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|
放物線
(ほうぶつせん、?物線?抛物線、
希
:παραβολ?「
parabol?
」、
羅
、
英
:
parabola
、
?
:
Parabel
)
[1]
とは、その名の通り地表(つまり
重力
下)で投射した物?の運動(放物運動)が描く軌跡のことである。
放物線をその
??軸
を中心として回?させた
曲面
を
放物面
という。
??的定義
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]
放物線は、
円錐曲線
の一つである。??的な定義としてよく知られたものはいくつかの方法があるが、いずれも適?な?組みで互いに他を導出することができる等?なものである。
軌跡
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]
平面幾何?
において
放物線
(ほうぶつせん、parabola)とは、
準線
(directrix) と呼ばれる直線 L と、その上にない
焦点
(focus) と呼ばれる一点 F が?えられるとき、準線 L と焦点 F とをともに含む唯一つの平面 π 上の点 P であって、P から焦点 F への距離 PF と等しい距離 PQ を持つような準線 L 上の点 Q が存在するようなものの軌跡として定義される平面
曲線
である。
放物線上の点を P(
x
,
y
)、焦点を F(0,
a
)、準線の式を
y
= ?
a
とすると PQ = PF より
なので
となる。
x
と
y
を入れ替えた
y
2
= 4
ax
も放物線の方程式である。この式は標準形と呼ばれる。
円錐の?面
[
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]
- 円錐面
を母線に平行な平面で切ると、切?面は放物線になる(
円錐曲線
)。
二次曲線
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]
放物線は
二次曲線
の一種で、
離心率
は 1 である。
- 焦点が (0,
c
)、準線が
y
= ?
c
のとき、放物線の式
x
2
= 4
cy
となる。
- 焦点が (
c
, 0)、準線が
x
= ?
c
のとき、放物線の式は
y
2
= 4
cx
となる。
- 二次??
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
は 0 ではない)が描く
グラフ
は放物線になる。
作?
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]
焦点と準線による定義から?際に放物線を?や
三角定規
などを用いて作?することができる。
- 放物線の焦点
F
と準線
l
をとる
- 三角定規の直角を?む一?の長さ |
AB
| に合わせた?を用意する(右??照)
- ?の?端を点
A
と焦点
F
に固定する
- 三角定規の直角を?む?りの一?が準線に沿ってを滑るにようにする(たとえば準線に定規をおいて合わせる)
- 鉛筆で?を?
AB
上の点
P
に押し?て、?を張る
- 三角定規を準線に沿って滑らすと、鉛筆は放物線を描く(軌跡は |
PF
| = |
PB
| ゆえ放物線になる)
物理?的な導出
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]
質量
m
の物?を斜めに投射するとき、投げ出されたあとの物?に掛かる力は、空?抵抗の存在しない理想的な?況下では下向きに掛かる重力
mg
のみ(
g
は重力加速度)である。したがって、
運動方程式
F = ma
から、物?の加速度は
となる。初速が
であるならば、積分して
となり、初期位置を
r
0
= (0,
y
0
) にとると、さらに積分して
が時刻
t
における物?の位置である。
t
を消去すれば、適?な定?
a, b, c
によって
の形に書くことができる。
性質?例示
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]
正射影と焦点
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]
- 焦点から準線に引いた垂線は、この放物線の唯一の??軸になる。放物線とその??軸との交点を、この放物線の
頂点
と呼ぶ。放物線をその??軸の周りに回?させてできる
曲面
を
回?放物面
、または?に
放物面
(paraboloid)
と呼ぶ。
- パラボラアンテナ
の形も放物線の回?により得られる放物面である(パラボラ Parabola[英]=放物線)。放物面の形をした反射板は平行な光線(あるいは電波、その他の放射線)を焦点に集めるので、アンテナや
太陽?
に使う
凹面鏡
の形として利用される。?信の際にも、焦点に置いた点源の
球面波
から平行な放射を得るために利用される。
包絡線
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]
直線LとL上にない1点Fを固定し、L上に任意の点Pをとると、
直線PFと直線Lのなす角の2等分線は、直線Lを準線、点Fを焦点とする放物線の
包絡線
となる。
これを利用して、紙の折り跡から放物線を浮かび上がらせることができる
[2]
。
微積分
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]
電子
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]
二次近似
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]
ある曲線 γ が(γ 上の)ある点 P において
C
2
-級
ならば、γ は P の十分近くである放物線(の一部)にほぼ一致する。γ が必ずしも一定の平面上にある曲線ではないとしても、P において C
2
-級という?件から、P の十分近くであれば一定の平面上にほぼ?っていると考えられる。別な言い方をすれば、任意の
C
2
-級曲線は各点で放物線と二次の接?を持つ。
- これは、C
1
-級曲線が各点の近傍で
接線
と呼ばれる直線(線分)で近似されることの類似である。
??のグラフを放物線によって近似し、その??の積分を計算する?値積分法に
シンプソンの方法
がある。このときの近似誤差は
テイラ?の式
の3次の?余項を適?に評?することで測れる。被積分??が3次までの多項式??ならば、シンプソンの公式による?値積分は誤差無しに積分値を得ることができる。
カテナリ?曲線
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]
カテナリ?曲線
(懸垂線)は、見た目が放物線と似ていて混同されることがあるが、全く別物である。共通した性質として、
- 唯一の極小な
頂点
を持つ
- 下に凸な滑らかな曲線
- 頂点を通る直線を??の軸として線??
があり、?者は頂点付近の十分近くで微視的にはほぼ一致するが、巨視的にはかけ離れた形?を示す。
?考文?
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]
- 『曲線の事典 性質??史?作?法』 ?田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、?岐勝、?田正美著:共立出版、2009年
ISBN 9784320019072
脚注
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]
- ^
?用漢字
制定以前は「
?物線
又は抛物線(抛は?の異?字)」の表記が多かったが、「??抛」が?用漢字表外であった?、
1956年
(昭和31年)に?語審議?が?表した指針「
同音の漢字による書きかえ
」により現在では「放」が一般に使用されている。
- ^
折り紙による2次曲線
?連項目
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]
外部リンク
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]
ウィキメディア?コモンズには、
放物線
に?連するカテゴリがあります。