行列の?法

?? において、行列の?から別の行列を作り出す二項演算としての 行列の?法 （ぎょうれつのじょうほう）は、 ?? や複素? などの ? が初等的な四則演算でいうところの ?法を持つことと?照的に、そのような「?の配列」の間の?法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の?法」は幾つかの異なる二項演算を??するものと考えることができる。行列の?法の持つ重要な特?には、?えられた行列の行および列の?（行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの）が?係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが?げられる。

例えば、ベクトルの場合と同?に、任意の行列に?してスカラ? を掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ?を掛けるという方法で?えられる。また、加法や減法（英語版）の場合と同?に、同じサイズの行列に?して成分ごとの?法を入れることによって定まる行列の積はアダマ?ル積と呼ばれる。それ以外にも、二つの行列のクロネッカ?積は ?分行列として得られる。

このようにさまざまな?法が定義できるという事情の中にあっても、しかし最も重要な行列の?法は連立一次方程式やベクトルの一次?換に?するもので、 ?用?? や工? へも?く?用がある。これは通例、 行列の積 （ぎょうれつのせき、英 : matrix product ^[1]^[2]）と呼ばれるもので、 $A$ が $n \times m$ 行列で、 $B$ が $m \times p$ 行列ならば、それらの行列の積 $AB$ が $n \times p$ 行列として?えられ、その成分は $A$ の各行の $m$ 個の成分がそれぞれ順番に $B$ の各列の $m$ 個の成分と掛け合わされる形で?えられる（後述）。

この通常の積は可換ではないが、結合的かつ行列の加法に?して分配的である。この行列の積に?する ?位元（?において $1$ を掛けることに相?するもの）は ?位行列であり、正方行列は逆行列（?における逆? に相?）を持ち得る。行列の積に?して行列式は ?法的である。一次?換や行列群あるいは群の表現などの理論を考える上において行列の積は重要な演算となる。

行列のサイズが大きくなれば、二つあるいはそれ以上の行列の積の計算を定義に?って行うには、非常に膨大な時間が掛かるようになってしまうため、?果的に行列の積を計算できるアルゴリズムが考えられてきた。

スカラ?倍 [ 編集 ]

詳細は「スカラ?倍」を?照

行列に付?するもっとも?純な形の?法としてスカラ??法が?げられる（これはクロネッカ?積の特別の場合になっている）。

行列 $A$ のスカラ? $λ$ による 左スカラ?倍 （英 : left scalar multiplication ）は、

\lambda A=(\lambda a_{ij})

で?えられる $A$ と同じサイズの行列 $λ A$ となる。つまり、

\lambda A=\lambda {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1m}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots &\lambda a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{n1}&\lambda a_{n2}&\cdots &\lambda a_{nm}\end{bmatrix}}\

同?に、行列 $A$ のスカラ? $λ$ による 右スカラ?倍 （英 : right scalar multiplication ）は

A\lambda ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}\lambda ={\begin{bmatrix}a_{11}\lambda &a_{12}\lambda &\cdots &a_{1m}\lambda \\a_{21}\lambda &a_{22}\lambda &\cdots &a_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}\lambda &a_{n2}\lambda &\cdots &a_{nm}\lambda \end{bmatrix}}

で定義される。

基礎とする環が（例えば ? または複素? ? のような）可換環ならば、左及び右スカラ?倍の?念は一致して、?に スカラ?倍 と呼ばれる。より一般の環では（四元? ?のように）非可換であるから左右が異なれば異なる?法である。

通常の行列の積 [ 編集 ]

二つの行列の積 [ 編集 ]

まずは二つの行列を掛け合わせることを考える（任意個?への一般化は後述）。

$n \times m$ 行列 $A$ と $m \times p$ 行列 $B$ を

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mp}\end{bmatrix}}

とするとき、これらの 行列の積 $AB$ （通例、?法記?は特に用いずに?置で表す）は、各 $(i, j)$ 成分 $c ij$ が $A$ の第 $i$ 行に?に?ぶ成分 $a ik$ と $B$ の第 $j$ 列に?に?ぶ成分 $b kj$ を $k = 1, 2, ..., m$ に?って足し合わせた和

c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}

で?えられる $n \times p$ 行列

AB={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{np}\end{bmatrix}}

である ^[3]^[4]^[5]^[6]。?って、積 $AB$ が定義されるのは $A$ の列の本?と $B$ の行の本?が一致している場合に限られる（今の場合は $m$ 本）。

多?の行列の積 [ 編集 ]

詳細は「行列の連鎖?積（英語版）」を?照

二つ以上の個?の行列に?しても、それらの連?する各?に?してサイズの?件が?たされるならば、行列の積を定義することができる。

$n$ -個の行列 $A 1, A 2, ..., A n$ がそれぞれサイズ $s 0 \times s 1, s 1 \times s 2, ..., s n ? 1 \times s n$ であるとき（ここで $s 0, s 1, s 2, ..., s n$ は何れも?に正整?であって、これらの下付き添?はそれぞれどの行列に??するのかを示す以上の意味は無い）、これら行列の積

\prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}A_{2}\cdots A_{n}=(a_{ij}^{(1)})(a_{ij}^{(2)})\cdots (a_{ij}^{(n)})

は $s 0 \times s n$ 行列であり、その任意の $(i 0, i n)$ -成分は

\sum _{i_{1}=1}^{s_{1}}\sum _{i_{2}=1}^{s_{2}}\cdots \sum _{i_{n-1}=1}^{s_{n-1}}a_{i_{0},i_{1}}^{(1)}a_{i_{1},i_{2}}^{(2)}\cdots a_{i_{n-1},i_{n}}^{(n)}

で?えられる。

行列の冪 [ 編集 ]

正方行列に?しては、行の本?と列の本?が常に等しいから、通常の?と同?に自分自身を繰り返し掛けることができて、この行列の積の特別の場合としての反復?積は 行列の冪 （英 : matrix power ）を定義することができる。行の本?と列の本?が一致しない一般の矩形行列では冪を考えることができない。?ち、 $n \times n$ 行列 $A$ と正整? $k$ に?して

A^{k}={\underset {k{\text{ times}}}{AA\cdots A}}

冪の逆として行列の冪根を考えたり、また冪級? として行列の指?函? やその逆?像として行列の??函? などを定義したりすることもできる。

その他の?法 [ 編集 ]

二つの行列に?して定義されるその他の?法を以下にいくつか?げる。?は通常の?法よりも定義としては?純なものもいくつかある。

アダマ?ル積 [ 編集 ]

詳細は「アダマ?ル積」を?照

同じサイズの二つの行列に?し、 アダマ?ル積 （英 : Hadamard product ）、 要素ごとの積 （英 : element-wise product ）、 点ごとの積 （英 : pointwise product ）、 成分ごとの積 （英 : entrywise product ）あるいは シュ?ア積 （英 : Schur product ）などと呼ばれる積を定義することができる ^[7]。同じサイズの二つの行列 $A$ , $B$ のアダマ?ル積 $A ○ B$ はもとと同じサイズの行列で、その $(i, j)$ -成分は $A$ の $(i, j)$ -成分と $B$ の $(i, j)$ -成分との積で?えられる。つまり、

A\circ B=(a_{ij}b_{ij})

全部書けば、

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nm}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}&\cdots &a_{1m}b_{1m}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}&\cdots &a_{2m}b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}b_{n1}&a_{n2}b_{n2}&\cdots &a_{nm}b_{nm}\end{bmatrix}}\

この演算は（ $mn$ 個ある各成分において）通常の?の積を一?に行うことに他ならない。故にアダマ?ル積は可換、結合的、かつ成分ごとの和に?して分配的になる。これはまた、クロネッカ?積の主小行列でもある。

フロベニウス積 [ 編集 ]

フロベニウス（?）積 （英 : Frobenius inner product ）は行列を?にベクトルと見做してとった成分ごとの?積で、 $A : B$ などと書かれることもある。これはアダマ?ル積の成分の和でもあり、具?的に書けば

A:B=\sum _{i,j}a_{ij}b_{ij}=\operatorname {vec} ({}^{t}\!A)\operatorname {vec} (B)=\operatorname {tr} ({}^{t}\!AB)=\operatorname {tr} (A\,{}^{t}\!B)

となる。ただし " $tr$ " は行列の蹟であり、" $vec$ " は行列の一列化である。この?積からフロベニウスノルムが誘導される。

クロネッカ?積 [ 編集 ]

詳細は「クロネッカ?積」を?照

二つの行列 $A$ , $B$ のサイズがそれぞれ $m \times n$ , $p \times q$ であるとき、これらがどのようなサイズであったとしても（サイズに?する制約?件なしに）、この二つの行列の クロネッカ?積 （英 : Kronecker product ）は

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots &a_{2n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}

で?えられるサイズ $mp \times nq$ の行列である ^[8]。これはより一般のテンソル積を行列に?して適用したものになっている。

注 [ 編集 ]

[ 脚注の使い方 ]

^ R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. ISBN 3-527-26954-1
^ C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). ISBN 0-07-051400-3
^ S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra . Schaum's Outlines (4th ed.). McGraw Hill (USA). pp. 30?31. ISBN 978-0-07-154352-1
^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3
^ R. A. Adams (1995). Calculus, A Complete Course (3rd ed.). Addison Wesley. p. 627. ISBN 0 201 82823 5
^ Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978 0 521 54823 6
^ (Horn & Johnson 1985 , Ch. 5)
^ Steeb, Willi-Hans (1997), Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs , World Scientific, p. 55, ISBN 9789810232412 .

?考文? [ 編集 ]

Henry Cohn, Robert Kleinberg , Balazs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. arXiv : math.GR/0511460 . Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science , 23?25 October 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379?388.
Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. arXiv : math.GR/0307321 . Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science , 11?14 October 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438?449.
Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions , J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46713-1
Knuth, D.E. , The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms . Addison-Wesley Professional; 3 edition (November 14, 1997). ISBN 978-0-201-89684-8 . pp. 501.
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A. ; Vetterling, William T. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8 .
Ran Raz . On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. doi : 10.1145/509907.509932 .
Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005. PDF
Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal , Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
Styan, George P. H. (1973), “Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis”, Linear Algebra and its Applications 6 : 217?240, doi : 10.1016/0024-3795(73)90023-2
Vassilevska Williams, Virginia, Multiplying matrices faster than Coppersmith-Winograd , Manuscript, May 2012. PDF

?連項目 [ 編集 ]

[Physics_1991-1] R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. ISBN 3-527-26954-1

[2] C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). ISBN 0-07-051400-3

[3] S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra . Schaum's Outlines (4th ed.). McGraw Hill (USA). pp. 30?31. ISBN 978-0-07-154352-1

[4] K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3

[5] R. A. Adams (1995). Calculus, A Complete Course (3rd ed.). Addison Wesley. p. 627. ISBN 0 201 82823 5

[6] Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978 0 521 54823 6

[7] (Horn & Johnson 1985 , Ch. 5)

[8] Steeb, Willi-Hans (1997), Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs , World Scientific, p. 55, ISBN 9789810232412 .

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