古典力?
${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}$ 運動の第2法則
?史 （ 英語版 ）
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表 話 編 ?

連??力?
法則 質量保存の法則 運動量保存の法則 エネルギ?保存の法則 クラウジウス?デュエムの不等式 固?力? 固? · ?形 · ?性 · ?性波 · ?塑性 · 塑性 · フックの法則 · ?力 · ひずみ · 有限?形理論 · レオロジ? · 粘?性 · 超?性 流?力? 流? · 流??力? 流?動力? · 粘度 · ニュ?トン流? 非ニュ?トン流? 表面張力 科?者 ニュ?トン · スト?クス · ナビエ · コ?シ? · フック · ベルヌ?イ
表 話 編 ?

連??力? （れんぞくたいりきがく、 英語 : Continuum mechanics ）とは、物理的?象を 連?? という空間的?がりを持った物?として理想化してその力?的?動を解析する 物理? の一分野である。

連??力?では?象である連??を巨視的に捉え、分子構造のような?部の 微視的 な構造が無視できる なめらか なものであり、力を加えることで ?形 するものとみなす。

?要 [ 編集 ]

主な連??として ?性? と 流? がある ^[1] 。

直?的には?性?とは?力を取り除くと元の?態に復?する 固? であり、流?は ?? 、 液? 、 プラズマ を記述するものである。

連??力?は物?を空間上の一点に近似して扱う 質点 の力? とは?別され、物?の?形を許容しない 剛? の力? とも?別される。剛?は、?形しにくさを表す量である ?性係? が無限大である（すなわち一切?形しない）連??であるとみなすこともできる ^[2] 。

連??の力?は 材料力? 、 水力? 、 土質力? といった ?用力? 、およびそれらの?用分野である 材料工? 、 化?工? 、 機械工? 、 航空宇宙工? などで用いられる。

基礎?念 [ 編集 ]

連??の記述方法 [ 編集 ]

連??を??的に記述する方法として二つの表示が知られている。

第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連??を記述する方法で、時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を

${\displaystyle Q=F({\boldsymbol {x}},t)}$

として記述する方法である。この表示は連??の 空間表示 （ spatial description ）、あるいは オイラ?表示 （ オイラ?記述 、 Eulerian description ）と呼ばれる。空間表示では連??の各部分に付?する物理量は 場 として記述される。

第二の表示は、連??上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 t = 0 に初期位置 x = X ₀ にあった連??の部分が時刻 t において移動している位置を x = X ( t ) として、この部分に付?する物理量 Q を

${\displaystyle Q=F_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})=F({\boldsymbol {X}}(t),t)}$

により記述する方法である。この表示は連??の 物質表示 （ material description ）、あるいは ラグランジュ表示 （ ラグランジュ表記 、 Lagrangian description ）と呼ばれる。物質表示では連??の各部分に付?する物理量は時刻 t の??として記述される。各部分の初期位置 X ₀ は 補助?? である。特に物質表示において速度は

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {X}}(t),t)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}{\mathrm {d} t}}}$

を?たす。

連??を記述する二つの表示と??して、二種類の時間微分が定義される。 空間表示と??する時間微分は

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}}$

で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、??する時間微分は 偏微分 である。この微分は オイラ?微分 （ Eularian derivative ）、 空間微分 （ spatial derivative ）、 空間時間微分 （ spatial time derivative ） ^{[ 要出典 ]} と呼ばれる。

一方、物質表示と??する時間微分は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} Q}{\mathrm {D} t}}={\frac {\mathrm {d} F_{\mathrm {m} }}{\mathrm {d} t}}}$

で定義される。物質表示では物理量は時間の??として記述されるため、??する時間微分は 常微分 である。この微分は 物質微分 （ material derivative ）、 物質時間微分 （ material time derivative ） ^[3] 、流れに?って移動するときの微分 ^[4] 、 ?質微分 ^[5] 、 ラグランジュ微分 （ Lagrangian derivative ） ^[6] などと呼ばれる。 これら二つの時間微分は 連鎖律 から

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F_{\text{m}}}{\mathrm {d} t}}=\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}=\left[{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}}$

となる。ここで右?の括弧の中はオイラ?表示で表されているので、オイラ?表示におけるラグランジュ微分は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} Q}{\mathrm {D} t}}={\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} Q+{\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ (B1)

で表される。

ラグランジュ微分はオイラ?微分と違い ガリレイ?換 に?して不?である ^[7] などの利点がある。

連??に?く力 [ 編集 ]

重力のように?積要素 d V を使って

${\displaystyle \int _{V}\rho \mathrm {d} V}$

のように表記できる力を ?積力 という。それに?して連??の?面の面積要素 d S を使って表現できる力を 面積力 といい、位置 x と面の法線 n を用いて面積力を

${\displaystyle \int _{S}{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S}$

と表記したとき、積分?の p _x ( n ) を連??に?く ?力 という。

?力 p _x ( n ) は面の法線 n に平行であるとは限らない。例えばゴムでできた柱が重力に負けて?に歪むのは重力に垂直な方向に?力が生じている?である。

?力のうち法線方向の成分を 法線?力 、法線と垂直な成分を 接線?力 という ^[8] 。法線?力が法線と同じ方向の時の法線?力を 張力 、反?方向の時の法線?力を ?力 という。

?力を具?的に書き表すため、連???に一点 x を取り、微小な 四面? を?のように定義する（本文と?の記?の違いに注意）と、 x の周りの面積力の?和は

${\displaystyle K_{S}}$${\displaystyle ={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\mathrm {d} S_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\mathrm {d} S_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S_{3}}$ ${\displaystyle =({\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S}$

となる。

四面?に?く?積力を K _V とすると、力の釣り合いから

${\displaystyle K_{S}+K_{V}=0}$

であるが、四面?の大きさを小さくしていくと、面積力 K _S が四面?の一?の長さの2?に比例して小さくなっていくのに?し、?積力 K _V はそれより速く一?の長さの3?に比例して小さくなっていくので、 K _S /d S は0でなければならない。よって

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}}$

が成立する。 ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{j})}$の e _i 方向成分を σ _{x ij} とすれば、

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{11}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{21}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{31}\\\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{21}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{22}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{23}\\\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{13}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{23}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$               (B2)

が成立する。ここで n _i は n の e _i 方向成分である。

行列 (σ _{x ij} ) _i,j を連??の ?力テンソル という。

?形と歪み [ 編集 ]

力をかけるなどして 連??が?形し、最初点 x にあった粒子が t 秒後に φ _t ( x ) に移動したとする。このとき

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}({\boldsymbol {x}},t):=\phi _{t}({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {x}}}$

をこの?形の ?位ベクトル と呼び、 ヤコビ行列

${\displaystyle D=\left({\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right)_{i,j}}$

をこの?形の ?形テンソル (deformation tensor)と呼ぶ ^[9] 。

?形テンソルを??部分と非??部分に

${\displaystyle {\begin{array}{ll}E_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}}}$

とわけ、??部分にあたる (E _ij ) _i,j を 歪みテンソル (strain tensor)という ^[9] 。

歪みテンソルの?角成分 E _ii を 伸縮歪み (elongation-contraction)、反?角成分を ずれ歪み (shear strain)といい、伸縮歪みの?和

${\displaystyle \sum _{i}E_{ii}=\nabla \cdot {\boldsymbol {r}}}$

を ?積歪み (volume dilatation)という ^[9] 。

一方、反??部分である (F _ij ) _i,j は定義より明らかに

${\displaystyle F_{ij}=-F_{ji}}$、 ${\displaystyle F_{ii}=0}$

である。

${\displaystyle \Omega =(\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})}$

と定義すると、

${\displaystyle \Omega =\nabla \times {\boldsymbol {r}}}$

である。 Ω をこの?形の 回? もしくは 回?ベクトル という ^[9] 。

これらのテンソルは、?形を開始した時刻 t ₀ における位置 x と現在の時刻 t の??であるので時間微分した量を計算できる：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\left.{\partial D_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\left.{\partial \over \partial t}{\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right|_{t=t_{0}}={\partial v_{i} \over \partial x_{j}}\\\left.{\partial E_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}={1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)\\\left.{\partial \Omega \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}\end{array}}}$               (B3)

が成立する。ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$は速度ベクトルである。

${\displaystyle {\partial v_{i} \over \partial x_{j}}}$を ?形速度テンソル (deformation rate tensor)、 ${\displaystyle {1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)}$を 歪み速度テンソル (stain rate tensor)、 ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v}}}$を 渦度 (vorticity)という ^[10] 。

さらに歪み速度テンソルの?角成分を 伸縮歪み速度 (elongation-contraction rate)、非?角成分を ずれ歪み速度 (shear stain rate)という ^[10] 。

連??が?たす方程式 [ 編集 ]

連??の?動は 基礎方程式 と呼ばれる 微分方程式 で記述される。

基礎方程式は全ての連??が?たす 保存則 と?究?象である物質固有の 構成式 からなる。

本節では連??が?たす保存則を紹介する。

連?の方程式 [ 編集 ]

連??を空間表記したとき、時刻 t における空間上の点 x での連??の密度を ρ = ρ ( x ,t) とする。

空間?の領域 V を考え、 V の境界 ∂V 上の微小な面 d S とその法線ベクトル n に?し、微小時間 Δt に d S から V の外へ流出する粒子の?質量は ${\displaystyle \rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S}$であるので、空間?の領域 V の質量の Δt 秒間での?加量は 質量保存の法則 より、

${\displaystyle \int _{V}{\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t\mathrm {d} V=-\int _{\partial V}\rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})\Delta t\mathrm {d} V}$

である。ここで第二の等?は ガウスの?散定理 より?う。 V の任意性により、連??は以下の 連?の方程式 を?たさねばならないことが結論づけられる：

${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}$

(B1) 式より、物質微分を使えば連?の方程式は

${\displaystyle {\mathrm {D} \rho \over {\mathrm {D} t}}+\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}$               (C1)

とも書ける。

運動方程式 [ 編集 ]

V を連??上の（時間?化しない）任意の領域とするとき、 運動量保存の法則 から以下が成立する:

(?位時間に V に?く 力積 の?和)

= (?位時間に V に流出する運動量の?和)

+ (?位時間に V に?く?積力による力積)

+ (?位時間に V の境界に?く面積力による力積)

上の式を具?的に書き下すことで、連??の運動方程式を導出できる。

連??の点 x における時刻 t での密度を ρ = ρ( x ,t) とし、速度ベクトルを v = v ( x , t ) とするとき、

(?位時間に V に?く 力積 の?和) ${\displaystyle ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{V}\rho {\boldsymbol {v}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}\mathrm {d} V,}$

であり、

(?位時間に V に流出する運動量の?和) = ∫ _∂V (微小面積 d S を通って流入した粒子の?質量)?( d S の法線方向の粒子の速さ) d S ${\displaystyle =\int _{\partial V}(\rho {\boldsymbol {v}})\cdot ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}(\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot (\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}))\mathrm {d} V}$

である。最後の等式はガウスの?散定理による。ここで v =( v ₁ ,v ₂ ,v ₃ ) である。 ?積力を K =( K ₁ ,K ₂ ,K ₃ ) とすると、

(?位時間に V に?く?積力による力積) = ${\displaystyle \int _{V}\rho {\boldsymbol {K}}\mathrm {d} V}$

であり、さらに ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}=(\sigma _{i,1},\sigma _{i,2},\sigma _{i,3})}$とすると、

(?位時間に V の境界に?く面積力による力積) = ${\displaystyle \int _{\partial V}\sum _{i,j}\sigma _{i,j}n_{j}{\boldsymbol {e}}_{j}\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}({\boldsymbol {\sigma }}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{2}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{1},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{2},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{3})\mathrm {d} V}$

である。最後の等式は再びガウスの?散定理による。

V の任意性より、最終的に 連??の運動方程式 は以下のようになる ^[9] ：

i =1, 2, 3 に?し、 ${\displaystyle {\partial (\rho v_{i}) \over \partial t}=\nabla \cdot (\rho v_{i}{\boldsymbol {v}})+\rho K_{i}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{i}}$

なお、テンソル ε=(ε _ij ) _ij に?し

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} }}\varepsilon =(\sum _{j}{\partial \varepsilon _{ij} \over \partial x_{j}})_{i}}$

と定義すると、上の方程式は

${\displaystyle {\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}={\overrightarrow {\operatorname {div} }}(\rho {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v}})+\rho {\boldsymbol {K}}+{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma }$

と書くこともできる。

上の運動方程式と連?の方程式 (C1) を用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる ^[11] ：

${\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma }$               (C2)

?力テンソルの??性 [ 編集 ]

角運動量が保存する場合、?性?の各点 x で?力テンソルは??性

任意の i 、 j ∈{1,2,3}に?し ${\displaystyle \sigma _{{\boldsymbol {x}},ij}=\sigma _{{\boldsymbol {x}},ji}}$

を?たす。

連??の分類 [ 編集 ]

連??力? 連??の?究	固?力? 外力がない?態で形?を保てる連??に?する?究	?性 ?力を取り除くと元の?態に復?する性質
		塑性 ?力をかけると永久?形する性質	レオロジ? ?的 平衡 において せん??力 に耐えられない物?の?究
	流?力? ?止?態において せん??力 が?生しない 連?? （ 流? ） [12] を?究する分野	非ニュ?トン流? ：ニュ?トン流?以外の流?
		ニュ?トン流? ： 流れ の 剪??力 （接線?力）と流れの速度勾配（ずり速度、 剪?速度 ）の?係が線形である 粘性 の性質を持つ 流? のこと

?性?と塑性? [ 編集 ]

?性? (elastic body)とは、各時刻において?力と?形に一意的な?係がある連??の事を指す ^[13] 。それに?し 塑性? (plastic body)とは、?力がある一定の限界を越えると?形が不可逆となり、?力を取り去った後も?形が?る（ 永久?形 ）連??の事を指す ^[13] 。

?性?の中で特に、?力テンソルと歪みテンソルが線形な?係式

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}E_{kl}}$               (E1)

を?たすものを 線形?性? といい ^[13] 、上述の?係式を線形?性?上の フックの法則 という。

このような C _ijkl が存在するとき、 C _ijkl を ?性係? (elastic constant)といい、?性係?を?べたテンソルを ?性係?テンソル という ^[13] 。

また?性?の中で、その物理的特性が方向性に依存しないものを 等方?性? (isotropic elastic body)という ^[13] 。

等方かつ線形な?性?の?性係?テンソルは

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$               (E2)

という形で書き表せる事が知られている。定?λとμを ラメの?性定? (Lame's elastic constant)という ^[13] 。

このとき、 (E1) 、 (E2) より

${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \sum _{k}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu E_{ij}}$               (E3)

一方、塑性?は?性?と違い、?力を加えるときと取り除くときで?形の?係式が異なる ?性履? という現象が?測される ^[13] 。

また複?な分子構造の高分子で物質では?力と?形に時間的なズレが生じ、 ?延?性 や ?力緩和 といった現象が起こる事がある ^[13] 。

等方かつ線形な?性?の運動方程式 [ 編集 ]

?性?の場合、?性?上の各点の運動速度 v が小さい。?って連??の運動方程式 (C2)

${\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma }$

の左?は物質微分の定義 (B1) より

${\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}}$

であるが、第二項は v に?する二次の微小量であるので無視できる。

さらに ρ の時間?化が無視できるほど小さいとすれば、

${\displaystyle {\partial ^{2}{\boldsymbol {v}} \over \partial t^{2}}={\partial {\boldsymbol {K}} \over \partial t}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}{\partial \sigma \over \partial t}}$

?性?が等方かつ線形であれば (B3) 、 (E3) より 各 i に?し、

${\displaystyle \operatorname {div} (\partial _{t}\sigma _{ij})_{j}=\nabla \cdot (\lambda \sum _{k}\partial _{t}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu \partial _{t}E_{ij})_{j}}$ ${\displaystyle =\nabla \cdot (\lambda \delta _{ij}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu (\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}))_{j}}$ ${\displaystyle =(\lambda +\mu )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu \Delta v_{j}}$

よって等方かつ線形な ?性?の運動方程式 は以下のようになる ^[14]

${\displaystyle {\partial ^{2}{\boldsymbol {v}} \over \partial t^{2}}={\partial {\boldsymbol {K}} \over \partial t}+{1 \over \rho }((\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+\mu \Delta {\boldsymbol {v}})}$

流? [ 編集 ]

?止?態で任意の点の全ての?面において接線?力が0になる連??を 流? という ^[15] 。

?止?態にある流?の任意の点 x に?し、 x における法線 n 方向の法線?力は -p n の形に書け、しかも p は x のみに依存し、法線 n に依存しない事が簡?に?明できる。 ?力 -p n を ?水? という ^[15] 。

p が正のとき?水?は?力であり、負のとき?水?は張力である。流?が??もしくは熱平衡?態にある液?であれば p は常に正である事が知られているが、準熱平衡?態にある液?では p が負になる事もありうる ^[15] 。これを 負? といい、樹木による樹液の吸い上げや地面の凍上で?測される現象である ^[15] 。

運動?態においても接線?力が生じない流?を 完全流? という ^{[15] [注 1]} 。オイラ?の時代には流?はどれも完全流?としてモデル化されていたが、接線?力が無いという事は、運動している流?の中に棒をさしても一切抵抗を受けないという事なので直?に反する（ ダランベ?ルのパラドックス ）。

こうした事情から、流?であっても運動している際には抵抗を受けるものとしてモデル化されるようになった。運動している流?の?力が

${\displaystyle \sigma _{ij}=G_{ij}+\sum _{kl}G'_{ijkl}{\dot {E}}_{kl}}$               (F1)

と歪み速度テンソルの一次式で記述できる流?を ニュ?トン流? 、そうでない流?を 非ニュ?トン流? という ^[15] 。

流?の定義から?止?態では接線?力が0なので、 G _ij は?水? p を用いて

${\displaystyle G_{ij}=-p\delta _{ij}}$               (F2)

と書ける。さらに流?が等方性を?たせば、?性?の時と同?の議論により

${\displaystyle G_{ijkl}=\zeta \delta _{ij}\delta _{kl}+\eta (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$               (F3)

が成立する ^[15] 。

(F1) 、 (F2) 、 (F3) より、

${\displaystyle \sigma _{ij}=(-p+\zeta \sum _{k}{\dot {E}}_{kk})\delta _{ij}+2\eta {\dot {E}}_{ij}}$               (F4)

である。 η を ずれ粘性率 (shear viscousity)あるいは?に 粘性率 といい、 ζ を 第二粘性率 という ^[15] 。

定義より?積歪み速度 ${\displaystyle \sum _{i}{\dot {E}}_{ii}}$は

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\sum _{i}\sigma _{ii}&=3(-p+\chi \sum _{i}{\dot {E}}_{ii})\\\chi &:=\zeta +{2 \over 3}\eta \end{array}}}$               (F5)

を?たす。 χ を ?積粘性率 (bulk viscousity)という。

η = ζ =0 であれば、運動している場合でも接線?力が0である事になるので、これは流?が完全流?である事を意味する。このため完全流?の事を 非粘性流? ともいう ^[15] 。

流?の運動方程式 [ 編集 ]

等方なニュ?トン流?であれば (F4) より、 各 i に?し、

${\displaystyle \operatorname {div} (\sigma _{ij})_{j}}$ ${\displaystyle =\nabla \cdot ((-p+\zeta \sum _{k}{\dot {E}}_{kk})\delta _{ij}+2\eta {\dot {E}}_{ij})_{j}}$               (F6)

であるので、これを連??の運動方程式 (C2)

${\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma }$

に代入する事で、等方なニュ?トン流?の運動方程式が得られる。

η や ζ は流?の ?力 や ?度 に依存するが、こうした影響が小さいとすれば η や ζ は定?だと見なせるので、 (F6) の式の右?は (B3) より

${\displaystyle -\partial _{i}p+\partial _{i}(\zeta \nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+\sum _{j}\partial _{j}(\eta \partial _{j}v_{i})+\partial _{j}(\eta \partial _{i}v_{j})}$ ${\displaystyle =-\partial _{i}p+(\zeta +\eta )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\eta \Delta v_{j}}$

となる。ここで Δ は ラプラシアン である。 よって (F5) より ナビエ?スト?クス方程式

${\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}-{1 \over \rho }\nabla p+(\chi +{\eta \over 3}){1 \over \rho }\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+{\eta \over \rho }\Delta {\boldsymbol {v}}}$

が?う。

脚注 [ 編集 ]

注? [ 編集 ]

出典 [ 編集 ]

?考文? [ 編集 ]

• 巽友正『連??の力?』 岩波書店 〈岩波基礎物理シリ?ズ〉、1995年。 ISBN   4-00-007922-0 。  
• Lai, W. Michael; David Rubin, Erhard Krempl (1996). Introduction to Continuum Mechanics (3rd edition ed.). Elsevier, Inc.. ISBN   978-0-7506-2894-5 . http://www.elsevierdirect.com/product.jsp?isbn=9780750628945  
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• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity . Germany: CRC Press. ISBN   0849397790 . https://books.google.ca/books?id=Nn4kztfbR3AC&rview=1&hl=en  
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• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications . Butterworth-Heinemann. ISBN   0750680253 . https://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC&hl=en  

?連項目 [ 編集 ]

• シェイクダウン (連??力?)
• ニュ?トン力?
• テンソル
• 非?縮性
• クヌ?セン?