 一般的으로 定義하지 않는다.

메르텐스 函數 (Mertens函數, 英語 : Mertens function )는 뫼비우스 函數의 部分合이다. 卽, 다음과 같은 函數이다.

${\displaystyle M\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$ 

뫼비우스 函數는 1의 原始的 ${\displaystyle n}$  제곱根 의 合이므로, 메르텐스 函數를 다음과 같이 定義할 수도 있다.

${\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}\exp(2\pi ia)}$ 

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$  은 ${\displaystyle n}$  次 페리 水熱 이다.

뫼비우스 函數는 곱셈敵 函數 이다. 卽, 서로素 整數에 對하여 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)\qquad (\gcd\{a,b\}=1)}$ 

뫼비우스 函數는 디리클레 合成곱 아래 常數 函數 1의 逆元이다.

${\displaystyle (\mu *1)(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)=\delta _{n,1}={\begin{cases}1&n=1\\0&n>1\end{cases}}}$ 

이 性質 때문에 뫼비우스 函數는 뫼비우스 反轉 公式 에 登場한다.

뫼비우스 函數의 生成 函數 는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)x^{n}=x-\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}-\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}-\cdots }$ 

뫼비우스 函數의 람베르트 級數 는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ 

이는 ${\displaystyle |q|<1}$  에 對하여 收斂한다.

뫼비우스 函數의 디리클레 級數 는 리만 제타 函數 의 逆數이다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$ 

뫼비우스 函數의 값이 ${\displaystyle \{\pm 1,0\}}$  뿐이므로, 메르텐스 函數는 매우 느리게 움직이며 또한 自明하게

${\displaystyle |M(n)|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 

이다.

少數 整理 에 따라 다음이 成立한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}M(n)=0}$ 

또한, 다음이 成立한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}|\mu (n)|=\prod _{p}\left(1-{{1} \over {p^{2}}}\right)={{1} \over {\zeta (2)}}={{6} \over {\pi ^{2}}}}$ 

卽, 漸近敵으로 ${\displaystyle 3/\pi ^{2}\approx 30.4\%}$  의 數에 對하여 뫼비우스 函數가 +1이며, ${\displaystyle 3/\pi ^{2}\approx 30.4\%}$  의 數에 對하여 뫼비우스 函數가 ?1이며, ${\displaystyle 1-6/\pi ^{2}\approx 39.2\%}$  의 數에 對하여 뫼비우스 函數가 0이다.

리만 假說 은 메르텐스 函數에 對한 다음 條件과 同治 이다.

${\displaystyle M(n)=O(x^{1/2+\epsilon })\qquad \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$ 

메르텐스 推測 (Mertens推測, 英語 : Mertens conjecture )은 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon |M(n)|\leq {\sqrt {n}}}$  라는 命題이다. 이는 오랫동안 難題로 있었으나, 1985年에 거짓으로 判明되었으며, 다음이 成立한다. ^{[1] [2] :188?189}

${\displaystyle \liminf {\frac {M(n)}{\sqrt {n}}}<-1.009}$ 

${\displaystyle \limsup {\frac {M(n)}{\sqrt {n}}}>1.06}$ 

그러나 리만 假說 은 現在 (2021年) 未解決 問題이다. 메르텐스 推測보다 더 弱하지만 리만 假說보다 더 剛한 命題

${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2})}$ 

亦是 아직 反證되지 않았으나, 이는 아마 거짓일 것이라고 推測된다. ^[1]

뫼비우스 函數에 對하여 다음과 같은 級數가 存在한다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\mu (n)/n)^{2}=15/\pi ^{2}}$ 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n){\frac {\ln n}{n}}=-1}$ 

처음 몇 個의 量의 整數에 對해서 뫼비우스 函數와 메르텐스 函數의 값은 다음과 같다. ( OEIS 의 水熱 A008683 ), ( OEIS 의 水熱 A002321 )

뫼비우스 函數의 값의 그래프는 다음과 같다.

메르텐스 函數의 10 ⁴ 까지의 값의 그래프는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (n)=0}$  人 精髓 ${\displaystyle n}$  (卽, 제곱 引受가 없는 淨水 가 아닌 數)은 다음과 같다.

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, … ( OEIS 의 水熱 A013929 )

레온하르트 오일러 는 1748年 著書 ^[3] 에 뫼비우스 函數를 定義하고 暗默的으로 使用하였지만, 仔細하게 다루지 않았다. ^{[4] :99, Notes to §3.1} 1798年에 카를 프리드리히 가우스 는 《算術 硏究》( 라틴語 : Disquisitiones Arithmeticae ) ^[5] 에서 1의 遠視 ${\displaystyle n}$  거듭제곱根 의 合이 ${\displaystyle \mu (n)}$  이라는 것을 보였으나, 亦是 이 函數를 特別히 硏究하지 않았다.

1831年에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스 는 뫼비우스 函數를 最初로 明示的으로 導入하였다. ^{[6] [4] :99, Notes to §3.1} 1874年에 프란츠 메르텐스 賈 最初로 오늘날 使用되는 記號 μ를 使用하였다. ^{[7] :53 [4] :99, Notes to §3.1}

1885年 7月 11日에 토마스 要아너스 스틸티어스 는 샤를 에르미트 에게 보낸 便紙에서 메르텐스 函數를 最初로 使用하였다. (이 便紙는 1905年에 出版되었다. ^[8] ) 스틸티어스는 ${\displaystyle M(n)=O({\sqrt {n}})}$  임을 證明하였다고 主張하였고, 또 메르텐스 推測 ( ${\displaystyle |M(n)|\leq {\sqrt {n}}}$  )을 推測하였다. 스틸티어스는 뫼비우스 函數를 ${\displaystyle f(n)}$  으로, 메르텐스 函數를 ${\displaystyle g(n)}$  으로 表記하였다. 이 便紙에서 스틸티어스는 다음과 같이 적었다.

그러나 스틸티어스는 이 "證明"을 出版하지 않았다.

1897年에 프란츠 메르텐스 는 메르텐스 函數를 獨自的으로 再發見하였고, 메르텐스 推測을 스틸티어스와 獨自的으로 推測하였다. ^[9]

1985年에 앤드루 마이클 오들리스코( 英語 : Andrew Michael Odlyzko , 1949~)와 헤르마뉘스 遼河너스 要서프 터 릴러( 네덜란드語 : Hermanus Johannes Joseph te Riele , 1947~)는 메르텐스 推測이 거짓임을 證明하였다. ^[1]

• 뫼비우스 反轉 公式
• 제곱 引受가 없는 淨水
• 近接 臺數
• 리만 제타 函數
• 프라임 제타 函數

• “Mobius function” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN  978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Mobius function” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Mertens function” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Mertens conjecture” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Lipton, R. J. (2011年 2月 23日). “The depth of the Mobius function” . 《Godel’s Lost Letter and P=NP》 (英語).  
• Tao, Terence (2015年 9月 6日). “Sign patterns of the Mobius and Liouville functions” . 《What’s New》 (英語).  
• “Mobius function” . 《OeisWiki》 (英語).  
• “뫼비우스 뮤 函數” . 《오메가》.  ^{[ 깨진 링크 ( 過去 內容 찾기 )]}